☆ 神奇的黄金比（期中知识清单）数学苏教版六年级上册（新教材）

☆ 神奇的黄金比（期中知识清单） 考点梳理 考点一、核心概念定义 1. 黄金分割点 (1) 把一条线段分成两部分，使其中一部分与全长的比等于另一部分与这部分的比，这个点叫做黄金分割点。 (2) 通俗理解：较长部分与整体长度的比值，等于较短部分与较长部分的比值。 2. 黄金比 (1) 黄金分割产生的比值称为黄金比。 (2) 它是一个无理数，通常用希腊字母 (phi) 表示。 考点二、数值特征与计算 1. 近似值（考试/应用常用） (1) 保留三位小数：0.618 (2) 在估算或简单计算中，常取 0.618 作为标准系数。 2. 计算公式 (1) 若线段总长为 ，较长部分为 ，较短部分为 。 (2) 则： (3) 且： (4) 关系式： 考点三、几何直观与作图 1. 黄金矩形 (1) 宽与长的比约为 0.618 的矩形称为黄金矩形。 (2) 特点：视觉上最协调、美观的矩形。 2. 正五边形与五角星 (1) 正五边形的对角线与边长之比是黄金比。 (2) 五角星内部线段之间存在大量的黄金分割关系。 考点四、生活中的应用实例 黄金比广泛存在于自然界、艺术设计和日常生活中，被认为具有“和谐美”。 应用领域 具体实例 数学体现 人体美学 肚脐位置、膝盖位置 下半身长 : 身高 0.618 艺术设计 达·芬奇《蒙娜丽莎》、帕特农神庙 画面主体布局、建筑长宽比 日常物品 银行卡、身份证、书本封面 宽与长的比例接近 0.618 自然界 鹦鹉螺壳螺旋、向日葵种子排列 生长螺旋符合黄金角度 舞台报幕 主持人站立位置 站在舞台宽度的 0.618 处视觉效果最佳 例题讲解 题型一、黄金比及其应用 【典型例题】古希腊时期，人们认为最美人体的下半身身长和身高之比是0.618∶1，这个神奇的比例被称为“黄金比”，若个人的下半身长1.08米，则其身高大约是( )米才能被称为“黄金比”。（得数保留两位小数） 【对应练习】一般认为，如果一个人肚脐以上与肚脐以下的长度比符合黄金比0.618∶1，那么这个人的身材比较好。杨老师身高165cm，她的肚脐以上的部分长65cm，为了显得身材好，她应该穿鞋跟多高的鞋子？（得数保留整数） 变式训练 一、选择题 1．许多艺术作品都是按“黄金比”来设计的，当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”——（    ）时，会给人一种优美的视觉感受。 A．0.518∶1 B．0.618∶1 C．1∶1 D．2∶3 2．东方明珠广播电视塔是上海市十大新景观之一，截止到2019年，为亚洲第六高塔、世界第九高塔。它是一个极富有比例性、艺术性、和谐型的艺术品，设计师在约289.2米处设计了一个上体球，这个位置恰好在塔身的黄金比处，如图：东方明珠塔高约（    ）米。 A．468米 B．438米 C．486米 3．把如图长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（    ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 4．符合黄金比的长方形被认为是最美的长方形。聪聪想画一个“最美的长方形”，如果长画10厘米，则宽应该画（    ）厘米。 A．7.5 B．6.18 C．6 D．5 二、判断题 5．把一个物体分成两部分，当较长部分与整体长度的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，我们称其为“黄金比”。( ) 6．小明设计的贺卡宽与长的比值接近0.618，它被认为是最美的长方形。( ) 三、填空题 7．当芭蕾舞演员踮起脚来，给人的感觉是最美的，下半身和身高的比值是( )时，我们把这种神奇的比称为黄金比。 8．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为100厘米，则其身高是( )厘米。 9．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 10．数学中的黄金分割比（约为0.618∶1）应用广泛，一些音乐家喜欢在创作乐曲时将节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处，按照这种做法，如果是89节的乐曲，89×0.618≈55（节），那么转折点设在55节处；如果是60节的乐曲，那么转折点设在( )节处。（结果保留整数） 11．黄金比的比值约为0.618，它在生活中有广泛的应用。我国每种规格国旗宽与长的比为2∶3，也接近黄金比。一种规格的国旗宽是60厘米，这种国旗的长为( )厘米。 12．一尊人体石膏像的上半身和下半身成黄金比（约为0.618∶1）。量得石膏像的下半身长100cm，这尊人体石膏像高是( )cm。 13．人体上半身长和下半身的黄金比为0.618∶1，这时人的身长比例看上去更美观。妈妈的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋。依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度( )。（填“偏高、合适、偏低、无法判断”） 四、解答题 14．