专题01 三角形常考九大题型突破-2026-2027学年浙教版 八年级数学上册

专题01 三角形常考九大题型突破 【题型01：三角形的个数】 【题型02：三角形的三边关系】 【题型03：根据三角形的三边关系化简】 【题型04：三角形中线与面积问题】 【题型05：三角形中线与线段问题】. 【题型06：与三角形的高有关计算】 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【题型01：三角形的个数】 1．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 2．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 3．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 4．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 【题型02：三角形的三边关系】 5．以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，能组成三角形． 6．一个三角形的三边长度分别为，2和5，则的值可以是（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理，确定第三边的取值范围，再结合选项找出符合条件的值． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，三角形三边长为，2，5， ∴ ，即 ，观察选项，只有满足该范围，因此选C． 7．两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出第三根木棒的取值范围，再根据第三边长度为偶数的条件，找出符合条件的取值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得， ∴， 又∵第三根木棒的长为偶数， ∴满足条件的为，，，，共4种取值． 【题型03：根据三角形的三边关系化简】 8．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 9．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 10．已知a，b，c是的三条边长，化简:_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各绝对值内式子的正负，从而化简绝对值即可． 【详解】解：∵是 的三条边长， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 11．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 【题型04：三角形中线与面积问题】 12．如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点E为的中点，， ∴， ∵是的中线， ∴. 13．如图，四边形的对角线和相交于点E，且，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】D 【分析】先根据且，可得，再根据得出答案． 【详解】解：∵且， ∴． ∵， ∴． 14．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 15．如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接， ， ， ， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵各边中点分别为，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴． 16．如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，   、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选：C． 【题型05：三角形中线与线段问题】. 17．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边与的差等于3是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，进而得到和的周长的差等于与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长 ， 即， 又， 得， 解得． 故选：D． 19．如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为38，则 的周长是（    ） A．23 B．35 C．33 D．53 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为38，， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：B． 20．在中，是中线，已知，的周长为25cm，的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是中线，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解∶∵是中线， ∴， ∵的周长为25cm， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，熟记三角形的中线是三角形的一个顶点与它对边的所连线段，并求出两个三角形的周长的差等于是解题的关键． 【题型06：与三角形的高有关计算】 21．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 22．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 23．如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（    ） A．11 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形． 过点D作于F，根据是的中线得到，根据面积公式求出，即可解答． 【详解】解：过点D作于F， ∵是的中线， ∴ ∴ 即， ∴， ∴点D到的距离为． 故选：B． 24．如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 25．如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和可得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∴． 26．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 27．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 28．已知：中，和的平分线，相交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．先根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：和的平分线，相交于点，，， ∴， ∴． 29．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）略． 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 30．如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与三角形内角和有关的折叠问题，根据折痕是角平分线，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵把纸片沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 31．将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：B． 32．如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，折叠问题，根据折叠，对应角相等，结合三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 33．如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)100 (2) .理由如下: ∵是由翻折得到， ∴. ∵, ∴. ∴. 【分析】（1）运用折叠的性质及四边形的内角和定理即可解决问题； （2）由折叠得，再根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵, ∴. ∵是由翻折得到, ∴. ∴. ∵, ∴， 故答案为：. （2）略 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 34．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【答案】(1)，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为：；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解：∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 35．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） (1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； (2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题意，理解“开心角”的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）先判断不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数； （2）分两种情况讨论：当是开心角时，则另一开心角为，由三角形的内角和定理即可求出剩余的一个角；当不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数，进而可求出剩余的一个角． 【详解】（1）解：若为开心三角形，， 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 或， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 答：这个三角形最小的内角是； （2）解：已知开心三角形的其中一个内角为，则可设， 当是开心角时，则另一开心角为，剩余的一个角为； 当不是开心角时， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 则； 答：这个三角形的其他内角是，或，． 36．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则为“　　倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点，若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)5 (2)的度数为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据“倍角三角形”的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，“倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 最大，最小，且， 为“5倍角三角形”， 故答案为：5； （2）解：， ， 、的角平分线相交于点， ，， ， ， 为“4倍角三角形”， 或， 当时，， 当时，，则， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． 37．定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再结合“互优角”的定义可得，即可求解； （2）分三种情况，结合“互优角”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵与为“互优角”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴，即， 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形常考九大题型突破 【题型01：三角形的个数】 【题型02：三角形的三边关系】 【题型03：根据三角形的三边关系化简】 【题型04：三角形中线与面积问题】 【题型05：三角形中线与线段问题】. 【题型06：与三角形的高有关计算】 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【题型01：三角形的个数】 1．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 3．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 4．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【题型02：三角形的三边关系】 5．以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 6．一个三角形的三边长度分别为，2和5，则的值可以是（     ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【题型03：根据三角形的三边关系化简】 8．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 9．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 10．已知a，b，c是的三条边长，化简:_______． 11．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【题型04：三角形中线与面积问题】 12．如图，是的中线，点E为的中点，若，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 13．如图，四边形的对角线和相交于点E，且，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 14．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 16．如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型05：三角形中线与线段问题】. 17．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．如图，在中，，，是边上的中线．若的周长为38，则 的周长是（    ） A．23 B．35 C．33 D．53 20．在中，是中线，已知，的周长为25cm，的周长为（　　） A． B． C． D． 【题型06：与三角形的高有关计算】 21．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 22．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 23．如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（    ） A．11 B． C． D．8 24．如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 25．如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 26．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 27．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 28．已知：中，和的平分线，相交于点，，，求的度数． 29．如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 30．如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 31．将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，将沿，，翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 34．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 35．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） (1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； (2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 36．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则为“　　倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点，若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 37．定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $