重难点培优05 不等式的恒成立或有解问题全攻略（9大题型）（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优05 不等式的恒成立或有解问题全攻略 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 恒成立、有解基础概念辨析（★★★★★） 4 题型02 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★★★） 6 题型03 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★★★） 9 题型04 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题（★★★★） 14 题型05 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★） 18 题型06 全称、特称命题真假结合求解参数（★★★★★） 22 题型07 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★） 22 题型08 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★） 22 题型09 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★） 22 03 实战检测·分层突破验成效 27 重难知识巩固 27 创新能力提升 42 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 恒成立、有解问题基础概念 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 知识点02 分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到0，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 知识点03 恒成立类型补充 1、①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 2、①，使得方程成立． ②，使得方程成． 3、①，； ②，； ③，； ④，． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 恒成立、有解基础概念辨析 【技巧通法·提分快招】 恒成立指对范围内所有变量取值不等式均成立，对应最值关系：恒成立⇔；有解（能成立）指存在变量使不等式成立，对应最值关系：有解⇔。注意“任意”与“存在”的逻辑量词区分，以及“恰有解”“无解”等变式，解题时先明确量词再转化最值。 1．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意； ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意； ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得. 综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入函数解析式，解不等式即可；     （2）分类讨论解决不等式恒成立问题； （3）问题等价于存在使得成立，求在时的最大值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ① 当， 则对任意恒成立，即满足题意； ② 当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意； ③ 当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得. 综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即， 因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的取值范围； (2)m的取值范围为. 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 4．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据恒成立问题得，求得，解不等式即可得解； （2）根据有解问题得，利用二次函数单调性求得最小值列不等式得，然后根据命题为假命题且命题为真命题列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，即，解得，         则的取值范围. （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则.         因为，且单调递减， 所以，     所以，故解得；         若为假命题，为真命题，则或，所以.     综上可得的取值范围为. 题型02 基本不等式中的恒成立和有解问题 【技巧通法·提分快招】 通过分离参数或变形为“”形式，将恒成立转化为求的最大值，有解转化为求的最小值。核心工具为基本不等式，需验证等号成立条件（“一正二定三相等”）。多变量时注意“1”的代换或齐次化处理，常数分离后求最值。 1．（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 2．（25-26高三下·重庆·月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 3．（2026·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解. 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 4．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 5．（25-26高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为、为正实数，所以， 所以由，可得， 又，当且仅当，即时取等号， 因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 7．已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由得，由基本不等式进而可得. 【详解】因，是正实数及，可知， 可得，得，得， 因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立， 故，故， 故，故， 故答案为： 题型03 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 注：对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即． 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得. 【详解】因命题为真，故在上恒成立， 故，解得， 故命题为真的一个充分不必要条件为的子集， 故选：B 3．若对，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】令，，依题意可得，恒成立， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上可得的取值范围是. 故选：B 4.（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 5．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 7．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合； （2）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （3）先参数分离，再应用基本不等式取得最小值，进而得出参数范围. 【详解】（1）集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. （2）由，且， 得n与6为方程的两根，且， 则，解得， 所以. （3）， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 题型04 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 【技巧通法·提分快招】 有解转化为最大值/最小值条件：在区间上有解⇔；有解⇔。解题时先确定二次函数在给定区间上的单调性，利用对称轴与区间位置关系求最值。与恒成立形成对照——恒成立找“所有”满足，有解找“存在”满足，最值方向恰好相反。 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 2．（25-26高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 3．（2026·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 4．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，，满足不等式， 故只需， 其中，当且仅当时，等号成立， 关于的函数， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 综上，实数m的取值范围是或， 故答案为：或 5．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 6．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 题型05 函数不等式的恒成立和有解问题 【技巧通法·提分快招】 对一般函数（指对幂、三角等），核心方法为分离参数+构造函数求最值。若参数难分离，直接构造函数，利用导数研究其单调性与最值，令最值与0比较。注意定义域优先原则，端点处单侧极限需单独判断。涉及多函数时可作差或作商，灵活选择求导工具。 1．（25-26高三上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得. 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 2．（25-26高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，利用函数单调性求参数的取值范围. 【详解】由题意可得：. 因为若，当时，，，则不能恒成立. 当时，单调递增，单调递减，要使在上恒成立，须有： . 所以实数的取值范围为：. 故选：C 3．若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况，结合函数图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】若，此时，，而，故无解； 若，此时，，而， 令，，画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立，则要， 解得：． 故选：B． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 又因为函数在区间上单调递增， 所以当时，. 综上可得函数的最小值为. 因为，使得成立， 所以，解得：或. 故选：C. 5．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案. 【详解】当时，记和的值域分别为集合，. 当时，，当时，， 所以函数的值域为. 因为对，，使得成立，所以. 又函数在区间上单调递增， 所以，则，解得. 故选：C. 题型06 全称、特称命题真假结合求解参数 【技巧通法·提分快招】 全称命题“”为真⇔恒成立；特称命题“”为真⇔有解。命题为假时取其否定转为真命题处理：全称命题的否定为特称命题，反之亦然。解题时先将命题真假转化为对应的恒成立或有解问题，再按前法求参数范围，注意命题含多个量词时需逐层处理。 1.（25-26高二下·上海黄浦·期末）命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 2．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知命题“存在，使得”为假命题． (1)求实数的取值集合A． (2)设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据存在量词命题的否定，利用二次函数图象性质解决问题； （2）根据是的必要不充分条件可得集合包含关系，利用子集列出不等式，解决参数范围问题． 【详解】（1）因为“存在，使得”为假命题， 故，使为真命题， 所以，解得， 得到； （2）由整理可得 设，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以，所以， 所以， 因为是的必要不充分条件， 故是的真子集，所以（等号不同时成立），解得． 故实数的取值范围为． 3．（2026高一·全国·专题练习）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 4．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到方程无实根，通过判别式即可求解； （2）通过p的否定为真命题求得范围，再结合（1）即可求解. 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 题型07 导数中单变量恒（能）成立问题 【技巧通法·提分快招】 分离参数得（或），恒成立⇔（或），能成立⇔（或）。若参数不可分离，构造函数，利用导数讨论单调性，结合区间端点值和极值确定最值，转化为恒成立。注意分类讨论的完整性。 1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知则在区间上恒成立，分离变量得， 则，利用辅助角公式或者导数都可求出在区间上的最大值，由此可得答案. 【详解】由题干可得，若函数在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，因为，所以只需， 即只需恒成立，令， 由辅助角公式可知，由，得， 因为余弦函数在上单调递减，在单调递增， 且时，，时，， 故在上的最大值为，故. 故选：B. 2．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 3．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解. 【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 5．（2026·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参. 【详解】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 题型08 导数中双变量恒（能）成立问题 【技巧通法·提分快招】 核心为理解量词顺序：任意，存在使成立⇔；任意恒成立⇔（或反方向）。策略：固定一个变量，先对内层变量求最值，再对外层变量求最值。若两变量独立且范围相同，可构造差值函数转化为单变量问题。 1．（25-26高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先条件等式变形为，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据不等式，比较大小. 【详解】由可知，， 设，，，所以在单调递增， 因为，，所以. 故选：D 2．（2026·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将恒成立转化为，令，利用导数求出的最大值，可得，又由，求得答案. 【详解】由，对任意恒成立， 即， 令，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， ，即，， 又由切线放缩可知，， ，即， 所以的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得，再根据切线放缩得，得解. 3．（25-26高三下·重庆·月考）函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．e 【答案】D 【分析】由在上恒成立，得，消元得到，令，求导得到的最小值即得结果. 【详解】由题设在上恒成立， 此时在上都单调递增， 所以只需在上的零点相同，即， 所以，令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增，所以. 故选：D. 4．（25-26高三下·云南·月考）已知函数，，，则（   ） A． B． C．4 D．16 【答案】D 【分析】求导可得有两个零点，，从而可得，再由条件可得的零点也为，，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，， ， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 的极小值为， 又因为，，所以有两个零点，， ，且，即得，（*） 若，，则的零点也为，， 且代入（*）式得：，所以. 故选：D． 5．（2026·江西吉安·模拟预测）若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分离常数可得，设，根据的性质，结合函数与方程的关系即可求解. 【详解】由，得， 设，则， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 6．（25-26高三下·陕西安康·月考）若，对，，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依据题意，先将原题转化为，求出的最大最小值，再将问题转化为与的有解问题，求解不等式可得结果. 【详解】由题意可知：对恒成立，且对恒成立，即， 令，则，令，解得：，因为，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，，，则， 则原题等价于，使得成立，则，解得：. 故答案为：. 题型09 导数中双函数恒（能）成立问题 【技巧通法·提分快招】 双函数与在各自定义域上，需满足不等式关系。处理策略：①分离为两个独立最值——恒成立⇔；②构造函数，转化为恒成立，求导研究其最值。注意两函数定义域可能不同，需分别取值比较，能成立时对应最值方向相反。 1．（25-26高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围； （2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围； （3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解． 【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 3．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 一、选择题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 4．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 5．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 6．（26-27高三·全国·一轮复习）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． 7．（25-26高一上·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 二、填空题 8．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 9．（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）写出使得命题“，”的否定是假命题的一个实数的值__________. 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【分析】分析可知，命题“，”为真命题，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得出答案. 【详解】若命题“，”的否定是假命题， 则命题“，”为真命题，所以， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，所以. 故答案为：（答案不唯一，满足的都可以）. 三、解答题 11．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，分情况讨论即可； （2）首先根据代入函数表达式，整理得到与的和为定值；再将所求式与该定值结合，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得， 所以实数的取值范围是。 （2）已知，代入函数得：， 整理得：， 因为，所以，且可变形为， 令，则，目标式变为：， ， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 代入，得，，此时，， 因此：， 所以的最小值为. 12．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. (1)解关于x的不等式； (2)设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 【答案】(1) 当时，此时不等式的解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. (2) 【分析】（1）对进行因式分解，得到，再分别对与进行讨论，求解即可. （2）法一：因为为真命题，故对，，分别对与进行讨论求解即可.法二：分离参变量，利用基本不等式求解的最小值. 【详解】（1），即， 当时，此时不等式的解集为， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，此时不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，函数在上单调递增， 故对，，满足条件； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数，，满足． (1)证明对任意的，，恒成立， (2)若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； (3)自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 【答案】(1)证明见解析； (2)2或3； (3)，理由见解析； 【分析】（1）令，则，所以，证毕； （2）令，则，变形，只需，不等式两边同除以，令，参变分离得到，由基本不等式求出，所以，所以或3； （3）同（2），变形得到，由基本不等式得到，故，得到，证毕. 【详解】（1），令， 则， 所以 ， 所以恒成立； （2）令，则， 故 ， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， 由于，当且仅当，时，等号成立， 所以，为大于1的自然数，所以或3； （3）自然数p，m，n满足时，对，，恒成立； 理由如下：令，则， 则， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， p，m，n为自然数，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即， 所以，，必要性成立， 当时，，即， 所以， 所以对，，恒成立，充分性成立， 综上，自然数p，m，n满足时，对，，恒成立. 创新能力提升 1．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“当时，不等式恒成立”等价于“，恒成立”，设函数，通过导数分析其单调性得；再设并通过导数得在上单调递增，且，故得a的取值范围是. 【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于 恒成立； 因为，所以； 设函数，，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设，则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立，需使恒成立，即 所以a的取值范围是. 2．（25-26高三下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】变形得到，故，二次求导得到在R上单调递增，从而得到，故，构造，求导得到其单调性，确定最值，得到答案. 【详解】， 存在实数，使得，即， ， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， ， 故在R上单调递增， 所以， 故， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：变形得到，故，结合在R上单调递增，得到，进而将二元问题转化为单元问题进行求解. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据与0关系分三种情况讨论，其中当时，再根据的最小值与0的关系分和两种情况讨论，当时，把在上恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值，且即可求出m的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ①当时，， 当时，，不符合题意； ②当时，取，则，不符合题意； ③当时，设，， 则，当且仅当时取等号. （i）若，即，取， ，，不满足题意； （ii）若，即， 若在上恒成立，则需在上恒成立， 又， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 故，解得，所以. 综上可知，. 故选：D. 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知，其中． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、后可得切线方程； （2）根据的符号得的单调性，再求出在、在上的值域，根据它们的包含关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，则，， 故点处的切线方程为，即． （2）由题意得， 0 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 所以的单调增区间是，单调减区间是和． 由，当时，，当时，． 因为对于任意的，总存在，使得， 故，所以，所以． 设，，问题转化为． 下面分两种情况讨论：                  情形一：当，即时，有，在上单调递减， 故在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，故， 所以，不符合题意； 情形二：当时，，在上单调递减， 故的取值范围，故， 而，在上单调递减，故， 满足，故符合题设要求. 情形三：当，即时，此时， 故此时在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，即， 而，故成立， 综上，a的取值范围为． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导，再令，进而可得，从而可得导函数的两个零点，再根据两个零点大小分类讨论可得. （2）由不等式进行参数分离得，再构造函数，将函数变形为，再用导数证明恒成立，进而可得，从而可得函数的最小值并结合条件可得结果. 【详解】（1）由函数，且， 所以函数的定义域为，且， 令，则. 令，解得或，且函数与都在上单调递增. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增，且时， ，时，， 所以存在唯一，使得，即. 所以，当且仅当时等号成立， 因此，又因为，则实数的取值范围为. 7．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； (2)当时，若，对，使得，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （2）由题意得出，利用导数求解即可. （3）函数有两个极值点，等价于 在 上有两个不同的根；令 ，利用二阶导数或导数的应用可求出，从而可得出结论. 【详解】（1），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （2）当时，若，对使得，则， 因为,当时，,所以函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3） ，其定义域为 ， 则 ，令 ，则 在 上有两个不同的根， 等价于 在 上有两个不同的根； 令 ，. 令 ，则 ，所以在 上单调递减； 又因为，所以当时， ，即 单调递增； 当 时， ，即 单调递减；所以 . 当 时， ；当 时，. 要使 与 的图象有两个不同的交点，则 ， 即 的取值范围是 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 不等式的恒成立或有解问题全攻略 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 恒成立、有解基础概念辨析（★★★★★） 3 题型02 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★★★） 3 题型03 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★★★） 5 题型04 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题（★★★★） 7 题型05 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★） 8 题型06 全称、特称命题真假结合求解参数（★★★★★） 9 题型07 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★） 9 题型08 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★） 9 题型09 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 16 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 恒成立、有解问题基础概念 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 知识点02 分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到0，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 知识点03 恒成立类型补充 1、①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 2、①，使得方程成立． ②，使得方程成． 3、①，； ②，； ③，； ④，． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 恒成立、有解基础概念辨析 【技巧通法·提分快招】 恒成立指对范围内所有变量取值不等式均成立，对应最值关系：恒成立⇔；有解（能成立）指存在变量使不等式成立，对应最值关系：有解⇔。注意“任意”与“存在”的逻辑量词区分，以及“恰有解”“无解”等变式，解题时先明确量词再转化最值。 1．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 4．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 题型02 基本不等式中的恒成立和有解问题 【技巧通法·提分快招】 通过分离参数或变形为“”形式，将恒成立转化为求的最大值，有解转化为求的最小值。核心工具为基本不等式，需验证等号成立条件（“一正二定三相等”）。多变量时注意“1”的代换或齐次化处理，常数分离后求最值。 1．（2026·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·重庆·月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 4．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 6．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 7．已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 . 题型03 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 注：对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即． 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．若对，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 5．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 6．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 7．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 题型04 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 【技巧通法·提分快招】 有解转化为最大值/最小值条件：在区间上有解⇔；有解⇔。解题时先确定二次函数在给定区间上的单调性，利用对称轴与区间位置关系求最值。与恒成立形成对照——恒成立找“所有”满足，有解找“存在”满足，最值方向恰好相反。 1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 . 5．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 6．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 题型05 函数不等式的恒成立和有解问题 【技巧通法·提分快招】 对一般函数（指对幂、三角等），核心方法为分离参数+构造函数求最值。若参数难分离，直接构造函数，利用导数研究其单调性与最值，令最值与0比较。注意定义域优先原则，端点处单侧极限需单独判断。涉及多函数时可作差或作商，灵活选择求导工具。 1．（25-26高三上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型06 全称、特称命题真假结合求解参数 【技巧通法·提分快招】 全称命题“”为真⇔恒成立；特称命题“”为真⇔有解。命题为假时取其否定转为真命题处理：全称命题的否定为特称命题，反之亦然。解题时先将命题真假转化为对应的恒成立或有解问题，再按前法求参数范围，注意命题含多个量词时需逐层处理。 1.（25-26高二下·上海黄浦·期末）命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 2．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知命题“存在，使得”为假命题． (1)求实数的取值集合A． (2)设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3．（2026高一·全国·专题练习）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 4．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 题型07 导数中单变量恒（能）成立问题 【技巧通法·提分快招】 分离参数得（或），恒成立⇔（或），能成立⇔（或）。若参数不可分离，构造函数，利用导数讨论单调性，结合区间端点值和极值确定最值，转化为恒成立。注意分类讨论的完整性。 1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型08 导数中双变量恒（能）成立问题 【技巧通法·提分快招】 核心为理解量词顺序：任意，存在使成立⇔；任意恒成立⇔（或反方向）。策略：固定一个变量，先对内层变量求最值，再对外层变量求最值。若两变量独立且范围相同，可构造差值函数转化为单变量问题。 1．（25-26高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·重庆·月考）函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．e 4．（25-26高三下·云南·月考）已知函数，，，则（   ） A． B． C．4 D．16 5．（2026·江西吉安·模拟预测）若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·陕西安康·月考）若，对，，则实数m的取值范围是 ． 题型09 导数中双函数恒（能）成立问题 【技巧通法·提分快招】 双函数与在各自定义域上，需满足不等式关系。处理策略：①分离为两个独立最值——恒成立⇔；②构造函数，转化为恒成立，求导研究其最值。注意两函数定义域可能不同，需分别取值比较，能成立时对应最值方向相反。 1．（25-26高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 一、选择题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 二、填空题 8．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 9．（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）写出使得命题“，”的否定是假命题的一个实数的值__________. 三、解答题 11．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 12．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. (1)解关于x的不等式； (2)设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 13．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数，，满足． (1)证明对任意的，，恒成立， (2)若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； (3)自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 创新能力提升 1．（25-26高三下·江苏南京·月考）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知，其中． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）已知函数． (1)若在单调递增，求的取值范围； (2)当时，若，对，使得，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $