第三单元 数与运算的再认识（期中知识清单）数学苏教版六年级上册（新教材）

第三单元 数与运算的再认识（期中知识清单） 考点梳理 考点一、数的意义的一致 数的本质是计数单位的累加。无论是整数、小数还是分数，其核心都在于确定“计数单位”以及该单位包含的“个数”。 1. 整数的意义 (1) 基础计数单位是“1”。 (2) 例如： 表示 个 ； 表示 个 或 个 。 (3) 位值制原理：数字所在的位置决定了其计数单位（个位、十位、百位等）。 2. 小数的意义 (1) 小数是分母为 的分数的另一种表现形式。 (2) 基础计数单位是 。 (3) 例如： 表示 个 。小数与整数在结构上具有高度一致性，只是计数单位变小了。 3. 分数的意义 (1) 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。 (2) 基础计数单位是分数单位（即 ）。 (3) 例如： 表示 个 ； 表示 个 。 (4) 核心结论：所有数都可以看作是由若干个“计数单位”组成的。数的运算本质上就是计数单位个数的运算。 考点二、加减法算理的一致 加减法运算的根本原则是：只有计数单位相同的数，才能直接相加减。 1. 整数加减法 (1) 对齐规则：数位对齐（个位对个位，十位对十位）。 (2) 算理：确保相同计数单位（如“1”与“1”，“10”与“10”）的个数进行合并或减少。 2. 小数加减法 (1) 对齐规则：小数点对齐。 (2) 算理：小数点对齐即为相同数位对齐，确保十分位与十分位、百分位与百分位等相同计数单位的个数相加减。 3. 分数加减法 (1) 异分母处理：必须先通分。 (2) 算理：通分的目的是统一分数单位。例如 ，转化为 ，此时计数单位统一为 ，再将个数 相加，结果为 。 4. 总结 (1) 无论何种数域，加减法的核心都是“单位统一，个数运算”。 考点三、乘除法算理的一致 乘除法是加减法的高级形式，其算理依然依托于计数单位的变化与重组。 1. 乘法算理 (1) 整数乘法： 表示 个 相加，或 个 相加。本质是计数单位个数的倍数关系。 (2) 小数乘法：先按整数乘法计算，再根据因数中小数位数确定积的计数单位。 例： 。 。因数是 和 ，积的计数单位变为 ，故结果为 （ 个 ）。 (3) 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。 例： 。实质是计数单位 的 是多少，或者理解为新的计数单位 有 个。 2. 除法算理 (1) 包含除：求一个数里包含多少个另一个数（计数单位的个数比）。 (2) 等分除：把一个数平均分成若干份，求每份是多少（计数单位的细分）。 (3) 一致性体现：除法运算结果反映了被除数与除数之间计数单位数量的倍数或比率关系。 考点四、除法转化为乘法 在分数及更广泛的数系运算中，除法可以统一转化为乘法，这是简化运算、统一算法的关键策略。 1. 转化依据 (1) 除以一个不为 的数，等于乘这个数的倒数。 (2) 公式表达： （ ）。 2. 具体应用场景 (1) 分数除法： 1　 。 2　 逻辑：除以 等同于求“多少个 组成 ”，通过乘倒数实现单位转换。 (2) 小数除法：虽然通常通过移动小数点转化为整数除法，但从代数角度看， 。 (3) 整数除法：。 3. 核心价值 (1) 将四种运算缩减为加法与乘法两种基本运算（减法视为加相反数，除法视为乘倒数）。 (2) 体现了数学运算的结构化与简约化思想，为后续代数学习（如解方程、函数变换）奠定基础。 例题讲解 题型一、数的意义的一致 【典型例题】整数、小数、分数本质上都是基于“计数单位”构建的，如，0.28的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位；的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位。 【答案】 0.01 28 9 【分析】小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位......；一位小数的计数单位是十分之一，两位小数的计数单位是百分之一，三位小数的计数单位是千分之一......分别写作0.1、0.01、0.001......。将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份的数为计数单位。由此可知，的计数单位是，它有9个这样的计数单位。 【详解】0.28的计数单位是0.01，它有28个这样的计数单位；的计数单位是，它有9个这样的计数单位。 【对应练习】7000是由( )个千组成的，0.09是由( )个0.01组成的，是由( )个组成的。整数、小数、分数都是由各自的计数单位累加而成的。 【答案】 7 9 5 【分析】对于整数，计数单位是“千”“百”“十”等，7000的计数单位是“千”。 对于小数，0.09是两位小数，计数单位是0.01。 对于分数，的计数单位是。 【详解】7000的计数单位是“千”，所以7000是由7个千组成的。 0.09的计数单位是0.01，所以0.09是由9个0.01组成的。 的计数单位是，所以是由5个组成的。 题型二、加减法算理的一致 【典型例题】你明白其中的算理吗？填一填。 通分的目的：（     ） 整数、小数、分数加减运算的算理相同，都是计数单位或分数单位（    ）时，才能直接相加减。 【答案】十；十；0.1；0.1； 统一分数单位； 相同 【分析】整数、小数、分数加减运算的算理相同，都是计数单位或分数单位（相同）时，才能直接相加减。 无论是整数还是小数，其加减本质上都是先把计数单位统一，然后再运算。分数同样如此，只有当分母相同（即分数单位相同）时才能直接相加减。 234＋63，前面加数的十位和后面加数的十位对齐，也就是3个十＋6个十； 2.76＋6.2，7和2都在小数点的右边第一位，也就是7个0.1和2个0.1相加即可； 【详解】234＋63中3和6对齐是3个十＋6个十； 2.76＋6.2中7和2对齐是7个0.1＋2个0.1 通分的目的：统一分数单位； 整数、小数、分数加减运算的算理相同，都是计数单位或分数单位相同，才能直接相加减。 【对应练习】学习要善于比较、联系、总结。请根据学过的加、减法，进行计算和归纳。 整数加、减法 小数加、减法 分数加、减法 30＋20＝3个十加2个十 30－20＝3个十减2个十 0.3＋0.2＝3个0.1加2个0.1 0.3－0.2＝3 个0.1减2个0.1 ＝ 个加 个 ＝ 个减 个 整数、小数和分数加减计算的相同点是：只有 相同，才能直接相加减。 【答案】3；1；2；1；3；1；2；1；计数单位 【分析】＋，把看成3个，看成，也就是2个，3个加上2个得5个，也就是；同理，－，就是3个减去2个，得1个；由此可得：整数、小数和分数加减计算的相同点是：只有计数单位相同，才能直接相加减。 【详解】 整数加、减法 小数加、减法 分数加、减法 30＋20＝3个十加2个十 30－20＝3个十减2个十 0.3＋0.2＝3个0.1加2个0.1 0.3－0.2＝3 个0.1减2个0.1 ＝3个加2个 ＝3个减2个 整数、小数和分数加减计算的相同点是：只有计数单位相同，才能直接相加减。 题型三、乘除法算理的一致 【典型例题】照样子、填一填。 在学习整数、小数、分数乘法时，我们这样想： ＝（_____）（_____） ＝( )×( ) ＝( )×( ) ＝( ) 【答案】 3 3 3 3 9 【分析】结合整数、小数乘法的例子，运用分数单位的意义，把分数乘分数改写成分子乘分子、分数单位乘分数单位的形式，然后运用乘法运算定律进行简算，由此得出分数乘分数的计算方法。 【详解】×＝（3×）×（3×） ＝（3×3）×（×） ＝9× ＝ 【对应练习】学习了分数乘法，我们可以借助整数和小数乘法计算方法，完成表格 2×4＝（2×4）×（1×1）＝8 表示8个（1） 0.2×4＝（2×4）×（0.1×1）＝0.8 表示8个（0.1） 0.2×0.4＝（2×4）×（0.1×0.1）＝0.08 表示8个（    ） 表示8个（    ） （    ） 表示8个（    ） 观察几个算式，你发现整数、小数、分数乘法的计算方法什么相同点？_________。 【答案】0.01；；；；都是先计算计数单位个数的积，再确定新的计数单位。 【分析】前两行展示了整数乘法和小数乘整数，都将算式拆解为“数字相乘”和“计数单位相乘”两部分。0.2×4 看作 （2×4）×（0.1×1） 对于小数乘小数 0.2×0.4，计数单位是 0.1×0.1＝0.01，数字部分是 2×4＝8，所以表示 8 个 0.01。 对于分数乘整数，计数单位是，数字部分是 2×4＝8，所以表示8个。 对于分数乘分数 ，计数单位是 ，数字部分是 2×4＝8，结果是 ，表示8个 。 由此可见，所有乘法都可以看作是“计数单位的个数相乘”得到结果的数值，再“计数单位相乘”得到结果的单位。 【详解】根据分析可知： 2×4＝（2×4）×（1×1）＝8 表示8个（1） 0.2×4＝（2×4）×（0.1×1）＝0.8 表示8个（0.1） 0.2×0.4＝（2×4）×（0.1×0.1）＝0.08 表示8个（0.01） 表示8个（） （） 表示8个（） 观察几个算式，你发现整数、小数、分数乘法的计算方法什么相同点？ 都是先计算计数单位个数的积，再确定新的计数单位。 题型四、除法转化为乘法 【典型例题】分数除法与小数除法算法是一致的，都可以转化成整数相除，例如：，请你按照这种方法计算（ × ）÷（ × ）＝（    ）÷（    ）。 【答案】；；；36；；36；16；27； 【分析】根据商不变的规律，中被除数和除数同时乘分母的最小公倍数36，把分数除法转化为整数除法，再根据“”得出结果。 【详解】分析可知，。 【对应练习】计算分数除法时，我们常用的方法是：。 其实还可以这样想：； 小数除法也这样计算：； 请你用这种方法计算：( )( )( )。 【答案】 3 8 【分析】题干中提供的方法是将两个分数通分，使分母相同，然后直接计算分子相除的结果，据此解答。 【详解】先将和通分； ＝＝ ＝＝ ÷＝÷＝3÷8＝ ÷＝3÷8＝ 变式训练 一、选择题 1．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．807 B．0.78 C． D． 【答案】D 【分析】小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一…，分别写作0.1、0.01、0.001…；分数的计数单位是分母分之一，真分数中分子是几就有几个这样的分数单位；整数的计数单位有个、十、百、千…；据此逐项分析。 【详解】A．807的8在百位上，表示8个100，该选项不符合题意； B．0.78的8在百分位上，表示8个0.01，该选项不符合题意； C．的分数单位是，其中8在分子的位置，表示8个，该选项不符合题意； D．的分数单位是，其中8在分母的位置，表示7个，因此中的8不是表示8个分数单位，该选项符合题意。 故答案为：D 2．整数、小数、分数加减法运算的相同点是：计数单位相同的数才能直接相加减。由此请你判断，下面四个算式中“8”和“4”不能直接相加减的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要判断“8”和“4”能否直接相加减，需看它们的计数单位是否相同。据此逐项分析解答即可。 【详解】A．在803－429中，“8”在百位，计数单位是百，“4”也在百位，计数单位是百。计数单位相同，能直接相减。 B．在9.54＋0.085中，“4”在百分位，计数单位是0.01，“8”在百分位，计数单位是0.01。计数单位相同，能直接相加。 C．在＋中，两个分数的分母相同，分数单位都是，分子代表分数单位的个数，所以“8”和“4”能直接相加。 D．在－中，两个分数的分母不同，即分数单位不同，的分数单位是，的分数单位是，所以“8”和“4”不能直接相减。 所以“8”和“4”不能直接相加减的是－。 故答案为：D 3．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（    ）。    分数除以整数① 面积为1       整数除以分数② 分数除以分数③ 每2张一份    整数除以整数④ A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．有①②③④ 【答案】D 【分析】根据除法的意义：表示一个数里面有几个另一个数；商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；据此逐一分析各算式即可。 【详解】①把单位“1”平均分成3份，取其中2份，就是，除以4表示把平均分成4份，其中的一份是多少，用算式：表示，即除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，合理； ②表示整体“1”里面有3个，表示“1”里面有（4×3）个，可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，合理； ③根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）商不变。可得，即分数除以分数等于分数乘除数的倒数，合理； ④把单位“1”平均分成6份，其中的一份是，6÷3表示6个单位“1”的是多少，用算式表示为：。可得除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，合理。 所以解释合理的有①②③④。 4．两位同学用不同方法计算，其中所得的表示（    ）。 A．9个 B．9个 C．9个 D．9个 【答案】D 【分析】方法一：根据分数乘分数的计算方法，分子和分子相乘的积作为分子，分母与分母相乘的积作为分母；分别把、的分子相乘即3×3，分母相乘即5×4，结果是，表示9个； 方法二：把两个分数改写成几个分数单位相乘，表示3个，即3×；表示3个，即3×；再根据乘法交换律和乘法结合律把（3×）×（3×）变成（3×3）×（×），也就是9×，表示9个。 【详解】从两人的计算过程能看出，3×3之后乘的是×或，即，所以3×3所得的9表示9个。 故答案为：D 二、填空题 5．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 【答案】 计数单位 计数单位 【分析】对于整数，计数单位是个、十、百等；对于小数，计数单位是0.1、0.01等；对于分数，计数单位是几分之一。根据前面整数、小数计数单位的思考方式，来理解数的组成和面积、体积的计量。 【详解】在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是计数单位，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自计数单位个数的累加。 6．观察下列算式：①45－32；②0.45＋3.2；③4.5＋3.2；④；⑤。这些算式中“5”和“2”可以直接相加减的是( )（填序号）。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当( )相同时才能直接相加减。 【答案】 ①③④ 计数单位 【分析】只有当两个数中对应数字所在的数位相同（整数和小数）或者分数单位相同（分数）时，这两个数字才能直接进行加减运算。在数学上，这统称为“计数单位”。因此，整数、小数和分数加减法计算的原理是一样的，当计数单位相同时才能直接相加、减。 【详解】①45－32：在45中，数字“5”在个位上，表示5个一；在32中，数字“2”也在个位上，表示2个一，因为它们的计数单位都是“一”，所以“5”和“2”可以直接相减。 ②0.45＋3.2：在0.45中，数字“5”在百分位上，表示5个0.01；在3.2中，数字“2”在十分位上，表示2个0.1。因为它们的计数单位不同（一个是0.01，一个是0.1），所以“5”和“2”不能直接相加。 ③4.5＋3.2：在4.5中，数字“5”在十分位上，表示5个0.1；在3.2中，数字“2”也在十分位上，表示2个0.1.因为它们的计数单位都是“0.1”，所以“5”和“2”可以直接相加。 ④：在中，分子“5”表示5个；在中，分子“2”表示2个，因为它们的分数单位（计数单位）都是，所以“5”和“2”可以直接相减。 ⑤：在中，分子“1”表示1个；在中，分子“2”表示2个。题目问的是“5”和“2”能否直接相加。这里的“5”是第一个分数的分母，表示把单位“1”平均分成5份，它不是表示数量的分子，不能与第二个分数的分子“2”直接相加。 因此，可以直接相加减的是①③④。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当计数单位相同时才能直接相加减。 7．计算整数、小数、分数乘法的运算道理其实是一样的，请你想一想，填一填。 ①200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 ②0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×4）×（_____________________）＝8×0.001＝0.008 ③（____________）（_____________）_____________ 【答案】 【分析】（1）整数乘法的分解过程，发现其规律是将数分解为“数字”与“计数单位”的乘积，再利用乘法交换律和结合律，将“数字”与“数字”相乘，“计数单位”与“计数单位”相乘。 （2）小数乘法，需将小数分解为整数与小数计数单位（0.1，0.01等）的乘积，仿照第①题规律填空。 （3） 分数乘法，需将分数分解为整数与分数单位（，等）的乘积，同样利用运算定律分组计算。 【详解】0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×0.1 ）×（4×0.01）＝（2×4）×（0.1×0.01）＝（2×4）×（0.1×0.01）＝8×0.001＝8×0.001＝0.008＝0.008 8．观察下面算式的计算过程，想一想，整数、小数和分数的加、减法在计算时有什么联系？ 我发现：无论是整数、小数还是分数，在加减计算的过程中都是：( )相加减。 【答案】相同计数单位的数 【分析】整数加减是计数单位“十”的个数相加减，所以只有相同计数单位的数可以直接运算。小数加减是相同计数单位（如0.1）的个数相加减，所以需要先对齐小数点保证计数单位相同。异分母分数加减要先通分统一分数单位，所以实际是相同分数单位的个数相加减。 【详解】整数减法30－10里，30是3个十，10是1个十，计数单位都是十；小数加法0.3＋0.1里，0.3是3个0.1，0.1是1个0.1，计数单位都是0.1；分数加法先通分，变成，也就是8个加3个，分数单位也就是计数单位统一成。即加减法计算过程中，都是：相同计数单位的数相加减。 9．想一想，做一做。 王华在整理复习时发现整数、小数、分数乘法计算的算理和算法之间存在一定的联系，如下图所示。请你根据他的思路把分数乘法补充完整。 【答案】 【分析】20＝2×10，表示2个十，400＝4×100，表示4个百； 2个十×4个百＝（2×4）×（10×100）＝8×1000，即8个1000； 0.2＝2×0.1，表示2个0.1，0.04＝4×0.01，表示4个0.01； 2个0.1×4个0.01＝（2×4）×（0.1×0.01）＝8×0.001，即8个0.001； 据此即可推出第三个，找出对应的计数单位，看有几个计数单位。先计数单位相乘，再计数单位个数相乘。 【详解】，表示3个，，表示2个； 3个×2个＝（3×2）×＝6×，即6个。 10．学完分数乘法后，研研将整数、小数、分数乘法进行了如图所示关联、思考。 根据研研的思考，想一想怎样表达分数乘法的道理？ 请以为例，写一写。 （____×____）×（____×____）＝（____×____）×（____×____）＝____。 【答案】 2 4 2 4 【分析】分析题目，30表示3个十，40表示4个十，据此把30×40写成（10×3）×（10×4），再利用乘法交换律和乘法结合律写成（10×10）×（3×4）；0.3表示3个0.1，0.4表示4个0.1，据此把0.3×0.4写成（0.1×3）×（0.1×4），再利用乘法交换律和乘法结合律写成（0.1×0.1）×（3×4）；据此根据表示2个，表示4个，结合前面的计算方法计算即可。 【详解】＝＝＝ 三、计算题 11．脱式计算，能用简便方法计算的用简便方法计算。                        【答案】 1； 6； 12； 28 【分析】（1）利用乘法分配律进行简便计算。 （2）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 （3）先利用乘法交换律，将算式转化为，先计算出5乘7的结果，再利用乘法分配律进行简便计算。 （4）先利用积不变的性质，将 转化为 ，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 ＝（65.5＋）× ＝66× ＝6 ＝ ＝ ＝ ＝7＋5 ＝12 ＝2.15×2.8＋7.85×2.8 ＝（2.15＋7.85）×2.8 ＝10×2.8 ＝28 12．算而有理。 (1) （____×____）×（____×____）＝( )。 (2)请仿照上面的例子，写出的计算过程。（，） （____×____）×（____×____）＝( )。 (3)比较整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，你发现它们有什么共同点？ 【答案】(1) 2 3 (2) (3)整数乘法、小数乘法、分数乘法都可以把数拆分成计数单位（或分数单位）的个数与计数单位（或分数单位）的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位（或分数单位）的个数相乘的积和计数单位（或分数单位）相乘的积，再把它们的积乘起来。 【分析】（1）整数乘法，把每个数拆分成计数单位的个数与计数单位的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位的个数相乘的积和计数单位相乘的积，再把它们的积乘起来。 小数乘法，把每个数拆分成计数单位的个数与计数单位的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位的个数相乘的积和计数单位相乘的积，再把它们的积乘起来。 计算分数乘法时，可以把每个分数拆分成分数单位的个数与分数单位的乘积，再利用乘法结合律进行计算。 （2）把拆分成，把拆分成，先算b与d的积和与的积，再把两个积相乘。 （3）整数乘法、小数乘法、分数乘法都可以把数拆分成计数单位（或分数单位）的个数与计数单位（或分数单位）的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位（或分数单位）的个数相乘的积和计数单位（或分数单位）相乘的积，再把它们的积乘起来。 【详解】（1） （2） （3）整数乘法、小数乘法、分数乘法都可以把数拆分成计数单位（或分数单位）的个数与计数单位（或分数单位）的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位（或分数单位）的个数相乘的积和计数单位（或分数单位）相乘的积，再把它们的积乘起来。 13．聪聪用下面的方法计算了整数乘法。 40×20 ＝（4×10）×（2×10） ＝（4×2）×（10×10） ＝8×100 ＝800 （1）请你仿照聪聪的方法计算小数乘法、分数乘法。 0.4×0.2 ＝（4×_______）×（2×_______） ＝（_______×_______）×（_______×_______） ＝_______×_______ ＝_______ ＝（4×_______）×（2×_______） ＝（_______×_______）×（_______×_______） ＝_______×_______ ＝_______ （2）通过以上计算，你认为整数乘法、小数乘法、分数乘法在计算方法上有联系吗？有什么联系？ 【答案】（1）0.4×0.2 ＝（4×0.1）×（2×0.1） ＝（4×2）×（0.1×0.1） ＝8×0.01 ＝0.08 × （2）整数乘法、小数乘法、分数乘法都是计数单位的累加。（答案不唯一） 【分析】本题考查分数乘分数的计算以及整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间的相同之处。根据给出的算式，可以看出计算时都是看成有几个计数单位，然后根据乘法交换律和结合律再计算。 【详解】（1）请你仿照聪聪的方法计算小数乘法、分数乘法。 0.4×0.2 ＝（4×0.1）×（2×0.1） ＝（4×2）×（0.1×0.1） ＝8×0.01 ＝0.08 （2）整数乘法、小数乘法、分数乘法之间的联系： ①都是根据乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算得来的； ②都是计数单位的累加； ③都是由乘数扩大或缩小后的积的变化规律得到的； ④都遵循乘法交换律、结合律和分配律； ⑤都是由乘数分别拆分后，再计算乘积。 （答案不唯一，合理即可） 四、解答题 14．数学课上，同学们研究加法计算的道理。宜学小组发现了整数加法和分数加法计算道理之间的联系。 20＋30，就是2个十加3个十是5个十，也就是50。 ，就是2个加3个是5个，也就是。 ①宜学小组会怎样表达小数加法计算的道理呢？请以0.2＋0.3为例，写一写。 ②根据以上的研究，关于整数加法、分数加法、小数加法的计算道理，你有什么发现？ 【答案】①0.2＋0.3，就是2个0.1加3个0.1是5个0.1，也就是0.5。 ②整数加法、分数加法、小数加法的计算道理都是把相同计数单位的数相加。 【分析】（1）20和30里面分别有2个十和3个十，2个十加3个十是5个十，也就是50；所以整数加法是把相同计数单位的数相加； 的分数单位都是，它们分别有2个和3个，然后把2个加3个是5个，也就是，所以分数是把相同分数单位（计数单位）的数相加， 由此可知，小数加法也是把相同计数单位相加，0.2里面有2个0.1，0.3里面有3个0.1，所以0.2＋0.3就是2个0.1加3个0.1是5个0.1，也就是0.5； （2）根据（1）即可解答。 【详解】根据分析可知， ①0.2＋0.3，就是2个0.1加3个0.1是5个0.1，也就是0.5。 ②整数加法、分数加法、小数加法的计算道理都是把相同计数单位的数相加。 15．“分数除法”在我国古代的《九章算术》中叫作“经分术”。采取将两个分数通分，然后用分子相除的方法得出结果。例如：÷＝÷＝9÷10＝。 (1)请试着用上述方法计算下面算式。（写出计算过程） ÷＝______ (2)为什么能这样计算呢？几名同学发表了以下看法： 兰兰：分数除法，可以先通分，将被除数和除数的分数单位统一，看被除数和除数各有几个这样的分数单位；再把通分后被除数和除数的分数单位的个数相除，就可以得到结果了。 明明：我认为也可以这样表示： ÷＝（9×）÷（10×）＝9÷10＝ 晨晨：我认为整数除法和分数除法的运算道理是一样的，也可以像明明那样计算。例如：60÷20＝（6×10）÷（2×10）＝6÷2＝3。 慧慧：我发现小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是一样的。 你同意慧慧的观点吗？请结合0.12÷0.04的计算过程进行说明。 【答案】(1)÷＝20÷21＝ (2)同意；0.12÷0.04＝（12×0.01）÷（4×0.01）＝12÷4＝3；小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是相同的，都是先转化为相同的计数单位，再把相同计数单位的个数相除。 【分析】（1）先通分，把两个分数化成分母为28的分数，然后分子相除得出结果。 （2）小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是相同的，都是先转化为相同的计数单位，再把相同计数单位的个数相除。 【详解】（1）÷＝÷＝20÷21＝ （2）我同意慧慧的观点。 0.12÷0.04＝（12×0.01）÷（4×0.01）＝12÷4＝3 小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是相同的，都是先转化为相同的计数单位，再把相同计数单位的个数相除。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识（期中知识清单） 考点梳理 考点一、数的意义的一致 数的本质是计数单位的累加。无论是整数、小数还是分数，其核心都在于确定“计数单位”以及该单位包含的“个数”。 1. 整数的意义 (1) 基础计数单位是“1”。 (2) 例如： 表示 个 ； 表示 个 或 个 。 (3) 位值制原理：数字所在的位置决定了其计数单位（个位、十位、百位等）。 2. 小数的意义 (1) 小数是分母为 的分数的另一种表现形式。 (2) 基础计数单位是 。 (3) 例如： 表示 个 。小数与整数在结构上具有高度一致性，只是计数单位变小了。 3. 分数的意义 (1) 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。 (2) 基础计数单位是分数单位（即 ）。 (3) 例如： 表示 个 ； 表示 个 。 (4) 核心结论：所有数都可以看作是由若干个“计数单位”组成的。数的运算本质上就是计数单位个数的运算。 考点二、加减法算理的一致 加减法运算的根本原则是：只有计数单位相同的数，才能直接相加减。 1. 整数加减法 (1) 对齐规则：数位对齐（个位对个位，十位对十位）。 (2) 算理：确保相同计数单位（如“1”与“1”，“10”与“10”）的个数进行合并或减少。 2. 小数加减法 (1) 对齐规则：小数点对齐。 (2) 算理：小数点对齐即为相同数位对齐，确保十分位与十分位、百分位与百分位等相同计数单位的个数相加减。 3. 分数加减法 (1) 异分母处理：必须先通分。 (2) 算理：通分的目的是统一分数单位。例如 ，转化为 ，此时计数单位统一为 ，再将个数 相加，结果为 。 4. 总结 (1) 无论何种数域，加减法的核心都是“单位统一，个数运算”。 考点三、乘除法算理的一致 乘除法是加减法的高级形式，其算理依然依托于计数单位的变化与重组。 1. 乘法算理 (1) 整数乘法： 表示 个 相加，或 个 相加。本质是计数单位个数的倍数关系。 (2) 小数乘法：先按整数乘法计算，再根据因数中小数位数确定积的计数单位。 例： 。 。因数是 和 ，积的计数单位变为 ，故结果为 （ 个 ）。 (3) 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母。 例： 。实质是计数单位 的 是多少，或者理解为新的计数单位 有 个。 2. 除法算理 (1) 包含除：求一个数里包含多少个另一个数（计数单位的个数比）。 (2) 等分除：把一个数平均分成若干份，求每份是多少（计数单位的细分）。 (3) 一致性体现：除法运算结果反映了被除数与除数之间计数单位数量的倍数或比率关系。 考点四、除法转化为乘法 在分数及更广泛的数系运算中，除法可以统一转化为乘法，这是简化运算、统一算法的关键策略。 1. 转化依据 (1) 除以一个不为 的数，等于乘这个数的倒数。 (2) 公式表达： （ ）。 2. 具体应用场景 (1) 分数除法： 1　 。 2　 逻辑：除以 等同于求“多少个 组成 ”，通过乘倒数实现单位转换。 (2) 小数除法：虽然通常通过移动小数点转化为整数除法，但从代数角度看， 。 (3) 整数除法：。 3. 核心价值 (1) 将四种运算缩减为加法与乘法两种基本运算（减法视为加相反数，除法视为乘倒数）。 (2) 体现了数学运算的结构化与简约化思想，为后续代数学习（如解方程、函数变换）奠定基础。 例题讲解 题型一、数的意义的一致 【典型例题】整数、小数、分数本质上都是基于“计数单位”构建的，如，0.28的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位；的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位。 【对应练习】7000是由( )个千组成的，0.09是由( )个0.01组成的，是由( )个组成的。整数、小数、分数都是由各自的计数单位累加而成的。 题型二、加减法算理的一致 【典型例题】你明白其中的算理吗？填一填。 通分的目的：（     ） 整数、小数、分数加减运算的算理相同，都是计数单位或分数单位（    ）时，才能直接相加减。 【对应练习】学习要善于比较、联系、总结。请根据学过的加、减法，进行计算和归纳。 整数加、减法 小数加、减法 分数加、减法 30＋20＝3个十加2个十 30－20＝3个十减2个十 0.3＋0.2＝3个0.1加2个0.1 0.3－0.2＝3 个0.1减2个0.1 ＝ 个加 个 ＝ 个减 个 整数、小数和分数加减计算的相同点是：只有 相同，才能直接相加减。 题型三、乘除法算理的一致 【典型例题】照样子、填一填。 在学习整数、小数、分数乘法时，我们这样想： ＝（_____）（_____） ＝( )×( ) ＝( )×( ) ＝( ) 【对应练习】学习了分数乘法，我们可以借助整数和小数乘法计算方法，完成表格 2×4＝（2×4）×（1×1）＝8 表示8个（1） 0.2×4＝（2×4）×（0.1×1）＝0.8 表示8个（0.1） 0.2×0.4＝（2×4）×（0.1×0.1）＝0.08 表示8个（    ） 表示8个（    ） （    ） 表示8个（    ） 观察几个算式，你发现整数、小数、分数乘法的计算方法什么相同点？_________。 题型四、除法转化为乘法 【典型例题】分数除法与小数除法算法是一致的，都可以转化成整数相除，例如：，请你按照这种方法计算（ × ）÷（ × ）＝（    ）÷（    ）。 【对应练习】计算分数除法时，我们常用的方法是：。 其实还可以这样想：； 小数除法也这样计算：； 请你用这种方法计算：( )( )( )。 变式训练 一、选择题 1．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．807 B．0.78 C． D． 2．整数、小数、分数加减法运算的相同点是：计数单位相同的数才能直接相加减。由此请你判断，下面四个算式中“8”和“4”不能直接相加减的是（    ）。 A． B． C． D． 3．在解释“除以一个不为零的数等于乘它的倒数”时，同学们举了不同的例子，其中解释合理的有（    ）。    分数除以整数① 面积为1       整数除以分数② 分数除以分数③ 每2张一份    整数除以整数④ A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．有①②③④ 4．两位同学用不同方法计算，其中所得的表示（    ）。 A．9个 B．9个 C．9个 D．9个 二、填空题 5．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 6．观察下列算式：①45－32；②0.45＋3.2；③4.5＋3.2；④；⑤。这些算式中“5”和“2”可以直接相加减的是( )（填序号）。从这些算式可以发现整数、小数和分数加、减法计算的原理是一样的，当( )相同时才能直接相加减。 7．计算整数、小数、分数乘法的运算道理其实是一样的，请你想一想，填一填。 ①200×40＝（2×100）×（4×10）＝（2×4）×（100×10）＝8×1000＝8000 ②0.2×0.04＝（2×0.1）×（4×0.01）＝（2×4）×（_____________________）＝8×0.001＝0.008 ③（____________）（_____________）_____________ 8．观察下面算式的计算过程，想一想，整数、小数和分数的加、减法在计算时有什么联系？ 我发现：无论是整数、小数还是分数，在加减计算的过程中都是：( )相加减。 9．想一想，做一做。 王华在整理复习时发现整数、小数、分数乘法计算的算理和算法之间存在一定的联系，如下图所示。请你根据他的思路把分数乘法补充完整。 10．学完分数乘法后，研研将整数、小数、分数乘法进行了如图所示关联、思考。 根据研研的思考，想一想怎样表达分数乘法的道理？ 请以为例，写一写。 （____×____）×（____×____）＝（____×____）×（____×____）＝____。 三、计算题 11．脱式计算，能用简便方法计算的用简便方法计算。                        12．算而有理。 (1) （____×____）×（____×____）＝( )。 (2)请仿照上面的例子，写出的计算过程。（，） （____×____）×（____×____）＝( )。 (3)比较整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，你发现它们有什么共同点？ 13．聪聪用下面的方法计算了整数乘法。 40×20 ＝（4×10）×（2×10） ＝（4×2）×（10×10） ＝8×100 ＝800 （1）请你仿照聪聪的方法计算小数乘法、分数乘法。 0.4×0.2 ＝（4×_______）×（2×_______） ＝（_______×_______）×（_______×_______） ＝_______×_______ ＝_______ ＝（4×_______）×（2×_______） ＝（_______×_______）×（_______×_______） ＝_______×_______ ＝_______ （2）通过以上计算，你认为整数乘法、小数乘法、分数乘法在计算方法上有联系吗？有什么联系？ 四、解答题 14．数学课上，同学们研究加法计算的道理。宜学小组发现了整数加法和分数加法计算道理之间的联系。 20＋30，就是2个十加3个十是5个十，也就是50。 ，就是2个加3个是5个，也就是。 ①宜学小组会怎样表达小数加法计算的道理呢？请以0.2＋0.3为例，写一写。 ②根据以上的研究，关于整数加法、分数加法、小数加法的计算道理，你有什么发现？ 15．“分数除法”在我国古代的《九章算术》中叫作“经分术”。采取将两个分数通分，然后用分子相除的方法得出结果。例如：÷＝÷＝9÷10＝。 (1)请试着用上述方法计算下面算式。（写出计算过程） ÷＝______ (2)为什么能这样计算呢？几名同学发表了以下看法： 兰兰：分数除法，可以先通分，将被除数和除数的分数单位统一，看被除数和除数各有几个这样的分数单位；再把通分后被除数和除数的分数单位的个数相除，就可以得到结果了。 明明：我认为也可以这样表示： ÷＝（9×）÷（10×）＝9÷10＝ 晨晨：我认为整数除法和分数除法的运算道理是一样的，也可以像明明那样计算。例如：60÷20＝（6×10）÷（2×10）＝6÷2＝3。 慧慧：我发现小数除法和整数除法、分数除法的运算方法都是一样的。 你同意慧慧的观点吗？请结合0.12÷0.04的计算过程进行说明。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $