3.4 第2课时 相似三角形对应周长、面积的比与相似比的关系（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦相似三角形对应周长、面积的比与相似比的关系，通过复习相似三角形定义及相似比，引导学生探究周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的规律，搭建从基础性质到拓展应用的学习支架。 资料按基础达标与能力提升分层设计，含知识点专项训练、易错点辨析及综合应用题，解析注重推理过程与方法总结，助力学生发展抽象能力和推理意识，培养用数学语言解决问题的应用意识，提升学习效率与核心素养。

第2课时 相似三角形对应周长、面积的比与相似比的关系 01基础达标 知识点一 相似三角形的周长比等于相似比 1. 若，相似比为：，则与的周长的比为（ ） A. B. C. D. 2. 已知△ABC∽△DEF，其中AB＝6，BC＝8，AC＝12，DE＝3，那么△DEF的周长为（　　） A. B. C. 13 D. 26 3. 两个相似三角形的最短边分别为4cm和2cm它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（　　） A. 18cm B. 24cm C. 28cm D. 30cm 知识点二 相似三角形的比等于相似比的平方 4. 若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（　　） A. 9：25 B. 3：25 C. 3：5 D. 2：5 5. 如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 易错点 将相似三角形的面积比与等高的三角形的面积比相混淆而出错 6. 如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③ 02能力提升 7. 如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的面积是__． 8. 在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则是_______． 9. 如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是___． 10. 如图，在中，，，，动点在（与点、不重合）边上，交于点． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 第2课时 相似三角形对应周长、面积的比与相似比的关系 01基础达标 知识点一 相似三角形的周长比等于相似比 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， 与的周长的比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似的性质得，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】∵△ABC∽△DEF， ∴，即， ∴△DEF的周长为13， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为2：1，于是可设两三角形的周长分别为2xcm，xcm，所以2x﹣x＝12，然后解方程求出x后，得出2x即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最短边分别为4cm和2cm， ∴两三角形的周长的比为4：2＝2：1， 设两三角形的周长分别为2xcm，xcm， 则2x﹣x＝12， 解得x＝12， 所以2x＝24， 即大三角形的周长为24cm． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 知识点二 相似三角形的比等于相似比的平方 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25， ∴它们的相似比为3：5， ∴△ABC与△DEF的周长比为3：5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案. 【详解】∵，， ∴， ∴，即， 解得，的面积为， ∴的面积为：， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质. 易错点 将相似三角形的面积比与等高的三角形的面积比相混淆而出错 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③正确；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在中，则，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴与不一定相似，故④错误， 故选：D． 02能力提升 【7题答案】 【答案】9． 【解析】 【分析】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为、，由于缩小前后两三角形相似，根据相似的性质得，然后根据比例性质计算出和的值，再根据三角形面积公式计算缩小后的直角三角形的面积． 【详解】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为、， 根据题意得， 解得，， 所以． 缩小后的直角三角形的面积为9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【8题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：①当时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ②当时， 同理可得，， 故答案为或． 【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【9题答案】 【答案】26 【解析】 【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝（）2＝，所以S△AFH=9x，S△ADE=16x，则16x-9x=7，解得x=1，从而得到S△ADE=16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积． 【详解】解：如图， 根据题意得△AFH∽△ADE， ∴＝（）2＝（）2＝， 设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x， ∴16x﹣9x＝7， 解得x＝1， ∴S△ADE＝16， ∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到＝（）2＝（）2＝是解题的关键． 【10题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解． （1）根据题意得的面积是的面积的，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出； （2）根据相似三角形对应边成比例，设的长为，用表示出的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可． 【小问1详解】 解：的面积与四边形的面积相等， ， 又， ， ，且， ； 【小问2详解】 解：设的长为， ， ， ， 由的周长与四边形的周长相等，得， 解得， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $