第3章 4 课时2 相似三角形的周长比和面积比的性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测配套课件PPT（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“相似三角形的性质”，核心内容为周长比与面积比的关系。课堂导入通过回顾相似三角形判定，衔接性质探究，构建“判定-性质-应用”的学习支架，帮助学生形成知识脉络。 其亮点在于分层设计练习，基础题巩固概念（如柳州期末题），能力题提升推理（如网格中周长比），核心素养题结合动点与等腰直角三角形，培养几何直观与创新意识。例题融入生活情境（矩形折叠），用数学语言表达关系，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

九年级数学 （上册）北师版 第三章 图形的相似 4 相似三角形的性质 课时2　相似三角形的周长比和面积比的性质 B D 100 cm，40 cm B D A 9 1∶3∶9∶11 INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/知识点1.tif" \* MERGEFORMAT 相似三角形的周长比　　 (广西梧州期末)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为( ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为20和15，且AB＝8，则DE的长是( ) A．2 B．3 C．4 D．6 如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是5 cm和2 cm，它们周长的差是60 cm，那么这两个三角形的周长分别为______________________． 如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O. (1)求证：△OCP∽△PDA； (2)若△OCP与△PDA的周长比为1∶2，求边AB的长． 4题图 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°. 由折叠的性质可得AP＝AB，PO＝BO，∠APO＝∠B＝90°， ∴∠APD＝90°－∠CPO＝∠POC. ∵∠C＝∠D，∠POC＝∠APD， ∴△OCP∽△PDA. (2)解：∵△OCP∽△PDA，△OCP与△PDA的周长比为1∶2，∴ eq \f(OP,PA)＝ eq \f(CP,DA)＝ eq \f(1,2)，∴PA＝2OP，DA＝2CP. 在矩形ABCD中，AD＝8，∴CP＝4，BC＝8. 设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x. 在Rt△PCO中，∠C＝90°，CP＝4， 根据勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5， ∴AB＝AP＝2OP＝10，即边AB的长为10. 相似三角形的面积比　　 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若BE＝2，BC＝3，则 eq \f(S△AED,S△ABC)＝( ) A． eq \f(2,3) B． eq \f(4,9) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,9) 5题图 (广州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若 eq \f(DE,BC)＝ eq \f(1,3)，则 eq \f(S△ADE,S△ABC)＝__． 6题图 eq \f(1,9) 如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若 eq \f(S△DOE,S△COA)＝ eq \f(1,25)，则 eq \f(S△BDE,S△CDE)＝__． 7题图 eq \f(1,4) 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，若S△ABG＝12，求S△EFG. 8题图 解：∵E，F是CD的三等分点， ∴EF＝ eq \f(1,3)CD. 在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴EF＝ eq \f(1,3)AB，∠EFA＝∠FAB，∠GEF＝∠GBA， ∴△EFG∽△BAG， ∴ eq \f(S△EFG,S△BAG)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EF,AB))) eq \s\up12(2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)， ∴S△EFG＝ eq \f(1,9)S△ABG＝ eq \f(4,3). 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为( ) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 eq \o(\s\up17(),\s\do15(1题图)) 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，且DE＝ eq \f(1,2)CE，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，则S△FED∶S△ABE＝( ) A．1∶6 B．2∶5 C．1∶3 D．3∶7 ),\s\do15(2题图)) eq \o(\s\up17( 如图，将等边三角形ABC沿边AC上的高线BD平移到△EFG，阴影部分的面积记为S.若 eq \f(BF,FD)＝ eq \f(1,3)，S△ABC＝16，则S＝__． eq \o(\s\up17(),\s\do15(3题图)) 　　　 eq \o(\s\up17(),\s\do15(4题图)) 如图，已知在▱ABCD中，E是BC的三等分点，连接AE交对角线BD于点F，则S△BEF∶S△ABF∶S△ADF∶S四边形CDFE________________． 如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点，且AE∶BE＝3∶1，连接AC，DE交于点F. (1)求证：△AEF∽△CDF； (2)求△AEF与△CDF的周长比； (3)如果△CDF的面积为32 cm2，求四边形BEFC的面积． 5题图 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AEF∽△CDF. (2)解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AE∶BE＝3∶1，∴AE∶AB＝AE∶CD＝3∶4.由(1)知△AEF∽△CDF，∴△AEF与△CDF的周长比为3∶4. (3)解：由(2)得AE∶CD＝3∶4.∵△AEF∽△CDF，∴ eq \f(AF,CF)＝ eq \f(AE,CD)＝ eq \f(3,4)， eq \f(S△AEF,S△CDF)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(9,16).∵S△CDF＝32 cm2，∴S△ADF＝24 cm2，S△AEF＝18 cm2，∴S△ABC＝S△ADC＝S△CDF＋S△ADF＝32＋24＝56(cm2)，∴S四边形BEFC＝S△ABC－S△AEF＝56－18＝38(cm2). [核心素养]如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E(与点A，C不重合)在AC边上，EF∥AB交BC于点F. (1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长； (2)在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请直接写出EF的长． 6题图 解：(1)∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等， ∴S△ECF∶S△ACB＝1∶2. 由EF∥AB，易得△ECF∽△ACB， ∴ eq \f(S△ECF,S△ACB)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(EC,AC))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,2)，∴ eq \f(EC,AC)＝ eq \f(\r(2),2)， ∴CE＝ eq \f(\r(2),2)AC＝2 eq \r(2). (2)存在．EF的长为 eq \f(60,37)或 eq \f(120,49). 分两种情况： ①如答图①，当∠PEF＝90°时，EP＝EF. 过点C作CD⊥AB于点D，由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠ACB＝90°，∴Rt△ACB的斜边AB上的高CD＝ eq \f(12,5). 设EP＝EF＝x， 由△ECF∽△ACB，得 eq \f(x,5)＝ eq \f(\f(12,5)－x,\f(12,5))， 解得x＝ eq \f(60,37)，∴EF＝ eq \f(60,37)； 同理，当∠EFP′＝90°时，EF＝ eq \f(60,37)； 6题答图①　　　　　　　　　6题答图② ②如答图②，当∠EPF＝90°时，PE＝PF，过点P作PG⊥EF于点G，则PG＝ eq \f(1,2)EF. 过点C作CD⊥AB于点D，由①知CD＝ eq \f(12,5). 设EF＝y，由△ECF∽△ACB，得 eq \f(y,5)＝ eq \f(\f(12,5)－\f(1,2)y,\f(12,5))， 解得y＝ eq \f(120,49)，∴EF＝ eq \f(120,49). 综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，EF的长为 eq \f(60,37)或 eq \f(120,49). $