重难题型卷(三)轴对称-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（人教版·新教材）河北专版

7.重难题型卷（三）轴对称 1.C【解析】，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于 点D,交AB于点E,∴.AB=2BC,AD=DB>BC,故选项B正 确，选项C错误. .∠ABC=180°-90°-30°=60°，∠ABD=∠A=30°， ∴.∠CBD=60°-30°=30°，即BD平分∠ABC. ,∠BED=90°，∠C=90°，∴.DE=DC,故选项A正确， ,AB=2BC,DE垂直平分AB,∴.BE=BC,故选项D正确 故选C 2.B【解析】过点O作射线BP,如图.线段AB,BC的垂直平 分线l1,2相交于点O,∴.AO=OB=OC,∠BDO=∠BEO= 90°，∴.∠DBO+∠DOB=90°，∠EBO+∠BOE=90°， ∴.∠DBO+∠EBO+∠DOB+∠BOE=180°， 即∠ABC+∠DOE=180°. :∠D0E+∠1=180°，.∠ABC=∠1=40° OA=OB=OC,∴.∠A=∠ABO,∠OBC=∠C ∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC, .∴.∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABO+∠OBC+∠C= 2∠ABC=2X40°=80°.故选B. E、 A B 第2题答图 第3题答图 3.A【解析】连接BD,如图，DE垂直平分AB, .AD=BD,.∠A=∠ABD..∠A=70°，.∠ABD=70° ,∠ABC=90°， ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=90°-70°=20°. .·BC=AD,AD=BD,.BC=BD,∴.∠C=∠BDC, ·∠C=号(180°-∠CBD)=号合(180°-209)=80故选A 4.C【解析】，直线DE是线段AB的垂直平分线， .'AB=2AE=6,DA=DB. ·△BCD的周长为8，.BD+CD+BC=8, .AD+CD++BC=8,.'.AC+BC=8. ,'AB=6,.△ABC的周长=AB+BC+AC=6+8=14. 故选C. 5.52【解析】.AB=AC,.∠ABC=∠C=26. ∠EAB=∠ABC+∠C=52°，DE垂直平分AB, ,∴.EB=EA,∴.∠EBA=∠EAB=52°.故答案为52. 6.40°【解析】：点P为△ABC三边垂直平分线的交点， ∴.PA=PB=PC,.∠PCA=∠PAC=20°，∠PBC=∠PCB= 30°，∠PAB=∠PBA, ·∠PAB=号(180°-∠APB)=号(180-2∠PAC- 2∠PCB)=2(180°-2×20°-2X309)=40.故答案为40 7.4【解析】如图，连接BD. ,DE所在直线是BC的垂直 平分线，∴BD=CD. AD平分∠BAC,DM⊥AB, M B DN⊥AC, .DM=DN. 在Rt△BMD与Rt△CND中， (BD=CD, D DM-DN, 第7题答图 真题圈数学八年级上R则9G ∴.Rt△BMD≌Rt△CND(HL),∴.BM=CN=4.故答案为4. 8.【解】(1)40 分析：：AB=AC,∴.∠ABC=∠C. :∠ABC=65,.∠C=65°，∠A=50°. :MN所在的直线是AB的垂直平分线， .∠ANM=90°，∴.∠NMA=90°-∠A=40, (2)①AB=AC=9cm,△MBC的周长是16cm, 即BM+MC+BC=16cm. :MN所在的直线是AB的垂直平分线， .'AM=BM,.'.AM+MC+BC=16 cm, ∴.AC+BC=l6cm,.BC=7cm..BC的长度为7cm ②最小值为16cm. 分析：当点P与点M重合时，△PBC的周长最小 PB+PC=PA+PC,PA+PC≥AC,.当点P与点M重合 时，PA十PC=AC,即PB+PC的最小值等于AC的长， ,∴.△PBC的周长最小值=AC+BC=9+7=16(cm). 9.C【解析】分情况讨论：①若底角是50°，则顶角为180°-50°×2 =80°；②顶角为50°.所以顶角的度数为50°或80°.故选C. 10.C【解析】如图，分三种情况：当BA= BC时，以点B为圆心，BA长为半径作 C 圆，点C,C2,C即所求；当AB=AC 时，以点A为圆心，AB长为半径作圆， C 点C4,C,C6,C,C即所求；当CA= CB时，作AB的垂直平分线，与正方 B 形网格的交点不在格点上.综上所述， 满足条件的格点C的个数是8. 第10题答图 故选C. 11.D【解析】①如图①，当AB=AC时，.·AD BC,.BD=CD. AD=7BC.:.AD=BD=CD, ·∠B=∠DAB=2∠CDA=45,底角为45 ②如图@，当AC-BC时，：AD=BC, ·AD=2AC,易知∠ACB=30, .∠CAB=∠B=75°，.底角为75° ③如图③，当AB=BC时，：AD=号BC, 六AD=2AB,∠ABD=30, .∠BAC=∠BCA=15°，.底角为15°. 综上，△ABC底角的度数为15或45°或75°.故选D. B D B ① ② ⊙ 第11题答图 12.160°或140°或20°【解析】如图，分情况讨论： ①当AP=AB时，：∠BAN=20°，∴∠BAP1=160°， .△ABP的顶角的度数是160°； ②当AP2=AB时，.∠BAN=20°， .△ABP的顶角的度数是20°； ③当BP3=AB时，∠BAN=20°， .∠BAP3=∠BP3A=20°，∴.∠ABP3=140°， .△ABP的顶角的度数是140°； 答案与解析 ④当AP4=BP4时，∠P4AB=∠P4BA=20°，则∠AP4B= 140°，∴.△ABP的顶角的度数是140° 综上，当△ABP是等腰三角形时，它的顶角的度数为160°或 140°或20°.故答案为160°或140°或20°. B MP A P.P. P,N 第12题答图 13.15【解析】分两种情况：当等腰三角形的底边BC的长是腰 AB长的2倍时， :腰AB=AC=6,底边BC的长为12,6十6=12， .不能组成三角形； 当等腰三角形的腰AB的长是底边BC长的2倍时， :腰AB=AC=6,.底边BC的长为3， .△ABC的周长为6十6+3=15. 综上，△ABC的周长为15. 故答案为15. 14.108°或72°【解析】：AB=AC,∠B=36°，.∠B=∠C=36. ①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=36°， ∠AED=∠C,∴.不符合题意，舍去. ②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=号×(180°-36)=72， .∠BDA=∠DAE+∠C=72°+36°=108° ③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=36°， ∴.∠BDA=∠DAE+∠C=36°+36°=72. 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108 或72°.故答案为108°或72° 15.【解设AB=AC=2x,则AD=CD=x. 若AB十AD=12,则2x十x=12,解得x=4,则CD=4. 此时BC+CD=10,∴.BC=10-CD=6. 若AB+AD=10,则2x十x=10,解得x=9,则CD=9 此时BC+CD=12,.BC-12-CD=29 3 综上所述，底边BC的长为6或9 16.【解】·BC垂直平分OA,∴.OB=AB, .∠BAO=∠MON=32°， .∠ABD=∠MON+∠BAO=64. 由题意知点D在OB的延长线上，当BD=DA时， .∠BAD=∠ABD=64°， .∠OAD=∠BAO+∠BAD=32°+64°=96°； 当BD=AB时，.∠BAD=∠ADB=号×(180°-64)=58， .∴.∠OAD=∠BAO+∠BAD=32°+58°=90°； 当AB=AD时，∴.∠ADB=∠ABD=64°， .∠OAD=180°-∠MON-∠ADB=180°-32°-64°=84°. 综上，∠OAD的度数是96°或90°或84°. 17.【解】(1)由题意可知AP=2tcm,BQ=1.5tcm,则BP=AB AP=(6-2t)cm.当△PBQ为等边三角形时，BP=BQ,即6 2=1.56,解得1=号，即当-号时，△PBQ为等边三角形. (2)当∠BQP=90时，，∠B=60°，.∠BPQ=30°， 在Rt△PBQ中，BP=2BQ,即6-2=3，解得t=. 当∠BPQ=90时，同理可得BQ=2BP, 即1.5=26-20，解得4-票 综上可知，当1为号或酷时，△PBQ为直角三角形. 18.【解】(1)△MAC是等腰三角形. 理由如下：，点P,Q分别从点B以相同的速度同时出发， .BQ=BP. :∠BAQ=∠BCP,∠B=∠B, ∴.△ABQ≌△CBP(AAS), .AB=BC,∴.∠BAC=∠BCA, .∠MAC=∠MCA,∴.MA=MC, ,'.△MAC是等腰三角形. (2)①若△ABQ≌△CBP,则BQ=BP,即2t=8一2t, 解得t=2.∴.t=2时，△ABQ≌△CBP. ②∠CMQ的大小不会发生变化.，△ABC是等边三角形， .∠ABQ=∠CAP,AB=CA. 又.点P,Q运动速度相同，∴.AP=BQ (AB-CA, 在△ABQ与△CAP中，3∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, .△ABQ≌△CAP(SAS).∴.∠BAQ=∠ACP. :∠CMQ=∠ACP+∠MAC, '.∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°. 19.D【解析】，AB=AC,AD是BC边上 的高，.AD垂直平分BC :P是AD上的动点， .连接BP,可得BP=CP 过点B作BQ⊥AC于点Q,BQ交AD P 于点P,则此时PC十PQ取最小值，最小A B 值为BQ的长，如图所示. 第19题答图 :Sm=2BC·AD=2AC·BQ, :BQ=BC,AD_12X8=9.6.故选D, AC 10 20.7【解析】：△ABC是等边三角形， .AC=BC,∠B=60°. 如图，作点M关于直线CD的对称点G,连接PG,CG,则MP= PG,故MP+NP=GP+PN. 当N,P,G三点共线，且NGL AB时，GP+PN的值最小， 即MP+NP的值最小. :∠B=60°，∠BNG=90°， .∠G=30°. BN=5,.BG=2BN=10, B M G ,∴.MG=BG-BM=10-4=6, 第20题答图 ∴.CM=CG=3, .AC=BC=BG-CG=10-3=7. 故答案为7. 21.【解】(1)四边形ABCD的面积=2X3×(1+3)=6. (2)如图，四边形A'B'C'D即所求. (3)如图，点P即所求 Q 第21题答图 分析：因为点A和点A'关于直线1对称，根据轴对称的基本性 质，l是AA'的垂直平分线，所以AP=A'P. 根据“两点之间线段最短”，当点B,P,A'在一条直线上时，BP 十A'P的值最小，也就是BP十AP的值最小 (4)如图，点Q即所求. 分析：由轴对称的基本性质得CQ=CQ,当B,Q,C三点不共 线时，由三角形的三边关系得|BQ一CQ<BC,只有当B,Q,C 三点共线时，|BQ-CQ|=|BQ-CQ|=BC,此时|BQ-CQ| 最大 8.期中学情调研（一） 题号123456789101112 答案ADDC CBC C AAAD 1.A2.D 3.D【解析】在△ABC中，，AB=AC,D是BC边上的中点， '.AD⊥BC,.∠ADC=90°. ∠B=∠C=30°，.∠DAC=60°.故选D. 4.C【解析】如图，连接BD,:CD=BC,∠BCE= 120°，∴.∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°， .△BCD是等边三角形，∴.BD=CD=50cm,即此B 时B,D两点之间的距离为50cm.故选C. 5.C 6.B【解析】在△ACD中，AD=CD=2,.2-2< A AC<2+2,即0<AC<4.只有B符合题意，故选B. 7.C 第4题答图 8.C【解析】A.,△ABD≌△CDB,.SAABD=SADB,故本选项 不符合题意； B..△ABD≌△CDB,.AD=CB,AB=CD,BD=DB,.AD 十BD十AB=CB+DB十CD,即两三角形的周长相等，故本选项 不符合题意； C.'△ABD≌△CDB,∴.∠A=∠C,∠ABD=∠CDB,∠ADB =∠CBD,但无法得出∠ABD=∠CBD,故本选项符合题意； D..△ABD≌△CDB,.AD=CB,∴.∠ADB=∠CBD, '.AD∥BC,故本选项不符合题意.故选C 9.A 10.A【解析】：MQ⊥PN,NR⊥PM, ∴.∠NQH=∠NRP=∠HRM=90 '∠RHM=∠QHN,∴.∠PMQ=∠HNQ. 「∠PMQ=∠HNQ, 在△MQP和△NQH中，MQ=NQ, ∠MQP=∠NQH, .∴.△MQP≌△NQH(ASA),.PQ=HQ=5. .MQ=NQ=9,..MH=MQ-HQ=9-5=4. 故选A. 11.A【解析】连接AE并延长，交BC于点M,如图所示. ,∠BEM是△ABE的外角，∠CEM是△ACE的外角， ∴.∠BEM=∠BAE+∠ABE,∠CEM=∠CAE+∠ACE, '.∠BEM+∠CEM=∠BAE+ ∠ABE+∠CAE+∠ACE, 即∠BEC=∠BAC+∠ABE+ ∠ACE, B ∴.90°=60°+/ABE+∠ACE, D .∠ABE+∠ACE=90°-60°= 30°.故选A. 第11题答图 12.D【解析】，△ABC为等边三角形，∴.∠B=∠ACB=60°， ,∠GCF=∠ACB=60°，∴.∠B=∠GCF .DE⊥BC,FG⊥BC,∴.∠DEB=∠FGC=90°. 真题圈数学八年级上J9G I∠DEB=∠FGC, 在△BDE和△CFG中，3∠B=∠GCF, BD=CF, .△BDE≌△CFG(AAS),∴.BE=CG,DE=FG,故①正确. ∠DPE=∠FPG, 在△EDP和△GFP中，∠DEP=∠FGP=90°， DE-FG, ∴.△EDP≌△GFP(AAS),故②正确 :∠BDE=90°-∠B=30°， .只有当PD⊥AB时，∠EDP=60°，故③错误. △EDP≌△GFP,∴.EP=PG. BE=CG,..EG=EC+CG=EC+BE=BC=2, ·EP=EG=1,故④正确.放选D 13.三个角相等的三角形是等边三角形 14.AB=CD(答案不唯一) 15.9【解析】，直线m恰好垂直平分线段AC,AD=3, .CD=AD=3. :∠C=30°，.∠CAD=∠C=30°. :AD⊥AB,.∠BAD=90°， ∴.∠BAC=120°， ∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=30°， .BD=2AD=6, .BC=BD十CD=9.故答案为9. 16.30【解析】如图，连接AD,作DN⊥AB,DM LAC,垂足分别 为N,M △ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=60°，AB=AC. ,D是BC的中点，∴.BD=DC, .∠BAD=∠CAD,∴.DN=DM. :∠EDF=120°，.∠EDF+∠BAC=180° :∠AED=180°-∠EAD-∠ADE,∠AFD=180°-∠ADF -∠DAF,∴.∠AED+∠AFD=(180°-∠EAD-∠ADE)+ (180°-∠ADF-∠DAF) =360°-（∠EAD+∠ADE+∠ADF+∠DAF) =360°-（∠EDF+∠BAC)=360°-180°=180° :∠AED+∠DEN=180, A .∠DFM=∠DEN, 在△DNE和△DMF中， (∠DEN=∠DFM, E ∠DNE=∠DMF=90°， M DN-DM, ∴.△DNE≌△DMF(AAS), ò .∴.EN=FM. 第16题答图 在△ADN和△ADM中，DN=DM, (AD-AD, ∴.Rt△ADW≌Rt△ADM(HL),∴.AN=AM, .AE+AF=AN-EN++AM+MF=2AN. :BD=DC-2BC=10,∠BDN=90°-∠B=30, :.BN-7BD-5,:AN-AB-BN-15, .AE+AF=2AN=30. 故答案为30. 17.【解】(1)由题意得，10-6<x<10+6,即4<x<16. 6是最短边长，.x≥6..x的取值范围是6≤x<16. (2)由(1)可知，4<x<16, x为整数，.x的最大值为15， .三角形周长的最大值为6十10十15=31.真题圈数学 同步调研卷 八年级上RJ9G 7.重难题型卷（三） 湘 轴对称 尽 嫩 题型一 线段垂直平分线的应用 回物 1.(期中·22-23邯郸二十五中)如图，在△ABC中，∠A=30° ∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则 下列结论错误的是( A.DE=DC B.AD=DB C.AD-BC D.BE=BC O B B 4 口B 製 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,垂足分别 为D,E.若∠1=40°，则∠AOC=( A.50° B.809 C.90 D.100 3.(期中·23-24定州)如图，在四边形ABCD中，DE垂直平分 % AB,∠A=70°，∠ABC=90°，BC=AD,则∠C=( A.80° B.75 C.70° D.60° 4.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC于点D, 交AB于点E,若AE=3,△BCD的周长为8，则△ABC的周 长为( ) A.8 B.11 C.14 D.18 些0 明删 第4题图 第5题图 第6题图 题) 5.如图，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AB交CA的延 副 长线于点E,垂足为D,连接BE,若∠C=26°，则∠EBA 6.(期末·22-23定州)如图，点P为△ABC三边垂直平分线 的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠PAB的度数 为 7.如图，DE垂直平分BC,垂足为E, AD平分∠BAC,DM⊥AB于点 M,DN⊥AC交AC的延长线于点 M B N,连接DC,已知MB=4,则CN 8.(期末·22-23唐山凤凰中学)如图， 在△ABC中，已知AB=AC,AB的 第7题图 垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB. (1)若∠ABC=65°，则∠NMA的度数是 (2)若AB=9cm,△MBC的周长是16cm, ①求BC的长度. ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最 小值. 第8题图 题型二等腰三角形中的分类讨论 9.(期中·23-24定州)等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰 三角形的顶角的度数为() A.150°B.80° C.50°或80°D.70° -21 10.(期中·23-24张家口宣化区)如图，在4×4 的正方形网格中有两个格点（小正方形的顶 点)A,B,连接AB,在网格中再找一个格点 C,使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格 点C的个数是( 第10题图 A.5 B.6 C.8 D.9 11.(期末·22-23邢台七中)已知等腰△ABC中，AD为BC边上 的高，且AD-2BC,则等腰△ABC的底角的度数为( A.45 B.75°或60°C.45°或75° D.以上都不对 12.(期末·22-23石家庄外国语)如图，已知点B是直线MN外 一点，A是直线MN上一点，且∠BAN=20°，点P是直线 MN上一动点，当△ABP是等腰三角形时，它的顶角的度数 为 第12题图 第14题图 13.新定义试题定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这 样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角 形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°，点D在线段BC上 运动（点D不与点B,C重合），连接AD,作∠ADE=36°， DE交线段AC于点E,点D在运动过程中，若△ADE是等 腰三角形，则∠BDA的度数为 15.(期中·24-25廊坊)在△ABC中，AB=AC,BD为边AC上 的中线，BD把△ABC的周长分成12和10两部分，求底边 BC的长 16.如图，∠MON=32°，点A在ON上，BC垂直平分OA分别交 OM,ON于点B,C.点D在射线OM上，不与点O,B重合， 当△ABD是等腰三角形时，求∠OAD的度数. C AN 第16题图 题型三动点问题 17.(期末·23-24张家口宣化区)已知：如图所示，△ABC是边 长为6cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发， 分别在AB,BC边上匀速移动，它们的速度分别为p 2cm/s,o=1.5cm/s,当点P到达点B时，P,Q两点停止运 动.设点P的运动时间为ts. (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 精品 (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形 ?金星教有 B4 第17题图 18.（月考·23-24廊坊六中)如图，在△ABC中，点P,Q分别是 AB,BC边上的动点，连接AQ,CP交于点M. (1)若点P,Q分别从点B以相同的速度同时出发，当∠BAQ =∠BCP时，试判断△MAC的形状，并说明理由， (2)若△ABC为边长为8cm的等边三角形，此时P,Q分别 从顶点A,B同时出发，沿线段AB,BC运动，且它们的速度 均为2cm/s.当一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动 时间为ts. ①当t为何值时，△ABQ≌△CBP. ②点P,Q在运动的过程中，∠CMQ的大小会发生变化吗？ 若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出∠CMQ 的大小. M 第18题图 22 题型四最值问题 19.(期末·23-24张家口宣化区)如图，在△ABC中，AB=AC= 10,BC=12,AD=8,AD是BC边上的高，若P,Q分别是 AD和AC上的动点，则PC十PQ的最小值是() A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.9.6 M 第19题图 第20题图 20.（月考·22-23石家庄十七中)如图，点M在等边△ABC的边 BC上，BM=4,射线CD⊥BC,垂足为C,P是射线CD上一 动点，N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN =5,则AC的长为 21.新定义试题如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方 形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”， 如图中四边形ABCD就是一个“格点四边形”. (1)求图中四边形ABCD的面积. (2)在图中的方格纸中画一个格点四边形A'B'CD',使四边 形A'B'CD'与原四边形ABCD关于直线L成轴对称.（点A, B,C,D的对应点分别为A',B,C,D) (3)P为直线l上一点，连接BP,AP,使得BP+AP最小，画 出点P的位置： (4)Q为直线l上一点，连接BQ,CQ,使得|BQ-CQ|最大， 画出点Q的位置. 第21题图