11函数的零点与方程的根题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程的根核心考点，按定义-定理-方法-应用逻辑梳理零点定义、存在定理、二分法等知识，通过知识梳理、方法指导（如判断区间、个数及求参数策略）、分层练习（即练即清、题型分类、基础与能力提升）和真题详解，帮助学生构建系统知识网络，突破零点判断、参数求解等难点。 资料以数学眼光构建数形结合模型，如将零点个数转化为函数图象交点问题，通过数学思维强化逻辑推理，如二分法求近似解的步骤分析。设置基础到能力的分层练习，配合详细解析与易错警示，培养学生数学语言表达能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

函数的零点与方程的根 一、知识梳理 1. 函数的零点 1.零点的定义: 对于一般函数 ,我们把使 的实数 叫做函数 的零点. 2.零点的几个等价关系: 方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图象与 轴有公共点. ① 易错警示 函数的零点不是函数 图象与 轴的交点,而是 图象与 轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数. 3. 函数零点存在定理: 如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么函数 在区间 内至少有一个零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的解. 2. 二分法 对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间一分为二, 使所得区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 3. 知识拓展 1. 由函数 (其图象是连续不断的) 在闭区间 上有零点不一定能推出 (如图所示), 所以 “ ” 是 “ 在闭区间 上有零点”的充分不必要条件. 2. 如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 在 上单调,那么 在区间 上有且仅有一个实数根. 3. 函数 有零点 方程 有实数解 函数 与 的图象有交点. 4. 判断函数零点所在区间的方法 1. 利用函数零点存在定理:首先看函数 在区间 上的图象是否连续,再看是否有 . 若有,则函数 在区间 内必有零点. 2. 数形结合法:通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断. 5. 判断零点个数的方法 1. 解方程法: 若对应方程 可解,通过解方程,则方程有几个不同解就对应有几个零点. 2. 函数零点存在定理法: 利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在区间 上连续,且 ,还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 才能确定函数的零点个数. 3. 数形结合法: 合理转化为两个函数的图象 (易画出图象) 的交点个数问题. 两个函数图象交点的个数就是函数零点的个数. 6. 已知函数零点求参数的方法 1. 直接法:直接利用函数零点存在定理构建关于参数的不等式 (组), 再通过解不等式 (组) 确定参数范围. 2. 分离参数法:先将参数与自变量分离开来，转化成求函数的最值或值域问题. 3. 数形结合法:先对解析式变形，将所求函数的零点问题转化为两个函数图象交点问题，同一坐标系中画出函数的图象, 利用数形结合求解. 二、练习题 即练即清 1. 判断正误. (对的打“√”，错的打“ ×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 轴的交点.　( ) ( 2 )函数 有零点. ( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( ) (4)已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的,若 ,则方程 至少有一个实数解. ( ) 2. 易错题 函数 的零点为 ___. 3. 用二分法求函数 的零点可以取的初始区间是 ,则 ___. 4. 若函数 的一个零点在区间 , 2) 内，则实数 的取值范围是___. 题型一 判断函数零点所在区间 5. 已知函数 为幂函数,若函数 ,则 的零点所在区间为 A. B. C. D. 6. 用二分法求方程 的近似解时，所取的第一个区间可以是 A. B. C. D. 题型二 判断零点个数 7. 函数 的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 关键元素变式 函数 在 的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 题型三 已知函数零点求参数 9. 已知函数 在 上单调递减 (其中 ),且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解,则 的取值范围是 A. B. C. D. 10. 已知函数 的定义域为 ,满足 ,且 是偶函数,当 , 0] 时, ,若在区间 内,函数 有 2 个零点,则实数 的取值范围是___. 11. 逆反条件变式 已知定义在正实数集上的函数 设 是互不相同的实数,满足 ,则 的取值范围为 A. B. C. D. 12. 设函数 . 当 时,曲线 与 恰有一个交点. 则 A. -1 B. C. 1 D. 2 创新点 本题看似是方程的解 (函数零点) 问题,通过恒等变形分离变量得 ,进一步运用函数知识求解. 但其本质是函数奇偶性和函数零点的关联，考查具有奇偶性函数零点的特征. 13. 设函数 . 若 ,则 的最小值为 A. B. C. D. 1 14. 已知函数 . 若 存在 2 个零点,则 的取值范围是 A. B. C. D. 15. 已知函数 有唯一零点,则 A. B. C. D. 1 16. 已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解,则 的取值范围为 A. B. C. D. 17. 已知函数 ,给出下列四个结论: ① 当 时， 恰有 2 个零点; ②存在负数 ，使得 恰有 1 个零点； ③存在负数 ，使得 恰有 3 个零点； ④存在正数 ，使得 恰有 3 个零点. 其中所有正确结论的序号是___. 18. 设 ，对任意实数 ,用 表示 中的较小者. 若函数 至少有 3 个零点,则 的取值范围为___. 基础夯实 19. 已知函数 ,那么在下列区间中含有零点的为 A. B. C. D. 20. 已知函数 有两个零点 ,则 的取值范围是 A. B. C. D. 21. 定义运算: , 例如: . 若函数 有 3 个不同的零点, 则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 22. 已知函数 若互不相等的实数 满足 ,则 的范围是 A. B. C. D. 23. 已知函数 有两个零点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 24. (多选)已知函数 下列关于函数 的零点个数的说法中,正确的是 A. 当 时，有 3 个零点 B. 当 时，有 1 个零点 C. 当 时，有 8 个零点 D. 当 时，有 8 个零点 25. (多选) 已知函数 若 ,且 ,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 26. 对于定义在集合 上的函数 ，若存在实数 满足 ,则把 叫做 的一个不动点,已知 没有不动点,则实数 的取值范围是___. 27. 已知函数 , 为正常数，则 的零点之和为___. 能力提升 28. 定义在 上的函数 满足 ,则函数 的零点个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 29. 已知 ， 若关于 的方程 恰好有三个互不相等的实根,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 30. 已知函数 ,若方程 的所有实根之和为 4,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 31. (多选)已知函数 的零点分别为 ,则 A. B. C. D. 32. (多选) 已知函数 若存在实数 ,使得方程 有四个不同的实数解 , 且 ,则 A. B. C. D. 33. 设 、 分别是方程 与 的根,则 34. 已知函数 ,若存在实数 且 ,使得 ,则 的最大值为___. 35. 设函数 ,若关于 的方程 有 5 个不相等的实数根,则实数 的取值范围是___. 36.已知函数 的图象和函数 的图象有唯一交点,则实数 的值为 A. 1 B. 3 C. -1 或 3 D. 1 或 3 37.已知函数 与 在 上有 个交点 ,则 A. 0 B. C. D. 2017 参考答案与解析 1. (1) (2) (3) (4) 2. 3. -2 4. 5. 选 C 由 为幂函数,得 ,得 , 所以 ,显然, 是 上的增函数. 选项 A,当 时, ,因此 A 错误; 选项 ,因此 错误; 选项 ,所以 ,因此 C 正确; 选项 D, ,因此 D 错误. 故选 C. 6. 选 B 令 ，因为函数 与 在 上都单调递增,所以函数 在 , 上是增函数,又 ，所以函数 在区间 上有唯一的零点， 所以用二分法求方程 的近似解时,所取的第一个区间可以是 . 故选 B. 7. 选 D 令 ,得 . 在同一平面直角坐标系中分别作出 的大致图象如图所示,观察可知,两个函数的图象有 3 个交点,故函数 的零点个数为 3,故选 D. 8. 选 B 由 ,得 或 . ,又 , ,即零点有 3 个,故选 B. 9. 选 A 由 在 上单调递减,得 , 又 在 上单调递减, 所以 ,解得 ,因此 , (由单调性确定参数 的范围) 作出函数 的大致图象,如图, 由图象可知,在 上, 有且仅有一个解, 因此在 上, 同样有且仅有一个解, 当 ,即 时,令 ,即 有且仅有一个解,所以 ,解得 ; 当 ,即 时,由图象可知,符合题意. 综上, . 故选 A. 10. 答案 解析 函数 有 2 个零点,即函数 与 的图象在区间 内有 2 个不同的交点. 由 知 的最小正周期为 2 . 由题意知 . 画出两函数图象如图,要使 与 的图象有 2 个交点,则 ,即 , . 11. 选 B 设 . 画出函数 的图象,如图所示, , 不妨令 ，则 ， 因此 ,即 ,得 , (利用分段函数解析式得出等量关系消元) 当 时, 单调递减,且其图象与 轴交于点 , 则 ,所以 的取值范围为 . 故选 B. 12. 选 D 令 . 将曲线 与 恰有一个交点转化为当 时，函数 只有一个零点,由 为偶函数知, ,则 . 故选 D. 13. 选 C 与 的解集相同,① 或 与 的解集相同. ② 由①得, 与 的解集相同, 因此, ,即 , 由②得， 与 的解集相同， 因此, ,即 , 综上所述， . ,故选 C. 思路点拨　两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积恒大于或等于 0 , 则两个函数的零点一定相等. 14. 存在 2 个零点等价于函数 与 的图象存在 2 个交点, 如图, 当 时, ,由图可知要满足 与 的图象存在 2 个交点,需要 ,即 . 故选 C. 15. 选 C 由函数 有零点得 有解,即 有解,令 ,则上式可化为 ,即 . 令 ,易得 为偶函数, 又由 有唯一零点得函数 的图象与直线 有唯一交点,则此交点的横坐标为 0,所以 ,故选 C. 16. 选 D 画出函数 的图象,如图. 方程 的解的个数,即函数 的图象与直线 的公共点的个数. 当直线 经过点 时,有 , 当直线 经过点 时,有 . 由图可知, 时,函数 的图象与直线 恰有两个交点. 另外,当直线 与曲线 相切时,恰有两个公共点,此时 . 联立 得 ,即 , 由 ,得 (舍去负根). 综上, . 故选 D. 17. 答案 ①②④ 解析 令 ,得 ,令 ,所以 的零点个数即函数 与 图象的交点个数. 当 时,如图 与 的图象有 2 个交点,则 有 2 个零点,故①正确； 当 时,如图 ,存在 的图象与函数 的图象相切的情况,此时 与 的图象有 2 个交点, 当 时, 与 的图象有 3 个交点,则 有 3 个零点,故④正确； 当 时,如图 与 的图象最多有 2 个交点, 与 的图象相切时有 1 个交点,如图 ,故②正确,③不正确. 综上,正确结论的序号为①②④. 图 a 图 b 图 c 图 d 18. 答案 解析 设 , 第一步,分析 的零点情况. 有 2 个零点, 至少有 3 个零点, 必有零点. 第二步,讨论 的零点个数. 对于 . (1)当 时， 或 10 . ①当 时， ，如图 1. 此时， ，有 2 个零点，不符合题意. ② 当 时， ，如图 2. 此时， 有 3 个零点，符合题意. 图 1 图 2 (2)当 时， 或 . 设 的两个零点为 ，且 . ① 当 时，要使 至少有 3 个零点， 的两个零点 ， 需满足 ,如图 不等式组无解. ②当 时，要使 至少有 3 个零点，需 的两个零点 满足 ,如图 4, 解得 . 图 3 图 4 综上, 的取值范围为 . 19. 选 B 易知函数 在 上单调递减,因为 ,所以 . ,则由函数零点存在定理知在区间 内有零点. 故选 B. 20. 选 B 因为函数 有两个零点 , 所以 的图象与直线 的两个交点的横坐标分别为 , 结合图象知 且 , 则 ,则 , 令 ,则 , 又 在区间 上单调递减,所以 ,故选 B. 21. 选 A 因为函数 有 3 个不同的零点,所以函数 的图象与直线 有 3 个交点, 比较 与 的大小可得, 时, , 当 时, ,即函数 作出函数 的图象如图所示，由图可知当 时，函数 的图象与直线 有 3 个不同的交点，所以实数 的取值范围为 (0, 1),故选 A. 22. 选 A 画出函数 的图象,如图. 令 . 根据图象可得 ,当 时, ,所以 , 则 的范围是 . 故选 A. 23. 选 A 原问题等价于函数 的图象与直线 有两个公共点,当 时,由图 1 得 ,故 ; 当 时, 则有 ,结合图 2 知 不符合条件. 故选 A. 图 1 图 2 24. 选 BD 令 ,得 ,则函数 的零点个数即为 的解的个数,设 ,则 . 对于 ,当 时, 在 上单调递减,且 ,如图 1, 图 1 图 2 由 ,得 ,解得 ,由 ,得 ,解得 ,因此函数 的零点个数是 错误. 对于 ,当 时, 在 上单调递减,且 , 如图 1,由 ,得 ,解得 ,由 ,得 ,解得 ,因此函数 的零点个数是 1, B 正确. 对于 ,当 时, 作出函数 的图象,如图 2, 由图象知 只有 1 个根,由 ,解得 , 当 时, ,若 ,则 , 若 ,则 或 ,此时 有 3 个零点, 错误. 对于 ,当 时, 作出函数 的图象,如图 3, 由图象知 有 3 个根,当 时,由 ,解得 ; 图 3 当 时,由 ,解得 或 , 当 时， ，若 ，则 , 若 ,则 ,此时共有 3 个解; 当 时, ,若 ,则 ,有 1 个解, 若 ,即 ,则 ,有 1 个解,此时共有 2 个解, 当 时, ,若 ,则 ,有 1 个解, 若 ,解得 ,此时共有 3 个解. 因此当 时,函数 的零点个数是 8, D 正确. 故选 BD. 25. 选 AB 函数 的图象如图所示, 设 ,则 , 则直线 与函数 的图象 4 个交点横坐标分别为 , . 对于 ,函数 的图象关于直线 对称,则 -4,因此 正确; 对于 ,由图象可知 ,且 , ,即 ,所以 ,因此 正确; 对于 ,由图象可知 ,则 ,因此 错误; 对于 ,由图象可知 , 所以 , 因此 D 错误. 故选 AB. 26. 答案 解析 依题意知 在 上无实数根, 即 在 上无实数根, 即 在 上无实数根, 令 ,则 在 上单调递增, 又 ,所以 , 所以 或 ,解得 或 , 即实数 的取值范围是 . 27. 答案 -8 解析 函数 的定义域为 , 由 ,得 ,令函数 , , 则函数 的图象关于直线 对称, 在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象, 如图, 直线 与函数 的图象有 4 个交点,令其横坐标从左到右依次为 , 观察图象得 ,所以 的零点之和为 -8 . 28. 选 B 当 时, ,则 ; 当 时, ,此时 ,所以 . 又 ,即 ,所以 令 ,得 , 因此 或 , 设 ,画出函数 的图象如图, 由图象知,交点个数为 4,因此函数 零点的个数为 4 . 故选 B. 29. 选 D 记方程 的两根为 , 当 时, 恰好有三个互不相等的实根,等价于 的图象与直线 和直线 共有三个不同的交点, 由图可知,此时有 , 即 当 时, 恰好有三个互不相等的实根,等价于 的图象与直线 有三个不同的交点, 由图可知,此时 ,即 综上,实数 的取值范围为 . 故选 D. 30. 图象的对称轴为直线 的图象如图 1 所示, 图 1 图 2 令 ,则方程 就是 , 实根的个数即为函数 与函数 的图象交点个数，如图 2 所示， 当 时，函数 与函数 的图象有 1 个交点，且交点横坐标大于 1,即 ,函数 的图象与直线 1) 有 2 个交点,且 2 个交点关于直线 对称, 则方程 有两根,且两根和为 2,不符合题意; 当 时,函数 与函数 的图象有 2 个交点, , , 时 ,可得 或 , 时 ,可得 或 或 ,即函数 与函数 的图象有 5 个交点, 则方程 有 5 个根,且 5 个根的和为 5,不符合题意; 当 时，函数 与函数 的图象有 2 个交点， 分别为 ,即 或 , 当 时，函数 的图象与直线 无交点，不符合题意; 当 时，函数 的图象与直线 有 4 个交点，且关于直线 对称,所以 4 个交点横坐标之和为 4, 则方程 有 4 个根,且 4 个根之和为 4,符合题意. 综上, . 故选 C. 31. 选 ACD 对于 A,由题得 , 所以 ,即 , 所以 ,故 ,因此 正确; 对于 ,由 得 , 则函数 与 图象交点横坐标和 与 图象交点的横坐标即为函数 和 的零点 , 如图 1,2,由图象可知 , 图 1 图 2 由 ,得 , 所以 ,因此 错误; 对于 ,由 ,即 以及 得 ,因此 正确; 对于 ,因为 , 所以 ,因此 正确. 故选 ACD. 32. 选 ABD 作出函数图象如图所示, 由图可知 ,且 , 且 , 即 ,即 , 且 ,当且仅当 ,即 时取等号,但 ,则 选项正确; 选项正确； 又 ,所以 设 , 则 在 上单调递增, ,即 ,即 , 选项错误; 对 求导得 ,且 在 上单调递增, 则 ,所以 在 上单调递减,所以 ,即 , D 选项正确. 故选 ABD. 33. 答案 -2 解析 由 可得 ,由 可得 所以 是函数 与 图象的交点横坐标, 是函数 与 图象的交点横坐标, 函数 与 互为反函数,其图象关于直线 对称, 如图所示， 联立 与 可得 ,因此 . 34. 答案 解析 作函数 的图象,如图所示, 令 ,解得 或 , 令 ,解得 或 或 , 由题意可知: 直线 与 的图象有三个交点,则 , 此时由二次函数图象的对称性知 , 令 ,可得 , 则 , 令 ,则 , 可知 在 内单调递增,则 的最大值为 , 所以 的最大值为 . 35. 答案 解析 令 ,则 , 令 ,解得 ,令 ,解得 , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 当 时, , 而 , 由零点存在定理可得:存在 ，使得 ， 当 时， . 又 ,故可大致画出 的图象,如图所示, 令 ,由关于 的方程 有 5 个不相等的实数根,得直线 与 的图象有 5 个交点, 且关于 的方程 有两个解,不妨设为 , ① 若 ，那么 才能满足条件. 由 是方程 的解,得 , 解得 ,此时直线 与 的图象只有 4 个交点,不满足条件. ②若 ，此时直线 与 的图象有 5 个交 点,则 综上所述，实数 的取值范围是 . 36. 选 D 因为函数 的图象和函数 的图象有唯一交点,所以方程 有唯一解,即 有唯一解,令 ,则 在 上有唯一零点, 因为 ,所以 为偶函数,因为 在 上有唯一零点,所以 唯一的零点为 ,所以 ,即 ,得 ,解得 或 ,故选 D. 37. 的图象都关于点 对称. 由图可知两函数图象交点成对出现,每对交点的横坐标和为 0 , 纵坐标和为 2,所以 ,故选 B. 学科网（北京）股份有限公司 $