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 15．人体美学中有一个广受认可的“黄金分割”比例，即以肚脐为界，上半身与下半身的长度比接近0.618∶1时，身材显得最为协调。现有一位身高165.1厘米的女士，测得上半身长度为65.1厘米。她打算购买一双高跟鞋来优化身材比例（计算时黄金比简化为0.62∶1）。她买哪一双比较合理？请写出你推荐的理由。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ☆ 神奇的黄金比（期中知识清单） 考点梳理 考点一、核心概念定义 1. 黄金分割点 (1) 把一条线段分成两部分，使其中一部分与全长的比等于另一部分与这部分的比，这个点叫做黄金分割点。 (2) 通俗理解：较长部分与整体长度的比值，等于较短部分与较长部分的比值。 2. 黄金比 (1) 黄金分割产生的比值称为黄金比。 (2) 它是一个无理数，通常用希腊字母 (phi) 表示。 考点二、数值特征与计算 1. 近似值（考试/应用常用） (1) 保留三位小数：0.618 (2) 在估算或简单计算中，常取 0.618 作为标准系数。 2. 计算公式 (1) 若线段总长为 ，较长部分为 ，较短部分为 。 (2) 则： (3) 且： (4) 关系式： 考点三、几何直观与作图 1. 黄金矩形 (1) 宽与长的比约为 0.618 的矩形称为黄金矩形。 (2) 特点：视觉上最协调、美观的矩形。 2. 正五边形与五角星 (1) 正五边形的对角线与边长之比是黄金比。 (2) 五角星内部线段之间存在大量的黄金分割关系。 考点四、生活中的应用实例 黄金比广泛存在于自然界、艺术设计和日常生活中，被认为具有“和谐美”。 应用领域 具体实例 数学体现 人体美学 肚脐位置、膝盖位置 下半身长 : 身高 0.618 艺术设计 达·芬奇《蒙娜丽莎》、帕特农神庙 画面主体布局、建筑长宽比 日常物品 银行卡、身份证、书本封面 宽与长的比例接近 0.618 自然界 鹦鹉螺壳螺旋、向日葵种子排列 生长螺旋符合黄金角度 舞台报幕 主持人站立位置 站在舞台宽度的 0.618 处视觉效果最佳 例题讲解 题型一、黄金比及其应用 【典型例题】古希腊时期，人们认为最美人体的下半身身长和身高之比是0.618∶1，这个神奇的比例被称为“黄金比”，若个人的下半身长1.08米，则其身高大约是( )米才能被称为“黄金比”。（得数保留两位小数） 【答案】1.75 【分析】根据比的应用公式：对应量÷对应份数＝1份量，即用1.08÷0.618即可求出1份量，由于身高是1份量，即1.08÷0.618的值就是身高，保留两位小数，看千分位上的数，如果千分位上的数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去，据此即可填空。 【详解】1.08÷0.618≈1.75（米） 其身高大约是1.75米才能被称为“黄金比”。 【对应练习】一般认为，如果一个人肚脐以上与肚脐以下的长度比符合黄金比0.618∶1，那么这个人的身材比较好。杨老师身高165cm，她的肚脐以上的部分长65cm，为了显得身材好，她应该穿鞋跟多高的鞋子？（得数保留整数） 【答案】5厘米 【分析】用杨老师的身高165厘米减去肚脐以上的部分长65厘米即可求出肚脐以下的长度； 用肚脐以上的部分长除以肚脐以上与肚脐以下的长度比0.618即可求出黄金比下的肚脐以下的长，与肚脐以下的长度作差即可求出鞋子的高度。 【详解】165－65＝100（厘米） 65÷0.618≈105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：她应该穿鞋跟5厘米高的鞋子。 变式训练 一、选择题 1．许多艺术作品都是按“黄金比”来设计的，当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”——（    ）时，会给人一种优美的视觉感受。 A．0.518∶1 B．0.618∶1 C．1∶1 D．2∶3 【答案】B 【分析】黄金分割是指将一个整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引美感的比例，因此被称为黄金分割，也称“黄金比”。 【详解】许多艺术作品都是按“黄金比”来设计的，当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”——（ 0.618∶1）时，会给人一种优美的视觉感受。 故答案为：B 2．东方明珠广播电视塔是上海市十大新景观之一，截止到2019年，为亚洲第六高塔、世界第九高塔。它是一个极富有比例性、艺术性、和谐型的艺术品，设计师在约289.2米处设计了一个上体球，这个位置恰好在塔身的黄金比处，如图：东方明珠塔高约（    ）米。 A．468米 B．438米 C．486米 【答案】A 【分析】黄金比为0.618∶1，设计师在约289.2米处设计了一个上体球，这个位置恰好在塔身的黄金比处，则用289.2∶塔身高度＝0.618∶1，根据比例的基本性质，塔身的高度×0.618＝289.2，即用上体球的高度289.2米除以0.618即可求出塔身的高度。 【详解】289.2÷0.618≈468（米），即东方明珠塔高约468米。 故答案为：A 3．把如图长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（    ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【分析】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形，得到的新长方形的长是50－2＝48（厘米），宽是30厘米，宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是50厘米，宽是30＋5＝35（厘米），宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上面添上一个长56厘米，宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是56厘米，宽是35厘米，宽与长的比是35∶56＝5∶8。 【详解】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形。 长为50－2＝48（厘米），宽为30厘米。 这个长方形的宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形。 长为50厘米，宽为30＋5＝35（厘米）。 这个长方形的宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形。 长为50＋6＝56（厘米），宽为30＋5＝35（厘米）。 这个长方形的宽与长的比是35∶56＝5∶8。 所以（1）（3）是正确的。 故答案为：B 4．符合黄金比的长方形被认为是最美的长方形。聪聪想画一个“最美的长方形”，如果长画10厘米，则宽应该画（    ）厘米。 A．7.5 B．6.18 C．6 D．5 【答案】B 【分析】把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的。这个神奇的比被称为“黄金比”。在本题中，当长方形的宽与长的比值接近0.618，就符合“最美的长方形”的条件。 【详解】由分析得： 宽＝长×0.618＝10×0.618＝6.18（厘米） 宽应该画6.18厘米。 故答案为：B 【点睛】通过计算“最美的长方形”的宽，不仅能够认识到黄金比的意义，也巩固了比的前项＝比的后项×比值这一计算规则。 二、判断题 5．把一个物体分成两部分，当较长部分与整体长度的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，我们称其为“黄金比”。( ) 【答案】√ 【分析】根据黄金分割中较长部分与整体的比是0.618∶1，解答此题即可。 【详解】由分析得， 把一个物体分成两部分，当较长部分与整体长度的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，我们称其为“黄金比”，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的是黄金比的定义，了解黄金比的定义是解题关键。 6．小明设计的贺卡宽与长的比值接近0.618，它被认为是最美的长方形。( ) 【答案】 √ 【分析】黄金分割比的比值约为0.618，当长方形的宽与长的比值接近 0.618 时，符合黄金分割比，这种比的长方形被认为是视觉上较美观的“黄金矩形”。 【详解】贺卡宽与长的比值接近0.618，被认为是最美的长方形。原题说法正确。 故答案为：√ 三、填空题 7．当芭蕾舞演员踮起脚来，给人的感觉是最美的，下半身和身高的比值是( )时，我们把这种神奇的比称为黄金比。 【答案】0.618 【分析】根据黄金比可知，下半身和身高的比值是0.618时，我们把这种神奇的比称为黄金比，据此解答。 【详解】当芭蕾舞演员踮起脚来，给人的感觉是最美的，下半身和身高的比值是0.618时，我们把这种神奇的比称为黄金比。 【点睛】本题考查了有关比的知识中的黄金比，需要熟记。 8．在古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1（黄金比）。若某人满足上述黄金比，且肚脐至足底的长度为100厘米，则其身高是( )厘米。 【答案】 161.8 【分析】肚脐至足底的长度为100厘米，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是0.618∶1＝0.618÷1＝0.618，则用100厘米乘黄金比的比值0.618即可求出头顶至肚脐的长度，将头顶至肚脐的长度加上100厘米即可求出其身高。 【详解】100÷1×0.618＋100 ＝100×0.618＋100 ＝61.8＋100 ＝161.8（厘米） 即其身高是161.8厘米。 9．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 【答案】 AB AD 【分析】依据是“五角星中存在‘较短线段∶较长线段≈0.618’的黄金比例关系”。先看第一个空，题目给出“AC∶（ ）＝0.618”，观察图形可知，AC是较短线段，而AB是比AC更长的线段，符合“较短线段∶较长线段”的黄金比结构，因此第一个空应填AB；再看第二个空“（ ）∶AC＝0.618”，此时AC成为较长线段，AD是比AC更短的线段，满足“更短线段∶较长线段”的黄金比规律，所以第二个空应填AD。 【详解】观察图形，AB是较长的线段，AC是较短线段，根据黄金比“较短线段∶较长线段≈0.618”，所以 AC∶AB≈0.618，因此填AB。AD是比AC更短的线段，此时“更短线段∶较短线段≈0.618”，所以 AD∶AC≈0.618，因此填AD。 10．数学中的黄金分割比（约为0.618∶1）应用广泛，一些音乐家喜欢在创作乐曲时将节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处，按照这种做法，如果是89节的乐曲，89×0.618≈55（节），那么转折点设在55节处；如果是60节的乐曲，那么转折点设在( )节处。（结果保留整数） 【答案】37 【分析】可根据黄金分割比的应用，用乐曲的总节数乘黄金分割比（约0.618），得到转折点的节数，最后对结果进行取整。 【详解】已知乐曲总节数为60，黄金分割比约为0.618 那么转折点的节数为：60×0.618＝37.08≈37 那么转折点设在37节处。（结果保留整数） 11．黄金比的比值约为0.618，它在生活中有广泛的应用。我国每种规格国旗宽与长的比为2∶3，也接近黄金比。一种规格的国旗宽是60厘米，这种国旗的长为( )厘米。 【答案】90 【分析】根据题意分析，把国旗的长看作单位“1”，那么宽的长度占长的长度的，对应的长度是60厘米，用60÷即可求出国旗的长。据此解答即可。 【详解】60÷ ＝60× ＝90（厘米） 所以这种国旗的长为90厘米。 12．一尊人体石膏像的上半身和下半身成黄金比（约为0.618∶1）。量得石膏像的下半身长100cm，这尊人体石膏像高是( )cm。 【答案】161.8 【分析】把石膏像高看作单位“1”，上半身和下半身成黄金比约为0.618∶1，即下半身占石膏像全身的，对应的是下半身长100cm，求单位“1”，用100÷解答。 【详解】100÷ ＝100÷ ＝100×1.618 ＝161.8（cm） 一尊人体石膏像的上半身和下半身成黄金比（约为0.618∶1）。量得石膏像的下半身长100cm，这尊人体石膏像高是161.8cm。 13．人体上半身长和下半身的黄金比为0.618∶1，这时人的身长比例看上去更美观。妈妈的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋。依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度( )。（填“偏高、合适、偏低、无法判断”） 【答案】偏高 【分析】用妈妈上半身高度∶下半身高度与高跟鞋的高度和，求出妈妈上半身和下半身与高跟鞋的和比，再求出比值，再与黄金比值进行比较；大于黄金比，则高跟鞋的高度偏低，小于黄金比，则高跟鞋的高度偏高，等于黄金比，合适，据此解答。 【详解】64∶（102＋6） ＝64∶108 ＝（64÷4）∶（108÷4） ＝16∶27 16∶27 ＝16÷27 ≈0.593 0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 因为0.593＜0.618，所以这双高跟鞋偏高。 人体上半身长和下半身的黄金比为0.618∶1，这时人的身长比例看上去更美观。妈妈的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋。依据“黄金比”，这双高跟鞋的高度偏高。 四、解答题 14．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】上半身与下半身的比大约是5∶8，也就是上半身长度占总身高的；用165减去100计算出上半身的长度65厘米；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用65除以计算出上半身长度65厘米时的总身高应为169厘米；用169减去165即可计算高跟鞋的最佳高度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4（厘米） 答：高跟鞋的最佳高度大约为4厘米。 15．人体美学中有一个广受认可的“黄金分割”比例，即以肚脐为界，上半身与下半身的长度比接近0.618∶1时，身材显得最为协调。现有一位身高165.1厘米的女士，测得上半身长度为65.1厘米。她打算购买一双高跟鞋来优化身材比例（计算时黄金比简化为0.62∶1）。她买哪一双比较合理？请写出你推荐的理由。 【答案】5厘米 【分析】先用总身高减去上半身长度，求出原本的下半身长度；再用上半身长度除以简化后的黄金比0.62，求出符合比例的理想下半身长度；最后用理想下半身长度减去原本下半身长度，求出需要增加的长度，也就是合适的鞋跟高度。 【详解】165.1－65.1＝100（厘米） 65.1÷0.62＝105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：推荐购买5厘米高跟鞋，因为穿上后下半身长度达到105厘米，上半身与下半身比例接近黄金比0.62∶1。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $