21.4 二次函数的应用专题 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理从实际问题建模（列函数表达式、确定自变量取值范围）到最值求解（顶点式、公式法），再到坐标系建立解决抛物线型问题的脉络，涵盖面积、销售、几何等六大题型，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以实际情境例题（如栅栏围矩形、足球射门抛物线）驱动，通过题型分类与变式训练，培养学生用数学眼光发现数量关系，用数学思维推理最值求解，用数学语言建立函数模型。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固应用，弥补知识盲点。

专题21-3：二次函数的应用 题型汇总 【题型1 二次函数的面积应用问题】 2 【题型2 二次函数的销售最值问题】 7 【题型3 二次函数的抛物线型应用问题】 12 【题型4 二次函数的抛物线中简单几何面积问题】 18 【题型5 二次函数抛物线中图形、线段的最值问题】 24 【题型6 二次函数的综合压轴题】 33 一、要点总结 1、二次函数解实际问题步骤 ①根据题意，列函数表达式（注意自变量取值范围）； ②用顶点式或公式法求函数最值 2、用顶点式y=a(x-h)2+k求最值 当a<0时，有最大值，当x=h时取到最大值y=k 当a>0时，有最小值，当x=h时取到最小值y=k 3、用公式求y=ax2+bx+c的最值 当a<0时，有最大值，当x=时取到最大值y= 当a>0时，有最小值，当x=时取到最小值y= 4、 建立坐标系求解二次函数实际问题 对于实际问题，有些轨迹或物体的形状为抛物线，此时可以建立坐标系，将实际数据转化为点的坐标，求出函数表达式，进而解决实际问题。 注：坐标原点的选取，要考虑让函数表达式容易求出，可让顶点落在坐标轴或原点上。 2、 题型归纳 【题型1 二次函数的面积应用问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）．    (1)求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)；当时，的最大值． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据篱笆材料总长面墙长两扇宽为的门求出关于的函数表达式，再根据墙的最大可用长度为求取值范围即可； （2）求出关于的函数表达式，化为顶点式作答即可． 【详解】（1）解：， ∵墙的最大可用长度为，边的长 ∴， 解得， 即； （2）解：， 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得， 当时，的最大值． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，利用总长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为的花圃，求的长度； (2)如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）设的长度为，则，根据题意列出方程解答即可求解； （）设花圃面积为，则，又根据墙的最大可用长度为可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为，则， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：的长度为； （2）解：设花圃面积为，则， ∵墙的最大可用长度为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，花圃面积最大，最大面积， 答：最大面积是． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．    (1)求S关于x的函数解析式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ (3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长为 (3)能；围法：花圃的长为，宽为，这时有最大面积 【分析】（1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出S与x的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出x的值即可． （3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为，面积， ∵，墙的最大可用长度a为， ∴， 解得：， ∴， ∴． （2）解：将代入得：， 化简得：， 解得， ∵， 不合题意，舍去， 答：花圃的宽为； （3）解： 对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，S有最大值， 此时， 故能围成面积比45平方米更大的花圃 围法： (米)，即花圃的长为，宽为，这时有最大面积． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示S． (2)如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？ (3)按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)能，48平方米，理由： 由题意可得： ∴当时，S取得最大值， 当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意， ∴S的最大值为48， 答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米． 【分析】（1）由矩形面积S=长×宽，列出函数解析式； （2）令面积为45，解方程判断即可． （3）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质得到最大值，验证BC边符合题意即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意可得： 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 答：花圃的长为9米，宽为5米； （3）略 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数解析式解决问题是解题的关键． 【题型2 二次函数的销售最值问题】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 (1)若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 (2)为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】(1)；； (2)A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出提价后的单套利润和销量，再根据总利润=单套利润销量列出式子； （2）A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，则，据此整理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：A套餐提价后的利润为元，销量为套， ； B套餐提价后的利润为元，销量为元， ； （2）设A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w， 则； ， ， ， 当时，利润最大为6984元． 答：A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元． 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）重阳节前夕，某商店购进由重阳糕和菊花酒搭配而成的，两种礼盒．其中礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒，礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒．若礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒，礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每盒礼盒的价格提高元，每天销售，两种礼盒的利润分别为元和元，求出，与之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为元，那么礼盒的售价提高多少元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】(1)， (2)礼盒的售价提高元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大，最大为元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据利润每盒利润销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为元，礼盒的售价每盒提高元，则礼盒的售价每盒提高元，列出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为元，礼盒的售价每盒提高元，则礼盒的售价每盒提高元． 由题意得 当时，元， 即礼盒的售价提高元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大，最大为元． 【变式2-2】（2025·安徽铜陵·三模）春节临近，苹苹果业给顾客提供，两种水果礼盒．种礼盒每盒利润30元，每天能卖120盒；种礼盒每盒利润20元，每天能卖160盒．若种礼盒价格提高1元，则每天少卖出3盒；种礼盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种水果礼盒的成本不变） (1)若每份礼盒价格提高了元，销售，两种礼盒每天的利润分别为元、元，请求出、与之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为8元，那么种礼盒的价格提高多少元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大？ 【答案】(1)， (2)当种礼盒的价格提高1元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设出未知数，根据题意列出等式，找到量之间的关系是解题关键； （1）由题意可知，每份礼盒价格提高了元，种礼盒每天卖出盒，种礼盒每天卖出盒，根据利润=每份利润份数即可求得函数关系式； （2）设种礼盒的价格提高元，种礼盒的价格提高元，结合两个函数关系可得两种每天利润之和，即可求得结果． 【详解】（1）解：， ． （2）解：设种礼盒的价格提高元，种礼盒的价格提高元，由题意得， ， 当时，的值最大． 答：当种礼盒的价格提高1元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大． 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得： ， 解得， ∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）； （2）根据题意，得： ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值， 即， 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元． 【点睛】本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题． 【变式2-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）某超市销售一种文具，进价为5元/件．在销售过程中发现，当售价为6元/件时，日销售量为100件，每件售价每上涨0.5元，日销售量就减少5件．设每件文具的售价为x元/件时（，且x是按0.5元的倍数上涨），日销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式.（不要求写出自变量的取值范围） （2）若每件文具的利润不超过，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应为多少元？并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）9元，280元 【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销售数量可得函数解析式； （2）先根据每件文具利润不超过80%求出x的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，继而利用二次函数的性质求解可得答案． 【详解】解：（1）由题意，得， 与x的函数关系式为． （2）∵每件文具的利润不超过， ，解得， ∴文具的售价x的取值范围是，且x是0.5的倍数． 由（1）得． ∵此抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，此时． 故要想获得最大日销售利润，每件文具的售价为9元，最大利润为280元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，也要求熟练掌握二次函数的性质． 【题型3 二次函数的抛物线型应用问题】 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】(1)该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小罗此次射门不能射入球门内， 理由：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； （2）略 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； （2）由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． (1)求点B的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键； （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出的值，进而求出点的坐标即可； （2）求出点和点的纵坐标，进而求出点和点的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∵，，，， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵与之间的距离为， ∴点E与点F的纵坐标为. 令，得， 解得，， ∴，即水面的宽度为； 【变式3-3】（2025·河北石家庄·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)该球不能射进球门； (3)的取值范围是． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （）当时，求出的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （）该球员带球向正后方移动再射门，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点和点代入求出得的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴该球不能射进球门； （3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得（舍去）或， 把点代入，得．解得（舍去）或， ∴的取值范围是． 【变式3-4】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线表示的二次函数的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点C在点O的正上方，且．运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线表示的二次函数的表达式为 (2)球不能射进球门 (3)的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出y的值，再与比较，即可知球能不能射进球门； （3）移动后的抛物线为，把点代入上式求出n，同理把代入函数表达式求出n，进而求得n的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得， 抛物线表示的二次函数的表达式为； （2）解：当时，， 球不能射进球门； （3）解：由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， 把点代入，得， 解得（舍去），， 的取值范围为. 【题型4 二次函数的抛物线中简单几何面积问题】 【例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为8 (3)点的坐标为和 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入解析式求解即可； （2）然后令解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再将二次函数解析式变为顶点式求出点M，进而即可求解； （3）设的高为h，由求出h，然后代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入， 得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴，， ∴． ∵， ∴顶点． 的高为顶点到轴的距离， ∴面积为 ； （3）解：设的高为h， 由，得 解得， 即点P的纵坐标为5或． 当时， 解得或， ∴或． 当时， ， ∴， ∴方程无实数解， 综上所述，存在点P，坐标为和． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，若二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式和顶点坐标； (2)若为二次函数图象上一点且，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的综合应用， （1）将、、代入得到关于、、的三元一次方程组，求解即可； （2）求出，得到，设，则，可得 ，解得或，再代入求解即可． 确定边上的高是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的解析式为，顶点坐标为； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ， ∴或， 当时，得：， 解得，， ∴点的坐标为或； 当时，得：， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或时，． 【题型5 二次函数抛物线中图形、线段的最值问题】 【例5】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（a，b为常数）与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点是抛物线在直线上方部分的一个动点（与点B，C不重合），过点作轴的垂线交直线BC于点，连接，当的面积达到最大值时，求此时的长度； (3)若点为抛物线对称轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的定义，平面直角坐标系两点间距离等知识﹒ （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出，待定系数法求出直线解析式为﹒设，则，即可得到，进而求出，得到当取到最大值时，则取到最大值，根据二次函数性质得到当时，取到最大值，此时； （3）由得抛物线对称轴为直线，设，即可求出，分，，三种情况分类讨论，列方程求解即可﹒ 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：把代入得， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为﹒ 设，则， ∴， ∴ ∴当取到最大值时，则取到最大值， 当时，取到最大值，此时； （3）解：由得抛物线对称轴为直线， 设，∵， ∴ ， ①当时，即，解得； ②当时，即，解得； ③当时，即，解得. 所以﹒ 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）PD=﹣（m﹣2）2+，，PD有最大值，最大值为． 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出C、P的坐标，由此得到线段CP的长度，根据平行线的性质得，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可． 【详解】（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4， ∴B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC=4， ∴OA＝OB＝2， 即A（﹣2，0）， 把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4中，得 ，解得， 抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4； （2）过P作PF∥y轴，交BC于F， 在Rt△OBC中，∵OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°， ∴∠PFD=45°， ∴PD=PF， 由P(m，﹣m2+m+4)，F(m，－m+4)，得：PF=﹣m2+2m， ∴PD=（﹣m2+2m） =﹣（m﹣2）2+，其中，0＜m＜4， ∵﹣＜0， ∴当m＝2时，PD有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，掌握待定系数法、抛物线的性质以及最值问题、解直角三角形是解题的关键． 【变式5-3】（25-26九年级下·河北·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求线段的长是多少？ (3)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值时多少？ (4)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)点的坐标为或或或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）利用，得出的值，进而求得线段的长度，利用勾股定理即可得出结论； （3）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （4）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：如图1， ， ． ． ． 点的坐标为，． 又点的坐标为． 在中， ，， ； （3）解：过作轴于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， 当时，的最大面积为； （4）解：点的坐标为或或或,理由： ， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的性质．解题的关键是掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 【题型6 二次函数的综合压轴题】 【例6】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）设二次函数（，为常数），且． (1)若该二次函数的图象过点，求该二次函数的表达式； (2)二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数（为常数，）的图象也经过这个定点，探究实数，满足的关系式； (3)若该二次函数的图象上有四个不同的点：，，，，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入二次函数解析式得到，结合求出，的值，即可解题； （2）根据得到，将其代入二次函数解析式整理得到，进而推出二次函数的图象过定点，将定点代入一次函数，并结合求解，即可解题； （3）根据，在二次函数的图象上，得到，进而得到，再同样根据，在二次函数的图象上，得到，进而推出，对其进行整理求解，即可解题． 【详解】（1）解：该二次函数的图象过点， ， ， 由得：， 解得， 将代入②中，得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：， ， 将其代入二次函数中有， ， 当时，， 即二次函数的图象过定点， 一次函数（为常数，）的图象也经过这个定点， ， ， ， 整理得； （3）解：二次函数的图象上有四个不同的点：，，，， ， ， ， ， 又， ． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． (1)求抛物线与直线的解析式． (2)已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． (3)平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的性质，矩形的性质，一次函数的平移； （1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求得，得出抛物线解析式，进而令，得出点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）分当在点的左侧时，当在点的右侧时，得出的范围，再根据点与对称轴的距离的远近列出不等式，即可求解； （3）根据一次函数的平移得出直线的解析式为，先求得点的坐标，再令，连接抛物线解析式得出抛物线与的交点的横坐标，代入直线，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时，，则， 设直线的解析式为，代入，得 解得； ∴直线的解析式为 （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵，是抛物线上不同的两点， ∴，即， 当在点的左侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴无解， ∴不存在这种情况； 当在点的右侧时，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：，令， ∴ 解得： ∴ 依题意，直线的解析式为 当直线经过点时，将代入得 解得：； ∵四边形是矩形， 又∵，则 ∴当直线：经过点时，则， 解得： ∵在直线上， 将代入抛物线解析式，得 解得： ∴当直线过点时， 解得： 结合图象可知：当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，的取值范围为或． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)是否存在实数，使得对于函数上任意的一点，也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数相关知识是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）利用函数对称性质求出新的二次函数解析式，由二次函数图象与性质，求出的最大值与最小值计算即可得到答案； （3）由题意，将代入函数解析式、代入函数解析式，从而得到即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，且与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线关于轴对称的图象解析式为， 则抛物线的对称轴为， ， 抛物线在时有最大值，为， 对于最小值，求出与的函数值，再比较大小即可确定， 当时，；当时，， ， 当时，二次函数的最小值为， 则新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）解：存在， 当在函数图象上，则， 当时，代入得， ， ， ， 若也在函数图象上，则， ， 可取任意实数， 要使，无论取何值，等式恒成立，则只需， 解得． 1-1、（25-26九年级上·广西梧州·阶段检测）如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为24m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）能围成面积比24m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 【答案】（1），；（2）AB的长为4米；（3）能围成面积比24m2更大的花圃，最大面积是27m2，此时AB=3m，BC=9m. 【分析】（1）先用x表示出BC，再利用矩形的面积解答即可，利用即可求出x的取值范围； （2）根据题意，当（1）题中的S=24时，求出x的值即可； （3）根据（1）中的函数的性质结合自变量的取值范围解答即可. 【详解】解：（1）根据题意，得：，∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当S=24时，，解得：，， ∵，∴x=4，即AB=4， ∴要围成面积为24m2的花圃，AB的长为4米； （3）， ∵，且－3<0， ∴当x=3时有最大面积的花圃，为27 m2， ∴能围成面积比24m2更大的花圃，最大面积是27m2，此时AB=3m，BC=9m. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的解法和不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 1-2、（25-26九年级上·安徽合肥·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 【答案】(1) (2)最大为75平方米 【分析】（1）由题意得：，即可求解； （2）由，可得S有最大值，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）知，， ， ∴当时，， 当时，，符合题意 ， 答：能建成的饲养室面积最大为75平方米． 2-1、（2025·安徽合肥·一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高１元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变） (1)若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润元，元与x之间的函数关系式； (2)物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？ 【答案】(1)， (2)套餐提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大 【分析】（1）由题意可知，每份套餐价格提高了元，套餐每天卖出份，套餐每天卖出份，根据利润每份利润份数即可求得函数关系式； （2）设套餐每份提高了元，则套餐每份提高了，结合两个函数关系可得两种套餐每天利润之和，即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意可得：套餐每份提高了x元，则每天卖出份， 套餐每份提高了x元，则每天卖出份， 则：套餐每天的总利润， 套餐每天的总利润； （2）设套餐每份提高了元，则套餐每份提高了， ∴， 则两种套餐每天利润之和为：， 即：， ∴当时，有最大值， 即：套餐提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，设出未知数，根据题意列出等式，找到量之间的关系是解题关键． 2-1、（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克， (1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)求商场的最大利润？ 【答案】(1)每千克应涨价元 (2)商场的最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用． （1）设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案； （2）设每千克水果应涨价元，商场的利润为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得：， 整理，得， 解这个方程，得， 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． （2）解：设每千克水果应涨价元，商场的利润为， 根据题意得 ． ∴当时，取得最大值为． 答：商场的最大利润为元． 3-1、（25-26九年级上·江西抚州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 4-1、（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)连接，求的面积； (3)若点是抛物线上一点（点不与点重合），且，则点的坐标为 ． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)15 (3) 【分析】（1）将点和代入得：，求出的值即可，将二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）分别令和，求出、、三点坐标，从而得出、，再根据三角形面积公式计算即可； （3）设，根据得出，从而得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点和代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， ， 抛物线的顶点为：； （2）解：在中，当时，， ， 当时，， 解得：，， ，， ，， ； （3）解：设， ， ， 整理得：或， 解得：，或，（不符合题意，舍去）， 当时，， 当是，， 当时，， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 5-1、（2025·山东济宁·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴负半轴于点A（﹣1，0），与y轴交于B点．过B点的直线l交抛物线于点C（3，﹣1）．过点C作CD⊥x轴，垂足为D．点P为x轴正半轴上的动点，过P点作x轴的垂线，交直线l于点E，交抛物线于点F．设P点的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）连接OE，求△POE面积的最大值； （3）连接DE，CF，是否存在这样的t值：以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在这样的t值：以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】1）将点A、C的坐标代入函数解析式，利用解方程组求得系数的值即可； （2）根据三角形的面积公式，函数图象上点的坐标特征求得S△POE=t•（t-2）=（t-3）2-，所以由二次函数的性质求得答案； （3）根据平行四边形的对边相等的性质和坐标与图形的性质求得答案． 【详解】（1）把A（﹣1，0），C（3，﹣1）代入y＝ax2+bx﹣2，得 ． 解得． 则该抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为，则B（0，﹣2）． 设直线BC的解析式为：y＝kx+d（k≠0）． 把B（0，﹣2）、C（3，﹣1）代入，得． 解得． 故直线BC的解析式为    ． ∴E（t，t﹣2） ∴S△POE＝t•（t-2）=（t-3）2-． ∴△POE面积的最大值是； （3）存在这样的t值． 理由：E（t，），F（t，）． 若以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则EF＝CD＝1， 即﹣（）﹣（2﹣t）＝1． 整理得：7t2﹣21t+12＝0． ∵△＝（﹣21）2﹣4×7×12＞0， ∴方程7t2﹣21t+12＝0有解． ∴存在这样的t值：以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、平行四边形的性质等知识点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 6-1、（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21-3：二次函数的应用 题型汇总 【题型1 二次函数的面积应用问题】 2 【题型2 二次函数的销售最值问题】 4 【题型3 二次函数的抛物线型应用问题】 7 【题型4 二次函数的抛物线中简单几何面积问题】 9 【题型5 二次函数抛物线中图形、线段的最值问题】 11 【题型6 二次函数的综合压轴题】 14 一、要点总结 1、二次函数解实际问题步骤 ①根据题意，列函数表达式（注意自变量取值范围）； ②用顶点式或公式法求函数最值 2、用顶点式y=a(x-h)2+k求最值 当a<0时，有最大值，当x=h时取到最大值y=k 当a>0时，有最小值，当x=h时取到最小值y=k 3、用公式求y=ax2+bx+c的最值 当a<0时，有最大值，当x=时取到最大值y= 当a>0时，有最小值，当x=时取到最小值y= 4、 建立坐标系求解二次函数实际问题 对于实际问题，有些轨迹或物体的形状为抛物线，此时可以建立坐标系，将实际数据转化为点的坐标，求出函数表达式，进而解决实际问题。 注：坐标原点的选取，要考虑让函数表达式容易求出，可让顶点落在坐标轴或原点上。 2、 题型归纳 【题型1 二次函数的面积应用问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）．    (1)求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，利用总长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为的花圃，求的长度； (2)如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？ 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为．    (1)求S关于x的函数解析式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ (3)能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【变式1-4】（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示S． (2)如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？ (3)按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【题型2 二次函数的销售最值问题】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 (1)若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 (2)为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）重阳节前夕，某商店购进由重阳糕和菊花酒搭配而成的，两种礼盒．其中礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒，礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒．若礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒，礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每盒礼盒的价格提高元，每天销售，两种礼盒的利润分别为元和元，求出，与之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为元，那么礼盒的售价提高多少元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大？最大是多少元？ 【变式2-2】（2025·安徽铜陵·三模）春节临近，苹苹果业给顾客提供，两种水果礼盒．种礼盒每盒利润30元，每天能卖120盒；种礼盒每盒利润20元，每天能卖160盒．若种礼盒价格提高1元，则每天少卖出3盒；种礼盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种水果礼盒的成本不变） (1)若每份礼盒价格提高了元，销售，两种礼盒每天的利润分别为元、元，请求出、与之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为8元，那么种礼盒的价格提高多少元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大？ 【变式2-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【变式2-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）某超市销售一种文具，进价为5元/件．在销售过程中发现，当售价为6元/件时，日销售量为100件，每件售价每上涨0.5元，日销售量就减少5件．设每件文具的售价为x元/件时（，且x是按0.5元的倍数上涨），日销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式.（不要求写出自变量的取值范围） （2）若每件文具的利润不超过，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应为多少元？并求出最大利润． 【题型3 二次函数的抛物线型应用问题】 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． (1)求点B的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【变式3-3】（2025·河北石家庄·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 【变式3-4】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线表示的二次函数的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点C在点O的正上方，且．运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围． 【题型4 二次函数的抛物线中简单几何面积问题】 【例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，若二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式和顶点坐标； (2)若为二次函数图象上一点且，求点的坐标． 【题型5 二次函数抛物线中图形、线段的最值问题】 【例5】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（a，b为常数）与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点是抛物线在直线上方部分的一个动点（与点B，C不重合），过点作轴的垂线交直线BC于点，连接，当的面积达到最大值时，求此时的长度； (3)若点为抛物线对称轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【变式5-2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值． 【变式5-3】（25-26九年级下·河北·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点 (1)求抛物线的解析式； (2)若过点的直线交线段于点，且，求线段的长是多少？ (3)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值时多少？ (4)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的坐标． 【题型6 二次函数的综合压轴题】 【例6】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）设二次函数（，为常数），且． (1)若该二次函数的图象过点，求该二次函数的表达式； (2)二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数（为常数，）的图象也经过这个定点，探究实数，满足的关系式； (3)若该二次函数的图象上有四个不同的点：，，，，试求的值． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． (1)求抛物线与直线的解析式． (2)已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． (3)平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)是否存在实数，使得对于函数上任意的一点，也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 1-1、（25-26九年级上·广西梧州·阶段检测）如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为24m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）能围成面积比24m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 1-2、（25-26九年级上·安徽合肥·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 2-1、（2025·安徽合肥·一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高１元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变） (1)若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润元，元与x之间的函数关系式； (2)物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？ 2-2、（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克， (1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)求商场的最大利润？ 3-1、（25-26九年级上·江西抚州·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 4-1、（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)连接，求的面积； (3)若点是抛物线上一点（点不与点重合），且，则点的坐标为 ． 5-1、（2025·山东济宁·一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴负半轴于点A（﹣1，0），与y轴交于B点．过B点的直线l交抛物线于点C（3，﹣1）．过点C作CD⊥x轴，垂足为D．点P为x轴正半轴上的动点，过P点作x轴的垂线，交直线l于点E，交抛物线于点F．设P点的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）连接OE，求△POE面积的最大值； （3）连接DE，CF，是否存在这样的t值：以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 6-1、（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $