25.1 一元二次方程的概念 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念，涵盖定义、一般形式及根的知识。通过古印度“猴子分两队”名题情境导入，引导学生对比一元一次方程，经历从实际问题抽象方程的过程，搭建新旧知识联系的学习支架。 这份资料以情境教学和探究法为特色，古算名题激发兴趣，对比归纳定义培养抽象能力，正反例辨析强化推理意识，矩形道路面积问题落实模型意识。典例精讲与分层作业结合，助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供清晰教学流程和实用教学资源。

含 AI 生成 25.1 一元二次方程的概念 教学设计 课题 25.1 一元二次方程的概念 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1. 理解一元二次方程及其根的概念。 2. 掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项。 3. 通过一元二次方程的引入，培养学生的建模思想和归纳、分析、解决问题的能力。 教学重点 一元二次方程的概念及其一般形式。 教学难点 正确识别一般式中的“项”及其系数。 教学方法 讲授法、探究法、情境教学、合作学习 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成课本随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 1. 创设情境，呈现古算名题 多媒体出示印度古算书中的“猴子分两队”问题：一群猴子分两队，高高兴兴在游戏。八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数共多少，两队猴子在一起。 学生独立读题、理解题意，尝试设未知数列出方程。 2. 设未知数列方程 设猴子总数为x，则一队猴子数是猴子总数的的平方，即，另一队猴子数是12。于是可列出方程： 。 教师指出：这是一个一元二次方程，从而引出本节课题。 阅读古算名题，理解题意，尝试设未知数并列出方程。 以古印度数学名题创设真实情境，激发学习兴趣，引导学生经历“从实际问题抽象出方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的数学模型，为概念教学做铺垫。 二、新知探究 探究1 定义 探究1：一元二次方程的定义 教师引导：观察上面列出的方程（x/8的平方加12等于x），它与我们已经学过的一元一次方程有什么不同？ 学生对比观察，发现该方程含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是2。 教师完整板书定义： 只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 教师强调一元二次方程必须具备的三个条件： ①只含有一个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③未知数的最高次数是2。 对比一元一次方程观察新方程特征，参与归纳一元二次方程的定义与三个条件。 由具体方程抽象出一元二次方程的概念，类比一元一次方程的教学，渗透建模与归纳思想，落实本节课的重点。 三、典例精讲 （例1） 【典例精讲】 例1（由具体问题抽象出方程）如图，在一块长12m、宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m²。设道路宽xm，则根据题意，可列方程为＿＿＿＿＿＿。 分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，剩下的部分是一个矩形，根据矩形的面积公式，可列方程为（12－x）（8－x）＝77。 【答案】 （即）。 【方法总结】 由具体问题抽象出方程的方法：（1）找出实际问题中的等量关系；（2）列出方程。 【追问】 你能指出上面列出的方程中未知数的最高次数是多少吗？它符合一元二次方程的三个条件吗？ 观察图形，理解“平移道路”转化为矩形面积的思路，独立列方程并辨析方程特征。 以实际题例为载体训练由实际问题抽象方程的能力，同时回扣一元二次方程的概念特征，突破“识别项及系数”的难点做准备。 四、新知探究 探究2 概念辨析 探究2：判定一元二次方程 例2（一元二次方程的概念辨析）下列方程中，是一元二次方程的是（填序号）。 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）。 解析：（1）是一元二次方程；（2）含有分式；（3）含有两个未知数；（4）未知数最高次数为3；（5）方程整理得10x－4＝0，不是一元二次方程；（6）整理得x²－5x＋1＝0，是一元二次方程。 【答案】（1）（6） 【方法总结】 判断一个方程是否是一元二次方程的方法：首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简，使方程的右边为0，看是否具备另外两个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2。 【追问】 方程（5）经过化简后是什么方程？为什么它不是一元二次方程？化简后再判断有什么好处？ 逐题判断，特别关注含分式、含两个未知数、最高次数为3及可化简的方程，归纳判断方法。 通过正反对比辨析，突破一元二次方程概念判定的难点，规范整式、一元、二次三条判断原则，落实概念理解。 五、新知探究 探究3 一般形式 探究3：一元二次方程的一般形式 教师说明：任何一元二次方程经整理后，都可以化为如下一般形式。 一元二次方程的一般形式：。 其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 教师强调：二次项系数a不能等于0；求二次项、一次项的系数和常数项时，必须把它化为一般形式，并注意带上前面的符号。 认识一般形式的各项名称，明确a、b、c的符号意义，理解“必须化为一般形式”的要求。 由具体方程引出一般形式，规范各项及其系数的表述，突破“正确识别一般式中的项及其系数”这一难点。 六、典例精讲 （例3） 【典例精讲】 例3 把方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解析：将方程去分母、去括号、移项、合并同类项等，即可得到方程的一般形式。 【答案】 解：方程两边同乘6，得3(x－1)²＝18x＋2。 去括号，得3x²－6x＋3＝18x＋2。 移项、合并同类项，得3x²－24x＋1＝0。 ∴此方程的二次项系数为3，一次项系数为－24，常数项为1。 【方法技巧】 求一元二次方程的各项系数和常数项，必须要把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项时，一定要包括前面的符号。 【追问】 把方程化为一般形式时，先约去公因数是否会影响各项系数的判断？哪些变形（去分母、去括号、移项、合并）步骤不能省略？ 跟随教师规范完成去分母、去括号、移项、合并的完整变形，写出一般形式并正确作答。 以综合方程为载体，完整展示化一般形式的全流程，落实“识别项及系数”的方法，渗透化归思想，突破本节课难点。 七、新知探究 探究4 根 探究4：一元二次方程的解（根） 教师引入：和一元一次方程的解类似，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 教师说明判断方法：把待定的数代入方程，若左右两边相等，则它是方程的根；否则不是。 类比一元一次方程的解，理解一元二次方程的根的含意及判断方法。 由“方程的解”类比迁移建立“一元二次方程的根”的概念，渗透类比思想，为根的应用做准备。 八、典例精讲 （例4、例5） 【典例精讲】 例4 方程的解是（ ） A. 1　B. －3　C. 3　D. 1或－3 解析：把1，－3，3分别代入方程x²＋2x－3＝0，发现当x＝1和x＝－3时，方程左右两边相等，所以x＝1和x＝－3都是方程x²＋2x－3＝0的解。 【答案】D 【方法总结】判断一个数是否是某个一元二次方程的解的方法：把该数代入这个一元二次方程中，若方程的左右两边相等，则该数是这个方程的解；若方程的左右两边不相等，则该数就不是这个方程的解。 例5（利用根的定义解题）x＝1是关于x的一元二次方程x²＋ax＋2b＝0的一个解，则2a＋4b的值为（ ） A. －2　B. －3　C. －1　D. －6 解析：把x＝1代入方程x²＋ax＋2b＝0，得1＋a＋2b＝0，∴a＋2b＝－1，∴2a＋4b＝2(a＋2b)＝2×(－1)＝－2。 【答案】A 【方法技巧】已知方程的根求字母或式子的值的方法：通常需要将方程的根代入原方程，根据要求的结果进行转化，可通过分解因式或者整体代入等方法求解。 【追问】 例5中由根得到的条件是a＋2b＝－1，如果不分解因式，能否直接求出2a＋4b的值？体现了什么数学思想？ 逐个代入检验判断方程的解，理解和用整体代入求代数式的值的方法。 以判断解与已知根求值为载体，落实一元二次方程根的判断方法与应用，训练验证与整体代换的数学思想，巩固概念理解。 九、当堂检测 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） 　 C.（x－1）（x＋2）＝1　D. 3x²－2xy－5y²＝0 【答案】C 解析：A选项含有分式；B选项中未强调a、b、c为常数且a≠0；D选项中含有两个未知数。 2. 把方程（3x＋2）（x－3）＝2x－6化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 【答案】 解：∵（3x＋2）（x－3）＝2x－6， 即3x²－9x＝0， ∴它的二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是0。 独立完成两道检测题，交流判断依据与化一般形式的完整过程。 通过判断一元二次方程与化一般形式两道检测，当堂检验概念与一般形式两个核心目标的达成情况，反馈矫正，巩固新知。 十、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2； 2. 一元二次方程的一般形式：，注意识别二次项、一次项及其系数和常数项时要带上符号； 3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。判定一个数是否是一元二次方程的根，把它代入方程检验左右两边是否相等即可。 回顾概念、一般形式与根的知识，梳理“问题情境—数学模型—概念归纳”的学习过程。 系统梳理本节知识，帮助学生构建完整知识结构，回扣建模、类比与归纳的数学思想。 十一、作业布置 必做： 课本随堂练习及配套练习中判断一元二次方程、化一般形式的题目。 选做： 结合矩形面积问题，自编一道能列出一元二次方程的实际问题，并与同伴交流检验。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固概念，选做题拓展建模能力。 板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、一元二次方程的定义 只含一个未知数 整式方程 未知数最高次数是2 二、一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0） 二次项ax² 系数a 一次项bx 系数b 常数项c 系数带前符号 三、一元二次方程的根 使方程两边相等的未知数 判断：代入检验 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $