数列专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习数列专项训练，以等差等比性质、递推求通项、求和与综合应用为核心模块，通过多地区模拟题构建知识逻辑递进体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |①等差等比性质与运算|选择15+多选9+填空6+解答8|选择/多选为主，结合函数极值、不等式求最值|从定义到性质应用，构建“概念-运算-性质”逻辑链| |②递推关系求通项|选择5+多选4+填空5+解答16|解答题占比高，涉及构造法、累加法|通过递推公式转化，衔接等差等比定义，培养转化思想| |③数列求和与公共项|选择2+填空4+解答1|含创新题型（如数列扩充），综合考查求和方法|从基础求和到公共项提取，体现知识综合应用| |④数列与概率综合|多选2+填空3+解答1|结合概率、新定义（和谐数列），凸显应用意识|跨模块融合，培养数学建模与数据分析能力|

数列（解析版） 　①等差、等比数列的性质与运算 　　【选择题】 ★　烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第6题 1. 已知数列的前项和记为，若，则（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 策略　 型：先令 求 ，再由 化成递推。 时，，得 。 时，，即 。 故 是首项为 、公比为 的等比数列，，。 答　选 C。 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第3题 2. 已知等比数列，其公比，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 策略　各项用 与 表示，化为对 的均值不等式。 ，，故 。 ，令 ，则 ，当 即 时取等。 答　选 B。 ★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第7题 3. 已知等差数列前项和为，等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 策略　等差数列中 且 ，故 。 。 答　选 C。 ★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第4题 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 策略　等比中 ，，，且 ，凑完全平方。 条件化为 ，而 ，故 。 各项均为正数，所以 。 答　选 A。 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第6题 5. 若等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 2 策略　设 （），把 、、 都用 表示。 ，，。代入 ，化简得 ，展开为 ，故 ，即 。 此时 ，，。 答　选 C。 ★★　扬州市2026届高三第一次调研测试 · 第6题 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 策略　 的零点即极值点，韦达定理给 ，再用 。 ，零点为 ，故 。 由 ，。 答　选 B。 ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第6题 7. 已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略　 当且仅当 取最大值 且 。 ；。 若 或 会出现并列最大值，与"当且仅当"不符，端点不取，故 。 答　选 C。 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第7题 8. 已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1014 D. 1013 策略　 的零点给出 、，定出公比后按对数裂项求和。 ，极值点为 和 ，故 ，，，。 ，。 答　选 D。 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第8题 9. 在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 策略　由 定出正项边界，再逐段看 三个因子的符号。 由 及 ，得 。不妨取 ，则 ，，，。 时 全正，；；； 时三项全负，。 故 ，最大值在 处取得。 答　选 C。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第6题 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 策略　等差数列中 ，， 成等差数列。 设 ，则 ，解得 。 答　选 A。 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第5题 11. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 策略　把 展开成项与项的关系。 左边 ，右边 ，化简得 。 即 ，，（）。 答　选 D。 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第5题 12. 已知正项等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 策略　两式相除消去 。 ，故 ， 或 。 时 ，与正项矛盾，舍去； 时 ，。 答　选 D。 ★★　黄石市2026届高三3月模拟 · 第7题 13. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 策略　分 与 两种情况。 时 ，，比值恰为 ，此时 。 时 。令 ，则 ，（ 即 已讨论），故 ，。 综上 或 。 答　选 B。 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第6题 14. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 策略　由等比中项 列方程求 ，再看 的符号分布。 ，展开得 ，即 。，故 ，。 前 6 项为 ，绝对值为 ，其和为 。 答　选 C。 ★★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第7题 15. 等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026 策略　条件式按 整理成 ，平方和用均值不等式。 。 ，故 ，当且仅当 时取等，此时 。 所以 。 答　选 A。 　　【多选题】 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第10题 16. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 策略　由 ， 消元求出 、，再逐项检验。 设 。由 ，，消去 ：，整理得 ，故 ，。A 对。 ，而 无正整数解，B 错。 ，C 对。 ，，相加得 ，D 对。 答　选 ACD。 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第11题 17. 记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ） A. 若且，则时，的最小值为21 B. 若当且仅当时，取得最小值，则 C. 若取最小值时，k有两个不同解，则 D. 若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 策略　 是关于 的一次式， 的增减由 的符号决定。 A：由 得 ，即 ，故 。又 ，所以 ，， 当且仅当 ，最小值为 而非 。A 错。 B：设 （）。当且仅当 时 最小，等价于 。，即 。B 对。 C： 是 的一次式， 为二次函数。最小值在两个 处取得，当且仅当相邻的 同为最小，此时 ，即 。C 对。 D：此时 。若 （）成等比，则 。比较有理部分与 的系数得 且 。记 ，（，），则 ，得 ，矛盾。不存在这样的三项。D 错。 答　选 BC。 ★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第9题 18. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）． A. B. C. D. 策略　等比数列中 ，故 。 由 得 ，又 ，故 ，。A 对。 ，B 对。 ，C 对。 ，，D 错。 答　选 ABC。 ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第9题 19. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 策略　 先定中项，再用 定 。 ，；，故 ，。A 对，B 错。 ，C 错。 ，D 对。 答　选 AD。 ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第9题 20. 数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D 当时， 策略　按四种参数逐一求通项验证。 A：， 为等差数列，。对。 B：，。错。 C：，故 ，。错。 D：，故 ，。对。 答　选 AD。 ★★★　马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测 · 第10题 21. 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 策略　令 ，把条件写成 的递推，再逐项验证。 ，代入 得 。因 ，约去得 。 又 给出 ，故 ，，（ 时也成立）。 A：，是首项 、公差 的等差数列，对。 B：，是首项 、公比 的等比数列，对。 C：，错。 D：，裂项相消得前 项和 ，对。 答　选 ABD。 ★★★　日照市2026届高三下学期一轮模拟考试 · 第10题 22. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 策略　A 用等差平均数公式；B 举反例；C、D 用凸性： 时指数曲线下凸，落在连接两端点的弦的下方。 A：，平均数即 ，对。 B：取 ， 时数据 的平均数为 ，错。 C： 恰为连接 与 的弦（等差）， 在下凸曲线上，两端相同时弦在曲线上方，故内部 ，中位数 ，对。 D：同上，逐项 且内部严格，求和后平均数也满足 数据的大，对。 答　选 ACD。 ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第11题 23. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. 当时，最大 C. 当时， D. 数列的最小项为 策略　把两个差写成中间项：，。 条件即 。由 知 （否则各项恒正），且 ，故只能 ，，即 且 。 A：，错。 B：正项止于 ， 在 取最大值，对。 C：，且 时继续加负项，，对。 D： 时 ，比值恒正；，，故 时 、，比值为负。这一段 递减而 递增，比值在 处最小。对。 答　选 BCD。 ★★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第11题 24. 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 策略　曲线 固定，直线随 变动；先弄清交点个数由什么决定，再把等差条件代入化简。 第一步：把直线参数化。 时直线 竖直，与曲线 至多一个交点，不合题意，故 。记直线为 ，其中 ，。 第二步：研究 （）的零点个数。。 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，且 时 ， 时 ，恰有 1 个零点，不合题意。 当 时， 在 递增、在 递减； 时 ， 时 （对数增长慢于一次函数）。故零点个数： 时为 2， 时为 1， 时为 0，其中 。 第三步：代入等差条件。 成等差给出 ，于是 ，即 。 代入最大值：。恰有 2 组解 ，即 ，也就是 且 。 A：，对。 B、C：取 ，满足 且 ，符合题意；把三个数同时变号取 ，仍是等差数列、方程组同解，同样符合题意。两种情形下 的符号、 的符号都可以不同，故 与 都无法断定，错。 D：，恒正，对。 答　选 AD。 ★★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第10题 25. 设等差数列的前项和为，设，在同一个坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（ ） A B. C. D. 策略　先读图定数据：实点给出 ，，虚线给出 ；据此求出 。 ，，，即 ，。 A：，错。 B：，对。 C： 的最大值在 附近的整数处取得，，，故 最大， 恒成立，对。 D：，而 ，错。 答　选 BC。 　　【填空题】 ★★　滨州市2026届高三数学一模 · 第12题 26. 已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． 策略　 的中项不是整数项，直接按 展开。 。 。 答　。 ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第13题 27. 已知等差数列的前项和为，且，，则________． 策略　两个条件按 展开，恰好各给出一个中项。 ；。 故 ，，。 答　。 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第13题 28. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________. 策略　 先定 ，再联立求 ； 是开口向下的二次函数。 ，。代入 得 ，，。 ，顶点在 ，比较 ，，最大值为 。 答　。 ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第13题 29. 已知数列的前n项和若，则的所有可能值为________. 策略　 给出 （正奇数列），把 分解成两个奇数之积。 ，。：，，，，对应 。 的所有可能值为 或 。 答　 或 。 ★★　襄阳市2026届高三3月统一调研 · 第13题 30. 已知等比数列满足，，则_______． 策略　，化为 的一元二次方程。 ，即 ，。，，。 答　。 ★★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第13题 31. 已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为__________. 策略　 是唯一最大项 且 （任一端取零都会出现并列最大）。 ；。 故 。 答　。 　　【解答题】 ★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第16题 32. 已知等比数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． (1) 策略　 先定 ，再用 定 。 （各项为正），，，，故 。 (2) 策略　 是 3 的倍数列； 作差得 ，再找公共项。 ，； 时 ，即 （0 与正奇数）。 。公共项为 与奇数倍的 3：，。 前 10 项和 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第17题 33. 已知等比数列的公比为整数，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. (1) 策略　两式相除消去 ，注意 。 。由 知 ，约去得 ，即 ，。 为整数，故 。，，。 (2) 策略　，错位相减。 记 ，则 ，解得 。 故 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第15题 34. 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． (1) 策略　，，，联立解出 。 由 ：，得 ，。 ，。 (2) 策略　，错位相减。 。 答　(1) ，；(2) 。 ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第16题 35. 已知数列和的各项均为正数，且满足：． （1）若，求； （2）设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小． (1) 策略　两个条件都除以 ，即可看出 是等差数列。 ，，代入 并除以 ，得 ，故 为等差数列。 ，，。，，公差 ，故 ，。 (2) 策略　 是等差数列， 是 的二次式，两个比值直接计算。 ，。 ；。 两者对任意 恒相等。 答　(1) ；(2) 恒相等，均为 。 ★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第15题 36. 记正项等比数列前项和为，已知． （1）求的公比； （2）若，数列的前项和为，正整数满足，求． (1) 策略　按 与 讨论，因式分解。 时 ，，条件成为 ，，与正项矛盾。 时 ，整理得 ，即 。 且 ，故 。 (2) 策略　，， 为二阶等差和。 。代入 ：，即 ，，（负根舍）。 答　(1) ；(2) 。 ★★　湘潭市2026届高三二模 · 第15题 37. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． (1) 策略　后三项和是前三项和的 倍。 ，故 ，，。 (2) 策略　等差中项式两边约去 。 ，即 ，。 (3) 策略　 是等比数列，求和后放缩。 ，即 ，。 ，。 答　(1) ；(2) ；(3) 证毕。 ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第15题 38. 已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）已知数列满足：，求数列的前n项和． (1) 策略　，，两个条件直接定出 ； 由和式关系作差。 ，，故 ，，。 ： 时 ，； 时与 相减得 ，即 ，故 。 (2) 策略　化简后按 裂项。 。 而 。 故 。 答　(1) ，；(2) 。 　②递推关系求通项 　　【选择题】 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第7题 1. 已知数列各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 策略　条件里有积 ，用 化成 的递推，凑出 的规律。 ：，，。 对 ，，条件两边乘 2 并代入 ：。 记 ，则 ，条件化为 ，即 。 ，，，，归纳 （代回递推验证成立）。故 。 。 。 答　选 A。 ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第8题 2. 已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（ ） A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 策略　先化简取整式： 恰有一个是 3 的倍数，三个取整的和可以算出。 逐段验证：（如 ：；：）。 故 。，，，，，，，…… 两式相减得 ，故奇数列 ，偶数列 。 为奇数 时：，，，。 为偶数 时：， 非完全平方，舍。 答　选 B。 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第6题 3. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 策略　 作差时注意系数：。 ：，，故 ；又 ，。 时两式相减：，即 ，，累乘得 。 故 （代回 验证成立）。 ，，逐项作比得 。 ，。 答　选 B。 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第8题 4. 已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（ ） A. B. C. D. 策略　" 满足的关系式不可能为"——三个选项各找一个成立例子，剩下的就是答案。 A：取 ，，，，数列 递增，可能。 B：取 ，，，，递增，可能。 C：取 ，，，，公比 的等比数列，递增，可能。 D： 时 要求 ，此时 ，，与递增矛盾。 答　选 D。 ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第8题 5. 数列满足：为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 策略　按递推算出前若干项，发现周期，再定位 与 。 ，，，，，，，，，。 ，，故 以 12 为周期，一个周期内各项和为 0。 ，故 ；。 所以 A 对（），B、C、D 错。 答　选 A。 　　【多选题】 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第11题 6. 已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列是递减数列 B. C. 存在，使得成等差数列 D. 当时， 策略　先求通项： 取对数或直接归纳，得 ，再逐项判断。 ，，，，一般 。 A： 时各指数 均为奇数且递增， 的奇次幂随指数增大而减小，，递减数列，对。 B： 各项指数 不是等差，B 给的是等比求和公式形态，代 检验：右式 ，而 ，错。 C： 成等差 ，，存在，对。 D： 时 ，，，对。 答　选 ACD。 ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第10题 7. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 策略　四个选项各自独立：A、C 先求通项，B 用等差中项，D 裂项。 A：：，； 作差得 ，即 ，故 ，对。 B：；。正项止于 ， 在 最大，对。 C：，：数列为 周期 3。相邻乘积依次为 ，每周期和为 。，总和 ，错。 D：，裂项相消得前 项和 ，对。 答　选 ABD。 ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第9题 8. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 策略　 型：凑 。 ，A 对。 两式（ 与 ）相减不直接；改写：，故 是首项 、公比 的等比数列，B 对。 所以 ，即 ：，，，。，C 错。 ，D 对。 答　选 ABD。 ★★★　东营市2025-2026学年高三第一次诊断性测试 · 第11题 9. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. ， C. D. 策略　关键不等式： 时 （即 ，），由此可证 递增且以 为上界。 A：。若 ，则 ，且 。归纳得 递增且恒在 内，对。 B：递增有上界，极限 满足 ，，故充分大时 ，对。 C：。令 ，， 在 上递减且 ，故 ，，对。 D：。令 ，当 时 ，而 ，故充分大时该式不成立，错。 答　选 ABC。 　　【填空题】 ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第13题 10. 已知数列的前项和为，且满足，则__________． 策略　： 定 ，再作差得递推。 ：，。 时两式相减：，即 。 故 是首项 1、公比 的等比数列，。 答　。 ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第13题 11. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 策略　 用累乘求 ，再裂项求和。 ，累乘：。 。 。 答　。 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第13题 12. 已知数列满足，则数列前100项和为__________. 策略　：凑 变等比。 ，，故 ，。 前 100 项和 。 答　。 ★★★　黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第13题 13. 已知数列的前项和为，且，，则___________． 策略　 平方后 ， 是等比数列。 ，故 。 时 。 答　，。 ★★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第14题 14. 已知数列满足，，则________． 策略　，凑 的递推。 ，故 。 即 ，，，。 。 答　。 　　【解答题】 ★★　池州市普通高中2026届高三下学期教学质量统一监测 · 第16题 15. 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）令，求． (1) 策略　 消去 ，配成完全平方。 ：，。 时两式相减：，即 ，故 。 若 ，则 ，与递增矛盾（且数列将在 间摆动）。故 ， 是首项 1、公差 1 的等差数列，。 (2) 策略　，所求为 ，换元后错位相减。 记 。 ，。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第16题 16. 已知数列满足． （1）设，求证：数列为等比数列； （2）求的通项公式． (1) 策略　递推式按 与 分组。 ，故 。， 是首项 3、公比 3 的等比数列，。 (2) 策略　累加。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　滨州市2026届高三数学一模 · 第15题 17. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，且，证明数列为等比数列，并求． (1) 策略　： 定首项，作差得递推。 ：，。：，即 。故 。 (2) 策略　两条相邻关系 、 相减即得。 。，故 是首项 4、公比 3 的等比数列。 奇数项：。 。 答　(1) ；(2) ，。 ★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第15题 18. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． (1) 策略　把 用 表示。 ，故 。 ，故 是首项 、公比 的等比数列，，即 。 (2) 策略　通项 ，三段分别求和。 。 ：；：。 故 的最大值为 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第15题 19. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． (1) 策略　 相邻两式相减。 ：，即 ，故 。 ，故 是首项 2、公比 2 的等比数列，，。 (2) 策略　，分组：错位相减 等差求和。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第16题 20. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合且，记的元素个数为，求； (1) 策略　 定首项，作差凑 。 ：，。：，即 。 故 是首项 3、公比 3 的等比数列，，。 (2) 策略　，元素由 完全决定。 ， 可取 中一切值，且不同和给出不同元素。 故 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第15题 21. 已知数列． （1）若是等差数列，求的通项公式； （2）设，证明：数列是等比数列. (1) 策略　等差通项代入 比较系数。 设 。，。 两边相等：，得 。故 。 (2) 策略　在 中取 。 ，，故 是首项 4、公比 2 的等比数列，。 答　(1) ；(2) 。 ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第17题 22. 已知递增等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. (1) 策略　三元对称条件用中项； 的递推式按 整理。 ，；，，解得 ，（递增）。，。 ，故 ，，。 (2) 策略　奇数项等比求和，偶数项裂项。 奇数项：。 偶数项：（ 取偶数 ），裂项相消 。 。 答　(1) ，；(2) 。 ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第15题 23. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：是等差数列； （2）若，求最大值. (1) 策略　 与 联立，凑 。 ，又 。 记 ：，即 ，。 ，故 是首项 1、公差 1 的等差数列，，即 ，。 (2) 策略　代入解二次不等式。 ，即 ，，，最大值 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第15题 24. 已知数列前项和为，满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和． (1) 策略　 用 化成 的递推。 ：，即 ，两边除以 ：。 ，故 是首项 1、公差 3 的等差数列，，。 (2) 策略　，裂项。 。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第16题 25. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． (1) 策略　： 定首项，作差得等比。 ：，。：，，故 。 (2) 策略　等差插项： 由首末两项决定。 插入 个数后共 项，公差 。 。 前 项和 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第16题 26. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． (1) 策略　 作差得 的等比。 ：，。：，即 ，。 ，。。 (2) 策略　左边是 的奇偶间隔求和，右边 先算出来，再解整数方程。 ，右边 。。 令 。 为奇数，36 的奇数因子为 ，对应 ，即 。 ：，；：， 舍； 舍。 故存在 ，（）。 答　(1) ，；(2) 存在，，。 ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第17题 27. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. (1) 策略　 两边加 3。 ，，故 是首项 5、公比 2 的等比数列。 (2) ，。 (3) 。 答　(2) ；(3) 。 ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第15题 28. 已知数列，，． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． (1) 策略　 两边减 2。 ，，故 是首项 、公比 的等比数列，，。 (2) 策略　：等差部分直接求和，等比部分错位相减。 。由错位相减，。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第15题 29. 已知数列中，，． （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． (1) 策略　按提示构造 ，验证等比。 。 ，故 是首项 、公比 的等比数列，。 (2) 策略　，分组求和。 ，。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　恩施州2026届高三第二次质量监测 · 第17题 30. 已知各项均为正数的数列，满足． （1）求； （2）设数列满足，记其前项和为，且，求 (1) 策略　递推式两边平方，恰好配成完全平方。 ，展开：，即 。 故 ，，（各项为正，平方不引入增根，代回验证成立）。 (2) 策略　由 的表达式读出每 4 项一组符号和与总和的比例，定出 的分布。 各项绝对值之和 ，而 ，即每段 。 以 为单位，四个绝对值为 ，符号组合中只有 ，即 当 ， 当 。 ，（取正），，（取负）。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第15题 31. 已知数列的前项和为 ，若数列 是等差数列，且 （1）求数列的通项公式 ; （2）设 求数列的前项和. (1) 策略　 等差：两点定公差。 ，，公差 ，。 ，，：（ 时也成立）。 (2) 策略　裂项，注意首项分母是负数。 。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第15题 32. 已知数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． (1) 策略　： 定首项，作差得等比。 ：，。：，，故 。 (2) 策略　，裂项。 ，。 答　(1) ；(2) ，证毕。 ★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第15题 33. 记数列的前项和为，已知． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． (1) 策略　 作差。 ：，整理得 。 ，故 是首项 3、公差 2 的等差数列，。 (2) 策略　，对 裂项。 ，。 答　(1) ；(2) ，证毕。 ★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第15题 34. 已知数列前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. (1) 策略　： 定首项，作差得等比。 ：，。：，，故 。 (2) 策略　算出两个端点项再求公差。 ，，。 ，，。 答　(1) ；(2) 。 ★★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第15题 35. 数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. （1）求的前项和； （2）求. (1) 策略　，而 给出 。 ，。。 。 (2) 策略　 按模 3 累加。 。 答　(1) ；(2) 。 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第16题 36. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. (1) 策略　 化为 。 公比 ：，故 ，，。 (2) 策略　 公差 2：，累乘求 ，再裂项。 。 ，。 答　(1) ；(2) ，证毕。 　③数列求和与公共项 　　【选择题】 ★★　宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第6题 1. 已知数列通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 策略　公共项即同时落在两个同余类里的数：奇数且 。 是正奇数；。既奇又 的数 ：，即 。 。 答　选 B。 ★★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第7题 2. 已知有个和个，共个数，排成一个数列，若对任意，前项和都满足，则满足上述条件的数列的个数为（ ） A. B. C. D. 策略　这是投票问题：全部排列减去"出现过负前缀"的排列，后者用反射原理对应到另一类排列。 全部排列 个。对存在前缀和 的排列，把它从首次到达 处的前缀翻转（），一一对应到"5 个 、2 个 "的排列，共 个。 故满足 的排列数 。（小情形验证：2 个 、1 个 时公式给 ，即 与 ，列举无误。） 答　选 A。 　　【填空题】 ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第13题 3. 已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 策略　每 3 项去掉 1 项、保留 2 项，按段写出 的通项再分段求和。 保留的项为 ，（），即 ，。 。 答　。 ★★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第14题 4. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. 策略　项数：每次插入"项数减一"个新项；和：插入进来的恰是所有相邻对之和，而相邻对之和 首项 末项。 ，即 ，，故 ，。 扩充不改变首末两项，首末恒为 和 ，故第 次插入的总和为 ，。，故 。 答　；。 ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第14题 5. 已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______． 策略　全局最大值 10 在前段还是后段决定 的正负，先分析 ，再用 收尾分析并事件。 ： 必须前 3 项含 10（否则 ），且后 7 项最大值 ，即 8、9 也在前 3 项。故前 3 项恰为 ，。 并事件：若 10 在第 10 位，一切 ；若 8（或 9）在第 10 位，则对任意 ，后段最大值 ，前段最大值 ，。反之若 ，则 8、9、10 都在前 9 位，，事件发生。 故 ，概率 。 答　；。 ★★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第14题 6. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 策略　算出 在 中的排序位置：不超过 的元素个数可精确计数。 不超过 ：奇数有 个（），2 的幂从 2 到 共 个（），故 排在第 位。 ：，，故 （间隔随 严格增大，此对唯一）。 不超过 64 的全部元素之和 。 答　。 　　【解答题】 ★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第15题 7. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， (1) ； 时 （ 时也成立），故 。 (2) 策略　，而角 按 周期循环，90 项恰为一个完整周期。 。 取遍 ，一个完整周期内余弦值之和为 0，故所求和为 。 答　(1) ；(2) 。 　④数列综合 　　【多选题】 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第10题 1. 已知数列满足，，且，，则（ ） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. 策略　条件即二阶差分非负：，逐项检验。 C：，，对。 D：，，对。 B：递减数列要求 ，但 ，矛盾，故"一定不是递减数列"对。 A：取 （等差数列），则 恒成立且 ，，满足全部条件，故"一定不是等差数列"错。 答　选 BCD。 ★★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第10题 2. 已知数列满足，记为的前项和，则（ ） A 当时， B. ，使得 C. 为等比数列的充要条件是 D. 且，使得 策略　整数轨道：小于 4 时乘 3，不小于 4 时减 4，逐点追踪。 A：： 周期 4。，，对。 B：：，从第 2 项起全为 0，，对。 C： 时一切项小于 4， 为等比数列； 时轨道进入循环 或 ，或出现 0 项（ 为 4 的倍数），均非等比，充要条件成立，对。 D：（不是 4 的倍数）：，7 从此不再出现，不存在 使 对一切 成立，错。 答　选 ABC。 　　【填空题】 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第14题 3. 已知数列满足，当时，，若数列中存在连续5项构成等差数列，则的最小值是______. 策略　5 项等差与各项上下界夹逼； 无上界但其余各项双侧受约束，先排除 。 ：设 ，公差 。由 得 ；由 得 。联立 ，即 ，得 ，与 矛盾， 不可行。 ：取 ，：五项为 ，逐一核对：，，，，均满足，且可取 。 故 的最小值为 。 答　。 ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第14题 4. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 策略　，中间四项之和为 0，按取值组合分类计数。 ，各项取自 ：两个 两个 ： 个；一个 、一个 、两个 ： 个；全零： 个。 合计 个。 答　。 ★★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第14题 5. 数列，满足：，，.设，，若，，则_____. 策略　先确定 A： 被 5 整除的 a 的特征；B 是其补集，每 4 个连续正整数含 3 个 B 元素，分组求和。 除以 5 的余数按 周期变化， 按 周期变化。逐类检验：仅当 时余数和为 ，故 。 ，每 4 个连续正整数 中恰 3 个属于 B。：前 33 组（）含 99 个，第 100 个是 。 每组 之和为 ，前 33 组总和 ，再加 ，得 。 答　。 　　【解答题】 ★★★　淮南市2026届高三第一次教学质量检测 · 第17题 6. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． （1）求； （2）求； （3）求． (1) 第 1 次甲等可能传给乙、丙、丁，；第 2 次球到乙 ⟺ 第 1 次后不在乙且此次传给乙，。 (2) 策略　球传回传球者自身不可能，得递推 。 ，，故 。 (3) 策略　，所求为等差乘等比，错位相减。 记 ，，而 （其中 ）。 故和 。 答　(1) ，；(2) ；(3) 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列 　①等差、等比数列的性质与运算 　　【选择题】 ★　烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第6题 1. 已知数列的前项和记为，若，则（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第3题 2. 已知等比数列，其公比，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. ★★　蚌埠市2026届高三第一次教学质量检查考试 · 第7题 3. 已知等差数列前项和为，等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. ★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第4题 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第6题 5. 若等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 2 ★★　扬州市2026届高三第一次调研测试 · 第6题 6. 已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第6题 7. 已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第7题 8. 已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1014 D. 1013 ★★　唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第8题 9. 在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第6题 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第5题 11. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第5题 12. 已知正项等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. ★★　黄石市2026届高三3月模拟 · 第7题 13. 已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ） A 1或2 B. 1或4 C. 2或4 D. 4 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第6题 14. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 ★★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第7题 15. 等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026 　　【多选题】 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第10题 16. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 ★★　保定市2026届高三第二次模拟考试 · 第11题 17. 记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ） A. 若且，则时，的最小值为21 B. 若当且仅当时，取得最小值，则 C. 若取最小值时，k有两个不同解，则 D. 若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 ★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第9题 18. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）． A. B. C. D. ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第9题 19. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. ★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第9题 20. 数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D 当时， ★★★　马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测 · 第10题 21. 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 ★★★　日照市2026届高三下学期一轮模拟考试 · 第10题 22. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第11题 23. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. 当时，最大 C. 当时， D. 数列的最小项为 ★★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第11题 24. 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. ★★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第10题 25. 设等差数列的前项和为，设，在同一个坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（ ） A B. C. D. 　　【填空题】 ★★　滨州市2026届高三数学一模 · 第12题 26. 已知首项和公差都不为0的等差数列，其前项和为，且，则__________． ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第13题 27. 已知等差数列的前项和为，且，，则________． ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第13题 28. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________. ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第13题 29. 已知数列的前n项和若，则的所有可能值为________. ★★　襄阳市2026届高三3月统一调研 · 第13题 30. 已知等比数列满足，，则_______． ★★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第13题 31. 已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为__________. 　　【解答题】 ★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第16题 32. 已知等比数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第17题 33. 已知等比数列的公比为整数，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第15题 34. 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第16题 35. 已知数列和的各项均为正数，且满足：． （1）若，求； （2）设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小． ★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第15题 36. 记正项等比数列前项和为，已知． （1）求的公比； （2）若，数列的前项和为，正整数满足，求． ★★　湘潭市2026届高三二模 · 第15题 37. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第15题 38. 已知等差数列的前项和为，且，，数列的前n项和为，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）已知数列满足：，求数列的前n项和． 　②递推关系求通项 　　【选择题】 ★★　吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第7题 1. 已知数列各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. ★★　萍乡市2025-2026学年高三二模考试 · 第8题 2. 已知数列满足，，，其中表示不超过的最大整数．若，则（ ） A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 ★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第6题 3. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第8题 4. 已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（ ） A. B. C. D. ★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第8题 5. 数列满足：为的前项和，则（ ） A. B. C. D. 　　【多选题】 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第11题 6. 已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列是递减数列 B. C. 存在，使得成等差数列 D. 当时， ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第10题 7. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 ★★　郑州市2026届高三上学期第一次质量预测 · 第9题 8. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. ★★★　东营市2025-2026学年高三第一次诊断性测试 · 第11题 9. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. ， C. D. 　　【填空题】 ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第13题 10. 已知数列的前项和为，且满足，则__________． ★★　金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第13题 11. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第13题 12. 已知数列满足，则数列前100项和为__________. ★★★　黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第13题 13. 已知数列的前项和为，且，，则___________． ★★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第14题 14. 已知数列满足，，则________． 　　【解答题】 ★★　池州市普通高中2026届高三下学期教学质量统一监测 · 第16题 15. 已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． （1）证明：是等差数列； （2）令，求． ★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第16题 16. 已知数列满足． （1）设，求证：数列为等比数列； （2）求的通项公式． ★★　滨州市2026届高三数学一模 · 第15题 17. 已知数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，且，证明数列为等比数列，并求． ★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第15题 18. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若数列的前项和小于120，求的最大值． ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第15题 19. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第16题 20. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合且，记的元素个数为，求； ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第15题 21. 已知数列． （1）若是等差数列，求的通项公式； （2）设，证明：数列是等比数列. ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第17题 22. 已知递增等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. ★★　九江市2025-2026学年高三上学期第一次高考模拟 · 第15题 23. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：是等差数列； （2）若，求最大值. ★★　张家口市2026届高三下学期一模 · 第15题 24. 已知数列前项和为，满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和． ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第16题 25. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． ★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第16题 26. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． ★★　开封市豫东名校联考2026届高三二模 · 第17题 27. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. ★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第15题 28. 已知数列，，． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第15题 29. 已知数列中，，． （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． ★★　恩施州2026届高三第二次质量监测 · 第17题 30. 已知各项均为正数的数列，满足． （1）求； （2）设数列满足，记其前项和为，且，求 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（二） · 第15题 31. 已知数列的前项和为 ，若数列 是等差数列，且 （1）求数列的通项公式 ; （2）设 求数列的前项和. ★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第15题 32. 已知数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． ★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第15题 33. 记数列的前项和为，已知． （1）证明是等差数列，并求； （2）记数列的前项和为，证明：． ★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第15题 34. 已知数列前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. ★★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第15题 35. 数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. （1）求的前项和； （2）求. ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第16题 36. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 　③数列求和与公共项 　　【选择题】 ★★　宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第6题 1. 已知数列通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. ★★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第7题 2. 已知有个和个，共个数，排成一个数列，若对任意，前项和都满足，则满足上述条件的数列的个数为（ ） A. B. C. D. 　　【填空题】 ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第13题 3. 已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． ★★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第14题 4. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______. ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第14题 5. 已知1～10这10个正整数的随机排列为，，…，．记，，2，…，9，事件为“，，…，满足”，则事件的概率为______，事件的概率为______． ★★★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第14题 6. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 　　【解答题】 ★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第15题 7. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 　④数列与概率综合 　　【多选题】 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第10题 1. 已知数列满足，，且，，则（ ） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. ★★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第10题 2. 已知数列满足，记为的前项和，则（ ） A 当时， B. ，使得 C. 为等比数列的充要条件是 D. 且，使得 　　【填空题】 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第14题 3. 已知数列满足，当时，，若数列中存在连续5项构成等差数列，则的最小值是______. ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第14题 4. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. ★★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第14题 5. 数列，满足：，，.设，，若，，则_____. 　　【解答题】 ★★★　淮南市2026届高三第一次教学质量检测 · 第17题 6. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． （1）求； （2）求； （3）求． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $