精品解析：四川达州市高级中学校2026-2027学年九年级上学期入学考试 数学试题

达州市高级中学2026年秋季入学考试 九年级数学试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） A卷（共100分） 一．选择题（每小题4分，共32分，请将符合题目要求的选项用2B铅笔填涂在答题卷中） 1. 人工智能（AI）是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新技术科学．下列是著名的人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的边数为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则该条件为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. “芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（ ） A. B. C. D. 8. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 二．填空题（每小题4分，共20分，请将符合题目要求的答案填入答题卷中） 9. 因式分解：_____． 10. 一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的一个内角的度数是______度． 11. 分式方程的解为__________． 12. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，（点对应点，点对应点），若边恰好经过点，连接，则的度数为__________． 13. 如图，在中，按以下步骤操作：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若的面积为，的面积为，，则的长为____________． 三．解答题（本大题共5小题，共48分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 14. 计算下列各题． （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中． 15. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向左平移个单位后的； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的： （3）若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 18. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）当是等腰三角形时，求的度数． B卷（共50分） 四．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为__________． 20. 用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 21. 已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个，则m的取值范围是________． 22. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 23. 一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第一象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的有_______ ． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同． （1）求每千克牛肉干的进货价． （2）牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共． ①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？ ②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？ 25. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把因式分解． （2）多项式有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线、分别与轴交于点、，与轴交于点、． （1）求、； （2）点是线段延长线上的一个点，的面积为，平面直角坐标系内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市高级中学2026年秋季入学考试 九年级数学试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） A卷（共100分） 一．选择题（每小题4分，共32分，请将符合题目要求的选项用2B铅笔填涂在答题卷中） 1. 人工智能（AI）是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新技术科学．下列是著名的人工智能品牌公司的图标，其中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是因式分解，且因式分解正确，故此选项符合题意； C、，原式变形错误，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意． 3. 若一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的边数为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目关系求出单个外角的度数，再用外角和除以单个外角得到边数． 【详解】解：设该多边形的一个外角为， ∵每个外角都等于相邻内角的， ∴相邻内角为， ∵多边形的相邻内角与外角互为邻补角， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为， ∴边数， 即这个多边形的边数为6． 4. 如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则该条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定逐选项判断即可． 【详解】解：A.根据可得平分，但，得不到四边形是平行四边形，A选项不符合题意； B.根据及得不到四边形是平行四边形，B选项不符合题意； C.根据可得，再由，可得四边形是平行四边形，C选项符合题意； D.根据及得不到四边形是平行四边形，D选项不符合题意． 5. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零时，需满足分子为零，而分母不为零两个条件，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，且， ∴． 6. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7. “芦溪河（天府新区段）”又名“鹿溪河”，是岷江的二级支流，锦江的一级支流，2026年成功入选四川省2025年度省级幸福河湖，成为全省河湖生态治理与公园城市建设深度融合的标杆样板．某社区组织“守护母亲河”志愿服务活动，计划用450元购买一批垃圾夹与捞网进行河道治理，其中垃圾夹每个15元，捞网每个20元．现已购买16个垃圾夹，最多还能购买多少个捞网？设还能购买捞网个，根据题意列式得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示购买16个垃圾夹的费用和购买个捞网的费用，根据总费用不超过450元列不等式即可． 【详解】解： 设还能购买捞网个，根据题意得． 8. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中如图所示，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线、直线与轴的交点的横坐标分别为、，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴不等式组的解集为． 二．填空题（每小题4分，共20分，请将符合题目要求的答案填入答题卷中） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 10. 一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的一个内角的度数是______度． 【答案】135 【解析】 【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论． 【详解】设多边形的边数为n． 因为正多边形内角和为（n−2）•180°，正多边形外角和为360°， 根据题意得：（n−2）•180°＝360°×3， 解得：n＝8． ∴这个正多边形的每个外角＝＝45°， 则这个正多边形的每个内角是180°−45°＝135°， 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，正多边形的性质；熟练掌握正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键． 11. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 故答案为： 12. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，（点对应点，点对应点），若边恰好经过点，连接，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质求出 的度数，根据旋转的性质得出 及对应角相等，结合点 A在边上确定  的度数，利用等腰三角形性质求出 ，最后通过角的和差关系求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， 由旋转的性质可知：，， ∵ 边恰好经过点， ∴， 在  中，， ∴， ∴． 13. 如图，在中，按以下步骤操作：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若的面积为，的面积为，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目操作，可得射线（即）是的角平分线，由角平分线性质可得，进而得出． 【详解】解：由题意可知，射线（即）是的角平分线， ∴点到边和的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（本大题共5小题，共48分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 14. 计算下列各题． （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）利用不等式的基本性质求出两个不等式的解，不等式组的解为两个不等式的公共部分； （2）先因式分解：括号外的分子用平方差公式，分母用完全平方公式，括号里的先通分后提公因式，最后分子分母交叉约分；二次根式必须化到最简． 【小问1详解】 解：解不等式①：， ， ， 解不等式②得：， 原不等式组的解为：； 【小问2详解】 解： 将代入， 原式． 15. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解法包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，能够根据方程的特点选择合适的方法解方程是本题的关键． （1）方程两边同时除以，利用直接开方法进行解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向左平移个单位后的； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的： （3）若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 17. 如图，在中，对角线与相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，即可得到是的中位线，则，，根据，得到，即可根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形； （2）由和得到，，最后根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 18. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边，连接、． （1）当时，试判断的形状，并说明理由； （2）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）为直角三角形；理由如下； 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （2）为、、 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）首先根据已知条件可以证明，然后利用全等三角形的性质可以求出的度数，由此即可判定的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：，，，， 要使，需， ， ； 要使，需， ， ； 要使，需， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，为、、． B卷（共50分） 四．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ 原式． 20. 用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立，原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设. 21. 已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有4个整数解进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的整数解有且仅有4个， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 22. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】，且 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含的式子表示的，再根据解为正数、分母不为两个条件列不等式求解． 【详解】解： ， 方程的解为正数 ，即， 解得， 分式方程分母不为， ， 即， 解得， 的取值范围是，且． 23. 一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第一象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的有_______ ． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：一次函数的图象经过第一、二、四象限，则有， ∴该函数y随x的增大而减小；故①说法正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有， ∴函数中，，所以该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故②说法正确； 由图象可知：不等式的解集是；故③说法错误； 当时，，即，整理得：，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②④． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某超市计划购进牛肉干和干香菇两种特产进行售卖，已知每千克牛肉干的进货价比干香菇多元，用元购进牛肉干的质量与用元购进干香菇的质量相同． （1）求每千克牛肉干的进货价． （2）牛肉干、干香菇两种特产的售价分别为元、元，超市准备购进这两种特产共． ①若超市销售完这两种特产的总利润不少于元，则超市最少购进牛肉干多少千克？ ②若超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的，且销售牛肉干时每千克优惠元，则超市如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）每千克牛肉干进货价为元； （2）①最少购进牛肉干；②购进牛肉干，干香菇． 【解析】 【分析】（1）设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元，由题意列出方程求解即可，注意检验； （2）①设购进牛肉干，则干香菇，列出一元一次不等式求解即可； ②利润，由超市购进干香菇的质量不低于牛肉干的得，则当时，利润最大． 【小问1详解】 解：设每千克牛肉干进货价为元，则干香菇为元， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的解． 答：每千克牛肉干进货价为元． 【小问2详解】 解：①设购进牛肉干，则干香菇， 则， ， 解得， 答：最少购进牛肉干 ②利润， 由得， ， ∴, 则W随y的增大而增大， 当时，最大，即购进牛肉干，干香菇． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是正确理解题意． 25. 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把因式分解． （2）多项式有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，有最大值，最大值为1 【解析】 【分析】（1）仿照示例，利用配方法和平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照示例，利用配方法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线、分别与轴交于点、，与轴交于点、． （1）求、； （2）点是线段延长线上的一个点，的面积为，平面直角坐标系内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标； 【答案】（1）， （2）点的坐标为、、 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线解析式求出、的值； （2）先求出直线与轴交点坐标，结合三角形面积求出点坐标；再根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：直线：与直线：交于点， 将点代入直线得， ， 即， 即点， 将点代入直线得， ， 解得，； 【小问2详解】 解：对于直线，令， 则，解得， 点的坐标为， 对于直线，令， 则，解得， 点的坐标为， 由、， 得线段的长：， 点到轴的距离为，点在延长线上，到轴的距离为， 且的面积可拆分为与的面积和， ，， 由，得方程：， 解得：， 将代入直线， ， 解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ①以为对角线，为另一条对角线， 的中点：， 的中点：， 由中点重合列方程：， 解得：，即； ②以为对角线，为另一条对角线 的中点：， 的中点：， 由中点重合列方程， 解得：，即； ③以为对角线，为另一条对角线， 的中点：， 的中点：， 由中点重合列方程， 解得：，即； 综上所述，满足条件的点的坐标为、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $