专题13 图形的相似（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦吉林中考“图形的相似”专题，汇编2022-2026年5年真题及1年模拟题，覆盖相似图形概念、相似三角形判定与性质、位似等核心考点，突出高频考点（如相似三角形判定与性质综合5年5考）与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约15题/30分|相似图形概念、性质、位似（如网格位似作图）|基础概念辨析，设置面积比与相似比陷阱题| |解答题|约14题/70分|相似三角形判定与性质综合（结合四边形、圆）、动态几何（如动点与正方形重叠面积）|真题与模拟结合，注重几何与代数综合，体现中考命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13图形的相似 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 吉林考情(2022-2026) 命题规律 考点01相似图形 5年2考；选择、 考查相似图形基本概念；重点记忆相似比，对应 填空小题，分值2-3 线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方；多为 的相关概念及性质 分。 基础概念辨析，很少单独出大题。 考点02相似三角 5年5考；高频必 本模块核心重点；常用判定：AA两角相等、SAS 形的判定与性质综 两边成比例夹角相等；常结合四边形、圆综合出题： 考，填空、解答大题，分 利用相似求线段长、周长、面积；经常和勾股定理搭 合 值4-8分。 配，是几何大题常用解题工具。 考点03相似三角 5年4考；选择、 侧重直接使用性质计算；对应高、中线、角平分 线之比=相似比：面积比=相似比平方：容易混淆 形的性质 填空，分值2-4分。 面积比和相似比，常设置陷阱小题。 5年2考：选择、 两种考法：①网格中作位似图形；②坐标系中位 考点04位似 格点作图，分值2-5 似变换坐标变化规律：注意区分位似中心在原点/在 分。 其他点；位似是特殊的相似，一般难度偏低。 五年真题分类园 考点01相似图形的相关概念及性质 1. (2026吉林.中考真题)如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2,BD=1.以 点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DEBC,则AE= 1/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2025吉林长春.中考真题)将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图方式折叠两次再展开，下列 结论错误的是() 折叠 再折叠 展开 A.MN‖DE‖PQ B.BC=2DE=4MN c.AN-BQ-NQ D.MN=DE_PQ DE PO BC 3.(2023吉林.中考真题)如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE‖BC,交AC于点E.若 AD=2,BD=3,则 C的值是() D B A. 2-5 B月 C. 5 D. 23 考点02相似三角形的判定与性质综合 4.(2025吉林中考真题)如图，在△ABC中，AB=32,BC=5,∠BAC=45°.动点P从点A出 发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动.当点P出发后，以AP为边作正方形APDE, 使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为xs(x>0),正方形APDE与△ABC重叠部分图 形的面积为y(平方单位)· B 备用图 2/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )AC的长为 (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围， 3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出y的值. 5.(2024吉林长春.中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.点D是边BC上的一点（点 D不与点B、C重合)，作射线AD,在射线AD上取点P,使AP=BD,以AP为边作正方形APMN,使 点M和点C在直线AD同侧. P B D (I)当点D是边BC的中点时，求AD的长： (2)当BD=4时，点D到直线AC的距离为 B)连结PV,当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长； 4)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 .(写出一个即可) 6.(2024吉林中考真题)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，点F 是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°，则 C的值为 E 7.(2023吉林长春.中考真题)如图①.在矩形ABCD,AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2 动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边 AD或边DC于点Q,连续PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0) A 0 D AP D BP E B E 图① 图② 3/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 (2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE; 3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由： (4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称 四边形时，直接写出t的取值范围. 8.(2023·吉林.中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4Cm,点O是对角线AC的中点，动点P,Q 分别从点A,B同时出发，点P以1cmS的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线 BC-CD向终点D匀速运动.连接PO并延长交边CD于点M,连接QO并延长交折线DA-AB于点N, 连接PQ,QM,MN,NP,得到四边形PQMN.设点P的运动时间为X(s)(0<x<4),四边形 PQMN的面积为y(cm2) D D M 0 ⊙ P 备用图 (I)BP的长为 cm'CM的长为 (用含x的代数式表示) cm (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. (3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值. 9.（2022吉林长春.中考真题)如图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图， 保留作图痕迹， B B B 图① 图② 图③ 4/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)网格中△ABC的形状是 (②)在图①中确定一点D,连结DB、DC,使△DBC与△ABC全等： 3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E,连结AE,使△ABE一△CBA: 4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P,在边BC上确定一点Q,连结PQ,使△PBQ一△ABC,且相 似比为1：2. 考点3相似三角形的性质 10.(2022·吉林长春.中考真题)如图，在口ABCD中，AB=4,AD=BD=V13,点M为边AB的中点， 动点P从点A出发，沿折线AD-DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于 直线PM的对称点A',连结A'P、A'M.设点P的运动时间为t秒 D B (1)点D到边AB的距离为 (2)用含t的代数式表示线段DP的长： B)连结A'D,当线段A'D最短时，求△DPA'的面积； 4)当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值， 考点04位似 11.(2023·吉林长春.中考真题)如图，△ABC和△ABC是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段 OA上.若OA:AA=1:2,则△ABC和△ABC的周长之比为 5/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一 年模拟练测凤 一、单选题 1.(2026吉林长春·模拟预测)如图，∠ACB=∠CBD=90°，AC=9,CB=6.若△ACB~△CBD 则BD的长是() B 7 A.2 B.3 C.4 D.2 2.(2026吉林长春·二模)如图，一张锐角△ABC纸片，点D,E分别在边AB,AC上，DEBC,沿 DE将△ABC剪成面积相等的两部分，若AD=1,则DB的长度为() B A.1 B.V2-1 c D.2 3.(2026吉林长春模拟预测)如图所示，直线l112‖13，直线l1、12、13对应刻度尺上的刻度读数分别 是5cm、8cm、14cm,若AB=6cm,则AC的长为() B 6 21011213 6/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.6cm B.12cm C.18cm D.24cm 二、填空题 4.(2026吉林长春·模拟预测)如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片ABCD,在墙上形成矩形影子 ABCD,现测得OA=2,AA=3,纸片ABCD的周长为4，则影子ABCD的周长为 A O 灯泡 纸片 C 影子 5.(2026吉林长春.模拟预测)如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠BAD=60°，点E在边AD上，且 AE=2DE,连结CE交对角线BD于点F,连结AF.给出以下四个结论： ①BD=3: ②△ABF≌△CBF; ③AF:EF=3,2; ④△ABF的面积是△CDF的面积的3倍： 上述结论中，正确结论的序号有 D 6.(2026吉林长春·模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D, OD的延长线交AC的延长线于E,OA=1,OE=3.给出下面四个结论： D R ①∠B=∠CAD: ②△EAD一△EDC; 7/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 e0鼎 ④点C是AE的中点. 上述结论中，正确的结论的序号有 7.(2026吉林长春.模拟预测)如图，矩形ABCD的顶点A、B在⊙O上，边BC和⊙O交于点E，边 CD和⊙O相切于点F,AE为⊙O的直径，连接AF、BF、EF,BF和AE交于点G,给出下面四 个结论： B ①点F是边CD的中点： ②AF平分∠EAD; ③AD·EC=AB: ④当AB=AG·AE时，△ABF是等边三角形： 上述结论中，正确结论的序号是 8.(2026吉林长春模拟预测)如图，四边形ABCD为菱形，BF‖AC,DF交AC的延长线于点E,交 BF于点F,且CE:AC=1:2.则下列结论正确的有· ①△ABE≌△ADE;②∠CBE=∠CDF:③DE=FE;④SABCE:S四边形ABD=1:9 D 8/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABCD ,四边形 为菱形， .DO=BO,OE⊥BD, .BD=2OD, BF‖AE, ∴.∠DOE=∠DBF,∠DEO=∠F, .△DOE一△DBF, %限 .DF=2DE. .DF=EF+DE=2DE, .EF=DE,故③正确： .DO=OB,DE=EF, .OE为△DBF的中位线， ..BF=20E, .△DOE一△DBF, .S△DoE= SADBF .SADBF=4SADOE .CE:AC=1:2. ..AC=2CE, ..AO=OC=CE, .SABOA=SABOC=S△BCE=S△ADO, ∴.SADOE=2 SABCE, 9/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026吉林长春：模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,在AC上取一点D, 连结BD,使∠DBC=30°.点P是BD上一动点，连结CP,将△BCP绕着点C顺时针旋转90°得到 △ACQ,连结PQ交AC于点E.给出下面四个结论： ①AD=3-3: ②当BP=BC时，△ABD一△PCE: ③AB=3PQ: ④在点P的运动过程中，CQ的最小值是 上述结论中，正确结论的序号是 0 10. (2026吉林松原三模)如图，在R△ABC中，∠B=90,分别以A,C为圆心，大于分AC的长 为半径画弧，两弧交点的连线分别与AC,BC交于点O,D,AC=4OD,CD=5,则AB的长是 D 三、解答题 11.(2026吉林松原.三模)图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的5×5网格，每个小正方形 的顶点叫格点.点A,B，C均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图.（保留作 图痕迹) 10/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 图3 (I)在图1中的AC上找一点D,使S△ABD=S△DBC; (②)在图2中的AC上找一点E,使SAABE:SAEBC=2:3; 3)在图3中的AC,BC上分别找一点G,H,使SACGH:SAARC=9:16 12.(2026·吉林·二模)综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题， 如图①，已知矩形纸片ABCD,点M在边AB上（不与A,B重合），点N在边BC上（不与B,C重合）· 将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使顶点B落在点B处，点B在长方形内部. N B A M B M B 图① 图② 【图形感知】 I)图①中，∠BMN ∠BMN(填“>”“=”或“<”)： 【作图探究】 (2)在图①中边AD上确定一点G(不与A,D重合)，使得纸片沿着MG折叠后，点A的对应点A刚好落 在射线MB上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G(不写作法，保留作图痕迹)，并求出∠GMN的度数， 【计算探究】 (3)如图②，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点M是边AB的中点，将矩形ABCD沿CM折叠，使顶点B 落在点B处，点F是矩形ABCD边上的动点，将矩形ABCD沿FM折叠，使A顶点落在点A处，当A落在 △CMB的内部时，直接写出CF长度的取值范围. 13.(2026·吉林长春.模拟预测)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4.点P从点C 出发，沿着C-B-A以每秒1个单位的速度向终点A运动，以P为圆心，PC为半径作⊙P,设点P的运 动时间为t(秒). 11/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① 图② 图③ )AB的长为 (②)当⊙P与AB相切时，用无刻度的直尺和圆规在图②确定点P的位置： 3)当t=1时，如图③，M为⊙P上任意一点，连结BM.当∠ABM最大时，求BM的长. 4)当⊙P与△ABC的边有且只有三个公共点时，直接写出t的取值范围 14.(2026吉林长春.模拟预测)解答下列各题 (I)【感知】如图①，AB为⊙O的直径，且AB=10,C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点D,则CD 的最大值为· (直接写出结果) B 图① (②)【探究】如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，点D在△ABC内部， ∠CAB=∠DAE=45°，连结CD、BE.若CD=4,求BE的长. B 图② 以下是小明的部分解答过程，请你补全： 解：：'∠ACB=∠ADE=90°，∠CAB=∠DAE=45°， .∴.∠ABC=∠AED=45°， 在Rt△ABC和Rt△ADE中， AC_AD AB AE =sin45=- 2 2 12/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'∠—+∠DAB=∠—+∠DAB=45o' ∴.∠CAD=—i 又：AC=4D AB AE' .△ACD-’ .CD=AC_ ·BEAB2 .CD=4, ∴BE 3)【应用】如图③，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，∠CAB=∠DAE=30°， 连结CD、BE.若BC=20,CD=24,则AABE面积的最大值为一· B 图③ 15.(2026吉林通化模拟预测)动手操作：如图①，矩形纸片ABCD中，点MN分别是AB、CD边的 中点，连接MN,沿MN剪开该纸片得到矩形AMND与矩形MBCN,其中AM=BM=3, AD=MN=BC=4.保持矩形AMND不动，然后将矩形MBCN从图①的位置开始绕点M逆时针旋转得 到矩形MBCN'(点N的对应点为N'). D(C B 图① 图② 图③ 备用图 推理分析： (I)如图②，当点C与点D重合时，MN'交AD于点E,BC交MN于点F.判断此时四边形MEDF的形状， 13/21 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 并说明理由； (2)如图③，当点B落在矩形AMND的对角线AN上时，线段BC与AD交于点P.求此时四边形AMBP的 面积： 深入探究： 3)设矩形MBCN在旋转过程中，直线N'C与直线DN交于点Q,连接NN'、CD.请直接写出△DCQ是 等边三角形时 CD N,的值. 16.（2026·吉林长春·模拟预测)小慧和小谷同学在研究完华师版八下教材126页14题后，思考了下面的 问题： B 图① 图② I)已知，如图①，△ABC和△ADE是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点E在△ABC内部：根据全 等的知识，我们能够得到BE和CD的数量关系是 【探索】 (2)如图②，将线段BE绕点E逆时针旋转9O°得到EF,连结BF,CF,得到四边形CDEF;求证：四边形 CDEF是平行四边形： 小慧同学给出了一个思考方向，通过证明△BCF一△BAE;得到CF和AE的数量关系，再结合【发现】 中BE和CD的数量关系，可以证明四边形CDEF是平行四边形：下面是小谷的部分证明过程： 'BE绕点E逆时针旋转90°得到EF; .EF=BE,∠BEF=90°； BE=CD: .∴.EF=CD: ,'△ADE是等腰直角三角形且AD=AE: .'DE=2AE; .'△ABC和△BEF是等腰直角三角形： .BC=BF=2,∠ABC=∠EBF: ·ABBE 14121 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 请你补全证明过程： 【拓展】 3)当四边形CDEF是矩形时，∠AEB= 度： (4)当四边形CDEF是正方形时，tan∠EAB= 17.(2026·吉林长春.模拟预测)如图①，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,连结AC.点0为射线CB 上一动点（与C不重合），以O为圆心，OC长为半径作圆，交射线CB于点Q. D D B B 图① 图② (I)求线段AC的长： (②)当点A在⊙O上时，求线段OC的长： 3)如图②，连结OD,将△ODC沿OD折叠，得到△ODP,连结BP,OP. ①当BP取最小值时，OC的长为，此时⊙O与BD的位置关系是： ②当△OBP为直角三角形时，直接写出线段OC的长. 4 18.(2026:吉林长春·模拟预测)如图1，在△ABC中，AC=AB=5,sinA=行点P是边AC上一点， 连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转得到线段DP,且∠BPD=∠A,分别连接CD、BD, D A 图1 图2 ()BC= (2)证明△APB一△CDB: 3)如图2，连接AD,当AD⊥BC时，求AP的长； 15/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)当点P、点D其中一点到BC的距离等于另一点到BC的距离的2倍时，直接写出AP的长. 19.(2026吉林长春·三模)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,动点P和Q 分别从点A和点C同时出发，点P沿AC方向以每秒ICm的速度运动，点Q沿C→B→A的路线以每秒 2cm的速度运动，设点P的运动时间为tS,连接PQ,在PQ的右侧（下方）以PQ为斜边构造等腰直角三 角形PQD D 图① 图② ①)AB的长为 cm: (②)当点D和点C重合时，求AP的长； (3)①在图②中尺规作图，作∠BAC的平分线且与BC边相交于点E(保留作图痕迹，不写作图过程)： ②当点D在∠BAC的平分线AE上时，求t的值： (4)当点D在△ABC内部时（不包括△ABC的顶点），直接写出t的取值范围. 20.(2026吉林通化模拟预测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6.点P从点A出发， 沿折线AB-BC以每秒4个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CB-BA以每秒3 个单位长度的速度向点A运动.当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动，当点P不与点B、Q重合时， 作点B关于直线PQ的对称点E,连接EP,EQ.设点P的运动时间为t秒(t>O), B 1)线段PQ= (用含t的代数式表示)： (2)当点E落在AC上时，求t的值： (3)当点P在AB上运动时，△PEQ与△ABC重叠部分图形的周长记为C,求C与t的函数关系式 21.(2026吉林长春·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6Cm,BC=8Cm,对角线AC与BD交于点O, 点P从点A出发，沿对角线AC向点C以每秒1cm的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段BA向点A以 16/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 每秒lCm的速度移动.P、Q两点有一点到达终点时全部停止移动.连接PQ,设点P移动时间为t秒，回 答下列问题： P 备用图 (I)当△APQ一△ABC时，求t的值： (②)点P到AB的距离是·（用含t的代数式表示）； 3)当t为何值时，以O、P、Q、B为顶点的四边形的面积等于11cm2? (4)以点Q为圆心，QB长为半径作⊙Q.在运动过程中，是否存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共 点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由. 22.(2026吉林长春·模拟预测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,点P是边AB上 的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PO⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为直径作⊙O,⊙O与边 AC的另一个交点为点R,连接PR B (备用图) I)ㄥPRQ= 0； (2)当⊙O与直线BC相切时. ①求PQ的长： ②连接0B:线段OB交OO于点D:则PD的长为 3)若⊙O与边BC有两个交点，设这两个交点为M、N.当QR>MN时，直接写出PQ的取值范围 23.(2026吉林长春模拟预测)如图，在△ABC中，AC=8V2,BC=12,∠C=45°，点P从点A出 发，以每秒V2个单位的速度向终点C运动，连接BP,点Q是BP的中点，以PQ为边作正方形PQMN,使 点M和点C在直线PQ同侧. 17/21 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B @)PC= (用含，的代数式表示) (②)当BP⊥AC时，求t的值： (3)当点N落在BC上时，求t的值； (4)当点N到直线BC的距离与点Q到直线BC的距离相等时，t的值为 24.(2026吉林长春.一模)如图，在口ABCD中，AB=2,BC=42,∠B=45°.点P为边BC上一 动点，连结AP,将线段AP绕点P顺时针旋转45°得到线段PQ,连结AQ, 1)当PQ‖AB时，求BP的长 Q)尺规作图：用圆规和无刻度的直尺，在图中边AD上作点E,连结CE,使CE=CD.(不写作法，保留 作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑) 3)在(2)的条件下，当点C、E、Q三点在同一条直线上时，求BP的长 (4)在(2)的条件下，当点P到直线CE的距离是点Q到直线CE距离的2倍时，直接写出BP的长， 25.(2026·吉林长春模拟预测)【问题呈现】小明遇到这样一个问题：如图①，在矩形ABCD中， AB3D-32点PQ分别是边AD、BC上的动点，且S-连接R、Q,将边形PDC0 直线PQ翻折，得到四边形PDCQ.连接AC,求线段AC长度的最小值. 【问题解决】如图②，连接BD交PQ于点E,小明利用△PDE一△QBE,发现点E为定点，由CE=CE 可确定点C的运动轨迹.以下是小明的证明过程： 证明：连接BD、CE、CE, 证明过程缺失 ∴.△PDE一△QBE 18/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·DE=DP ·BEBQ 由翻折，得CE=CE, 点C在以点 为圆心，CE长为半径的圆弧上运动. 图① 图② 图③ 请完成下列问题： ①)补全上述证明过程及填空： (2)线段CE的长度为 ,线段AC长度的最小值为 3)【拓展应用】在【问题呈现】的条件下，如图③，点M是边AB上任意一点，连接DM,CM,则 DM+CM的最小值为 26.(2026·吉林长春·模拟预测)问题探究 D D M B 图① 图② (1)如图①，在Rt△ABC中，AC⊥BC,AC=4,BC=6,P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PCA=∠PBC (i)求证：∠P=90°： (ⅱ)用圆规和无刻度的直尺，在图①中作出点P的运动轨迹：（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必 须用黑色的签字笔描黑) (ii)线段AP的最小值为 问题解决 (②)如图②，某学校规划一块矩形劳动实践基地ABCD,用于班级种植，EF是两个工具房，分别在 AB,CD边上，且CF=2BE,沿EF铺设一条运送通道，再从点A铺设一条垂直于EF的小路AM,在点 19/21 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M处修一个肥料存放点，点C处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点M处获取肥 料，需要沿CM铺设一条小路，要求CM尽可能的短，已知AB=8Om,BC=60m.直接写出CM的最小值. (工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计) 27,2026吉林长春：模拟预测如图，△ABC中，AB=BC=12,osB名，点D是BC的中点.点P 在边AB上（点P不与A、B重合），连接DP,作点B关于直线DP的对称点B,连接BP. C (1)点D到AB的距离为 (②)当点B与点C重合时，求线段AP的长： 3)当点B落在△ABC的内部时，连接BA,求线段BA的长度范围： (4)当PB‖AC时，直接写出线段BP的长， 28.(2026吉林长春模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC=4/5cm,BC=16cm,AD⊥BC于 点D,点E从B点出发，沿着射线BC运动，速度为4Cms,点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动， 速度为5cms,设它们运动的时间为ts,当F点到达B点时，E点也停止运动. E 0 备用图 (I)用含t的代数式表示CE的长： (2)求t为何值时，△EF℃和△ACD相似； (3)设△EFC的面积为S,求S与t的函数关系式. 29.(2026吉林.二模)如图，△ABC中，∠B=45°，BC=7,AD⊥BC于点D,AD=4,点E为AB 的中点，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA一AC的路线向终点C运动.连结PE,将 PE绕点P逆时针旋转90°得到PF,连结EF,设点P的运动时间为ts. 20121 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D I)填空：CD= AC= 2)当EP‖BC时，求EP的长， 3)当点F落在边BC上时，求t的值 (4)当点P在线段DA上，PF的中点落在△ABC的边上时，直接写出所有满足条件的t值. 21/21函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13图形的相似 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01相似图形的相关概念及性质 1.4 2.D 3.A 考点02相似三角形的判定与性质综合 4.(1)7 1x,0<x≤3 骨x71n53s7 ey-g 5.(1)4 唱 吗 25 25 (4 6 7.(1)13 119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3) 解：如图所示，过点P作PH⊥BC于点H, A P D 1 23 BH E 图② ,∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°， ∴.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 则四边形ABHP是矩形， ∴·PH=AB=3 又.EC=BC-BE=5-2=3 .PH=EC, ∴·△PHE≌ECQ ∴.PE=QE ∴△PQE是等腰直角三角形： ④0<t59-35威=1威=7 2 6 8.(1)4-x;x 2)y=4x2-12x+1610<x≤2 -4x+162<x≤4 x-域x号 3 9.(1)直角三角形 (2) 点D即为所求作，使△DBC与△ABC全等： 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (3) 如图所示，点E即为所作，且使△ABE一△CBA: A ⊙ E (4) 如图，点P,Q即为所求，使得△PBQ~△ABC,且相似比为1：2. B 考点03相似三角形的性质 10.(1)3 2)当0s1时，Dp=/13-/13t;当1≤2时，PD=V13t-13: 6号 3/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04位似 11.1:3 一年模拟练测园 1.c 2.B 3.C 4.10 5.①②④ 6.①②④ 7.①②④ 8. ①②③ 9.①②④ 10.4 11.(1)见解析 (2)见解析 3)见解析 12.1)= (2)如图所示，点G即为所求： D G、H NㄥGMN=90° M B 6)R13<CF<13 13.(1)5 (2)作∠A的平分线交BC于点P,如下图 419 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)BM=2V2 4=1.5或2或4<t<9 14.(1)5 ②)CAD:BAE:∠BAE:△ABE4V2 3)320V3 15.(1)四边形MEDF是菱形.理由如下： ,四边形AMND和四边形MBCN'是矩形，且点C、D重合， ∴.AD‖NM,MN'‖BD,即ME‖DF,MF‖ED, ∴四边形MEDF是平行四边形， ,四边形AMND和四边形MBCN'是矩形， .∴.∠A=∠B=∠BMN'=∠AMN=90°， ∴.∠AME=∠AMN-∠EMF,'∠BMF=∠BMN'-∠EMF,即∠AME=∠BMF, 在△AME和△BMF中， ∠A=∠B ∠AME=∠BMF AM=BM '.△AME≌△BMF(ASA), ∴.ME=MF, ∴.四边形MEDF是菱形 e2> 4 6)4-3或4+3 4 4 16.(1)相等 ②)·∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE=45' 519 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠ABE=∠CBF, .△ABE~△CBF, AR E ..CF=V2AE, ..DE=CF, .四边形CDEF是平行四边形； (3)135° 时 17.(1)5 R25 6 e0导相切：②号216-47政4破16+48吃 31 3 3 18.1)2/5 (2)证明：根据旋转可得：BP=DP, 设∠BPD=∠A=Q, 则∠BDP=∠PBD=号|180-a=90- .AB=AC, ∠ABc=∠AcB=l80-a=90-. .∠ABC=∠PBD, ∴.∠ABC-∠PBC=∠PBD-∠PBC, 即∠ABP=∠CBD, .△PBD一△ABC, PB=DB AB BC DB_BC BP AB .∠ABP=∠CBD, .△APB△CDB: 6/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 83 6 莞号 19.(1)10 唱 (8)0作图见解析：② 3 9 10-5t(0<t<2 20. 5t-102<ts 3 2t=1或24 3)c= 20-8t(0<t≤1 24-12t(1<t<2 21.t-4 e)4t 6=3-26威r=15 2 22 ④存在，t=8。 3<告5s6 6 6 22.1)90 @nP0 ②3r 11 23. a)8V2-92t (2)2 (3)4 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)2或5 24.1)V/2 (2)见解析 3)49V2-2 045-4成42青 25.(1) E ②)/63-V6 3)51-V6 26.(1)(i)见解析：(i)见解析；(ii)2 210/97-50m 27.1)V17 4 3)2V15-6≤BA<2V3 ④6+2V5或6-23 28.1)当0≤t≤4时，CE=16-4t;当4<t≤8时，CE=4t-16 Qr=32或8 133 )s= -2t+8t(0≤t<4) -2t2+24t-64(4<t≤8) 29.1)3;5 a2或号 ®25安9， 159, 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 919 专题13 图形的相似 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01相似图形的相关概念及性质 5 年 2 考；选择、填空小题，分值 23 分。 考查相似图形基本概念；重点记忆相似比，对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方；多为基础概念辨析，很少单独出大题。 考点02 相似三角形的判定与性质综合 5 年 5 考；高频必考，填空、解答大题，分值 48 分。 本模块核心重点；常用判定：AA 两角相等、SAS 两边成比例夹角相等；常结合四边形、圆综合出题；利用相似求线段长、周长、面积；经常和勾股定理搭配，是几何大题常用解题工具。 考点03 相似三角形的性质 5 年 4 考；选择、填空，分值 24 分。 侧重直接使用性质计算；对应高、中线、角平分线之比 = 相似比；面积比 = 相似比平方；容易混淆面积比和相似比，常设置陷阱小题。 考点04 位似 5 年 2 考；选择、格点作图，分值 25 分。 两种考法：①网格中作位似图形；②坐标系中位似变换坐标变化规律；注意区分位似中心在原点 / 在其他点；位似是特殊的相似，一般难度偏低。 考点01 相似图形的相关概念及性质 1．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 2．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 考点02 相似三角形的判定与性质综合 4．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 5．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知： ， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 6．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 7．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）略 （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则， ， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 8．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）   　　   (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出，可得四边形是平行四边形，证明即可； （2）分，两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；． （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，   ，解得， 当四边形是菱形时，则，即，解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】(1)直角三角形 (2) 点D即为所求作，使与全等： (3) 如图所示，点E即为所作，且使： (4) 如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2． 【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论； （2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等： （3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知： （4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】（1）∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 考点03 相似三角形的性质 10．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)连结，当线段最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； (3) (4)或 【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解； （2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解； （3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解； （4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DM， ∵AB=4，，点M为边的中点， ∴AM=BM=2，DM⊥AB， ∴， 即点D到边的距离为3； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上， ； 当1＜t≤2时，点P在BD边上，； 综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； （3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E， ∵作点A关于直线的对称点， ∴A′M=AM=2， ∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， ∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上， ∴， 根据题意得：，， 由（1）得：DM⊥AB， ∵PE⊥DM， ∴PE∥AB， ∴△PDE∽△ADM， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴； （4）解：如图， 当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上， 连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM， ∵AB为直径， ∴∠A =90°，即A A′⊥A′B， ∴PM∥A′B， ∴∠PMF=∠AB A′， 过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N， 在中，AB∥DC， ∵DM⊥AB， ∴DM∥CN， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∴CN=DM=3，MN=CD=4， ∴CM=5， ∴， ∵ M=2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即PF=3FM， ∵，， ∴， ∴，即AF=2FM， ∵AM=2， ∴， ∴，解得：； 如图，当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，， 过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T， 同理：， ∵HK⊥AB，， ∴HK∥A′′G′， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即MT=3PT， ∵，， ∴， ∴， ∵MT+BT=BM=2， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题． 考点04 位似 11．（2023·吉林长春·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．      【答案】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 一、单选题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 2．（2026·吉林长春·二模）如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明，再根据“沿将剪成面积相等的两部分”可得，进而即可求出的值，根据得出，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴的面积是原面积的一半， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，可以求出，，根据平行线分线段成比例定理即可求出的长度． 【详解】解：如图所示， 直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ，， ， ， ， ， ． 二、填空题 4．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明 ，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在菱形中，，，点在边上，且，连结交对角线于点，连结．给出以下四个结论： ①； ②； ③； ④的面积是的面积的倍； 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】利用菱形的性质得到，，结合推出是等边三角形，可判断①；利用全等三角形的判定证明，可判断②；利用全等三角形的性质得到，通过证明得到，得出，可判断③；由得到，再利用全等三角形的性质可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ，故①正确； ，，， ，故②正确； ， ，， ， 解得：， ∵在菱形中，，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确结论的是①②④． 6．（2026·吉林长春·模拟预测）如图， 中，，以AB为直径的交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，， ．给出下面四个结论： ①； ② ； ③； ④点C是AE的中点． 上述结论中，正确的结论的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】根据余角的性质证明即可判断①；证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可判断②④；根据，得出，证明，得出，即可判断③ 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，故③错误； ∵， ∴； ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 7．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，矩形的顶点 、在上，边和交于点 ，边和相切于点 ，为的直径，连接 、 、 ， 和交于点 ，给出下面四个结论： ①点是边的中点； ②平分 ； ③； ④当时，是等边三角形； 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】连接，根据切线的性质及矩形性质证明，结合为中点利用平行线分线段成比例定理判断①；由得，由平行线的性质及等量代换可判断②；利用及相似三角形对应边成比例计算判断③；利用相似三角形判定及性质证明，结合垂径定理及特殊角三角函数值判断④． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点 ， ， 四边形是矩形， ， ∴， ∴， 为的直径， 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 为的中点，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ， 即平分 ，故②正确； 为直径， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，③故错误； ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ，即， ∵是直径， ∴垂直平分， ， 在 中，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，四边形为菱形，，交的延长线于点E，交于点F，且．则下列结论正确的有_____． ①；②；③；④． 【答案】 ①②③ 【分析】由四边形为菱形，可得，可证可判定①；由，可得，由四边形为菱形，可得，利用等角之差，可判定②；连接交于O，四边形为菱形，可得，可证，可证，可判定③；根据为的中位线，易证，可得，由．可得，可求可判定④． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴在和中， ， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，故②正确； 连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④不正确． 综上，正确的有①②③． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】根据正切函数的定义求出的长，进而求出的长即可判断①；当时，利用旋转的性质和等腰三角形的性质求出相关角的度数，利用两角对应相等证明三角形相似即可判断②；根据旋转的性质和勾股定理表示出和，结合点的运动状态判断③；根据垂线段最短求出的最小值，进而得到的最小值即可判断④． 【详解】解：①在中， ，故①正确； ②当时，为等腰三角形 由旋转的性质可知 为等腰直角三角形 在中， ，故②正确； ③由旋转的性质可知 在中， 是上一动点，的长度不确定 不一定成立，故③错误； ④由旋转的性质可知当时，最短，即最短在中， 的最小值是， 故正确故答案为①②④ 10．（2026·吉林松原·三模）如图，在Rt中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于点，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，垂直平分线的定义，解题的关键是由作图可得，是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，根据勾股定理，求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，，求出，即可解答． 【详解】解：由作图可得，是线段的垂直平分线， ∴是的中点， ∴，， ∵， ∴设， ∴， ∴， 在Rt中，，且， ∴， ， 解得：（负值舍去）， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 三、解答题 11．（2026·吉林松原·三模）图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中的上找一点，使； (2)在图2中的上找一点，使； (3)在图3中的上分别找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）观察网格，可看出正方形的对角线，作正方形的另一条对角线，可确定的中点，连接，则点为所求点； （2）观察网格，可构造一组相似比为的“”字模型的相似三角形，相似三角形的交点即为所求点； （3）观察网格，四边形，证得，利用面积之比是相似比的平方，可确定所求点的位置． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； 将看作正方形的对角线，作另一条对角线与相交于点， ∵正方形对角线互相平分， ∴， 根据中线的性质可得：； （2）解：如图2，点即为所求； 根据网格图可知，， 且， ∴； （3）解：如图3，点，即为所求． 根据网格图可知,， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ． 12．（2026·吉林·二模）综合与实践课上，同学们探究矩形纸片的折叠问题． 如图①，已知矩形纸片，点在边上（不与，重合），点在边上（不与，重合）．将矩形纸片沿直线折叠，使顶点落在点处，点在长方形内部． 【图形感知】 (1)图①中，____________（填“”“”或“”）； 【作图探究】 (2)在图①中边上确定一点（不与，重合），使得纸片沿着折叠后，点的对应点刚好落在射线上，请用无刻度直尺和圆规作出该点（不写作法，保留作图痕迹），并求出的度数． 【计算探究】 (3)如图②，矩形中，，，点是边的中点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，点是矩形边上的动点，将矩形沿折叠，使顶点落在点处，当落在的内部时，直接写出长度的取值范围． 【答案】(1) (2)如图所示，点即为所求； ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质即可求解； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线交于点，则点为所求； （3）根据情况一：当点在线段上时，且点和点重合时，点开始落在的内部，至情况二：点在线段上，且点在线段上时为止，为所求的点落在的内部的线段的取值范围，据此求得这两种情况下的的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，由折叠性质可得：； （2）解：由尺规作图可知：， 纸片沿折叠，点的对应点刚好落在射线上， ，， ， ，即； （3）解：如图，情况一，当点在上时，且点和点重合时，此时，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ， 如图，情况二，当点在上，且点在线段上时，此时，，，过点作交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， 的最小值为，最大值为， 落在的内部， ． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，在中，．点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，以为圆心，为半径作，设点的运动时间为（秒）． (1)的长为______； (2)当与相切时，用无刻度的直尺和圆规在图②确定点的位置； (3)当时，如图③，为上任意一点，连结．当最大时，求的长． (4)当与的边有且只有三个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2)作的平分线交于点P，如下图 (3) (4)或2或 【分析】（1）运用勾股定理即可求出； （2）用尺规作图方式，作的平分线交于点P，以点P为圆心，为半径作，与相切； （3）点为上任意一点，在外部，与相切时，最大，同时也最大，运用勾股定理，即可求出； （4）与的边有且只有三个公共点,一共有三种情况，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中， ． （2）略 （3）解：在外部，与相切时，最大，同时也最大，如下图 ，， ． （4）解：当与的边有且只有三个公共点时，共有三种情况，分类讨论如下 ①与相切于点D，即，如下图 ，， ，即 ，由（1）得， 解得，即； ②为直径，点P在中点，如下图 ，即； ③当点P在斜边上时，只要点P不与点A、点B重合，两个直角边不与相切，就有两个交点，且与有一个交点，如下图    综上所述，或2或． 14．（2026·吉林长春·模拟预测）解答下列各题 (1)【感知】如图①，为的直径，且，为上一点，过点作于点，则的最大值为_____．（直接写出结果） (2)【探究】如图②，在和中，，点在内部，，连结．若，求的长． 以下是小明的部分解答过程，请你补全： 解：，， ， ∴在和中，． __________， _____． 又， _____， ． ， _____． (3)【应用】如图③，在和中，，，连结、．若，，则面积的最大值为_____． 【答案】(1)5 (2)；；；； (3) 【分析】（1）根据圆的性质，圆上的点到直径的最大距离等于圆的半径，即可求出的最大值； （2）先根据已知条件证明与相似，再结合相似三角形的性质求出的长度； （3）先根据已知条件证明与相似，再结合相似三角形的性质求出的长度，最后根据三角形面积公式分析出面积最大时的情况并计算其最大值． 【详解】（1）解：已知为的直径， ，所以圆的半径为， ，是圆上的点到直径的垂线段， 根据圆的性质，圆上的点到直径的最大距离等于圆的半径， 所以点与点重合时， 取得最大值，最大值为； （2）略； （3）解：在中：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，的面积最大， ∴最大面积额为：． 面积最大值为． 15．（2026·吉林通化·模拟预测）动手操作：如图①，矩形纸片中，点M、N分别是、边的中点，连接，沿剪开该纸片得到矩形与矩形，其中，．保持矩形不动，然后将矩形从图①的位置开始绕点M逆时针旋转得到矩形（点N的对应点为）． 推理分析： (1)如图②，当点C与点D重合时，交于点E，交于点F．判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)如图③，当点B落在矩形的对角线上时，线段与交于点P．求此时四边形的面积； 深入探究： (3)设矩形在旋转过程中，直线与直线交于点Q，连接、．请直接写出是等边三角形时的值． 【答案】(1)四边形是菱形．理由如下： ∵四边形和四边形是矩形，且点C、D重合， ，，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形是矩形， ， ，，即， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形． (2) (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得四边形是菱形； （2）连接交于点，先证明垂直平分，即，再证明，可得，再利用即可求解； （3）分矩形逆时针旋转和顺时针旋转进行讨论，先证明是等边三角形，在中可求得，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当矩形逆时针旋转时，过点作， ∵是等边三角形， ∴，， 由题意可知，， ∴在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图，当矩形顺时针旋转时， 同理可得是等边三角形，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 16．（2026·吉林长春·模拟预测）小慧和小谷同学在研究完华师版八下教材126页14题后，思考了下面的问题： (1)已知，如图①，和是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点E在内部：根据全等的知识，我们能够得到和的数量关系是________； 【探索】 (2)如图②，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，，得到四边形；求证：四边形是平行四边形； 小慧同学给出了一个思考方向，通过证明；得到和的数量关系，再结合【发现】中和的数量关系，可以证明四边形是平行四边形；下面是小谷的部分证明过程： 绕点E逆时针旋转90°得到EF； ，； ； ； 是等腰直角三角形且； ； 和是等腰直角三角形； ，； …… 请你补全证明过程： 【拓展】 (3)当四边形是矩形时，________度； (4)当四边形是正方形时，________； 【答案】(1)相等 (2)∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (3) (4) 【分析】（1）根据旋转全等模型证明， （2）根据等腰直角三角形性质可得：，，再利用旋转相似模型证明，可得，进而可得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （3）当四边形是矩形时，，根据周角的定义可得，由此即可求解； （4）当四边形是正方形时，，，由此可得，，延长交于点，由此求出，进而可得． 【详解】（1）解：和的数量关系是相等； ∵和是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：绕点E逆时针旋转得到； ，； ； ； 是等腰直角三角形且； ； 和是等腰直角三角形； ，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）当四边形是矩形时，， 又和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， （4）当四边形是正方形时，，， 由（3）可得：， 由（2）可得：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交于点， 由（3）可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题核心在于利用“共顶点等腰直角三角形”的旋转相似模型．解题关键在于发现 ，从而得出线段比例关系 ，结合已知条件 及旋转性质，即可证得平行四边形．后续问题均基于此模型延伸：当四边形为矩形或正方形时，利用周角定义求出 ，并构造直角三角形，通过边长比例关系最终求得 ． 17．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，在矩形中，，，连结．点O为射线上一动点（与C不重合），以O为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q． (1)求线段的长； (2)当点A在上时，求线段的长； (3)如图②，连结，将沿折叠，得到，连结． ①当取最小值时，的长为______，此时与的位置关系是______； ②当为直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)5 (2) (3)①，相切；②或或4或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由条件可知当点A在上时，满足，据此借助勾股定理列方程即可求解； （3）①结合构成三角形的条件可得当三点共线时，取得最小值，进而可知与相切；然后由可求出； ②当为直角三角形时，由于直角顶点不确定，因此需要分三种情况进行讨论． 【详解】（1）解： 四边形为矩形，， ，． 在 中，，，由勾股定理，得 ； （2）解：如图1，连接，则 ，． 在 中，由勾股定理，得， ， 解得 ， 线段的长为 ； （3）① 解：，BD与相切．理由： 由沿折叠得到， ， ，． 如图2，连接． 四边形为矩形， ． 由三角形三边关系，可知． 当三点共线时，取得最小值1，如图3所示， 此时，故与相切． 在和中， ． ，即 ， 解得 ， ； ② 解：当为直角三角形时， 的值为或或4或． 理由：设 ，分三种情况讨论： ①当时，由①结论可知； ②当时， 如图4，此时点P在边上，点O在边上， 在中，， ． 在中，，，由勾股定理，得 ，解得． ； 如图5，此时点P在边的延长线上，点O在边的延长线上， 同图4的解题方法可知此时． 在中，，，由勾股定理，得 ，解得． ； ③当时，如图6． ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ． 综上，线段的长为或或4或. 【点睛】在动态问题中，说明一个三角形是直角三角形通常有两种方法，一种是利用勾股定理；另一种是利用相似．对于本题，同学们可以尝试一下哪种情况可以利用相似来求解． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）如图1，在中，，．点是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且，分别连接、．    (1)________； (2)证明； (3)如图2，连接，当时，求的长； (4)当点、点其中一点到的距离等于另一点到的距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：根据旋转可得：， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)或 【分析】（1）过点C作于点F，解直角三角形得出，根据勾股定理先求出，再求出； （2）先证明，得出，从而得出，根据两边对应成比例且夹角相等即可证明； （3）设与交于点H，根据等腰三角形的性质得出，根据，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据相似三角形的性质得出，求出结果即可； （4）分两种情况：当点到的距离等于点D到的距离的2倍时，当点D到的距离等于点P到的距离的2倍时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作于点F，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设与交于点H，如图所示： ∵，， ∴，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：当点到的距离等于点D到的距离的2倍时，过点D作于点H，过点P作于点Q，过点A作于点F，如图所示： 则，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 当点D到的距离等于点P到的距离的2倍时，过点D作于点H，过点P作于点Q，过点A作于点F，如图所示： 则，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上，或． 19．（2026·吉林长春·三模）如图①，在中，，，，动点和分别从点和点同时出发，点沿方向以每秒的速度运动，点沿的路线以每秒的速度运动，设点的运动时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为________； (2)当点和点重合时，求的长； (3)①在图②中尺规作图，作的平分线且与边相交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②当点在的平分线上时，求的值； (4)当点在内部时（不包括的顶点），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①作图见解析；② (4) 【分析】（1）利用勾股定理运算即可； （2）由题意可得，，再由，结合等腰三角形的性质列式运算即可； （3）①根据角平分线的作法直接作图即可； ②过点作于点，于点，证明和，由全等的性质证明，用含的式子表达和，再代入运算即可； （4）利用相似三角形的比值关系，求出点在上和点在上时的值，即可得到点在内部时，的取值范围． 【详解】（1）∵， ，， ∴在中，； （2）解：当点和点重合时，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）①由题意作图可得： ②当点在射线上时，过点作于点，于点，如图所示： ∵为的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点在射线上时，的值为． （4）解：当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（3）可得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，如图所示： 由题意得：， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当点在内部时，的取值范围为：． 20．（2026·吉林通化·模拟预测）如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点、同时停止运动，当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接，．设点的运动时间为秒（）． (1)线段________（用含的代数式表示）； (2)当点落在上时，求的值； (3)当点在上运动时，与重叠部分图形的周长记为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点、的运动速度和运动方向可知当秒时，点、同时到达点，当秒时，点到达点停止运动，应分和两种情况求出的长度； （2）分和两种情况求出的值； （3）点在线段上运动时，，当时，点在外部，当时，点在内部，所以应分两种情况求出重叠部分图形的周长． 【详解】（1）解：点从点出发运动到点需要的时间是秒，点从点出发运动到点需要的时间是秒， ， 当运动秒时，点到达点，、两点停止运动，当秒时，点、同时到达点， 当时， 可得：，， ； 当时， 可得：，， ； 综上所述，； （2）解：如下图所示，当时， ，，，， ， 又， ， ∴ 当点关于直线的对称点落在上时， 可得：，, ， 是的中位线， ， ， 解得：； 如下图所示，当时， ，，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 同理可证， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：，（不符合题意舍去）； 综上所述，当或时，点落在上； （3）解：点在线段上运动时，， 当时，如下图所示， 过点作于点，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ， ，， ， ， 同理可得：， ， ， 重合部分的周长是； 当时，如下图所示， 重合部分为， 重合部分的周长为； 综上所述，． 21．（2026·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点从点出发，沿对角线向点以每秒的速度移动；同时点从点出发，沿线段向点以每秒的速度移动．、两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点移动时间为秒，回答下列问题： (1)当时，求的值； (2)点到的距离是_____．（用含的代数式表示）； (3)当为何值时，以、、、为顶点的四边形的面积等于？ (4)以点为圆心，长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)存在，或或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆与直线的位置关系以及动点和面积问题． （1）利用勾股定理求,再利用相似三角形的判定建立比例关系； （2）通过作，得到，再利用三角形相似的性质，求得； （3）根据矩形的性质以及三角形的面积比关系得到关于的一元二次方程和一元一次方程进行求解； （4）分析与矩形对角线的位置关系，再利用相似三角形建立比例关系，求得的取值范围． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得：； （2）如图：过点作于点，则， ， ， 即， ； （3）当点在线段上时，如图，连接， ， 根据矩形的性质可得：， ， ， ，则 解得：（舍去），， 还当点在线段上时，如图： 作，，四边形的面积 ， 解得：， 综上所述，以、、、为顶点的四边形的面积等于时，或； （4）存在，理由如下： 如图，作，为垂足， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有四个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，经过点，与矩形的对角线有二个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 故存在与矩形的对角线有三个公共点， ，， ， ，即， 解得：， 如图：作，为垂足， 同理可得，， 点的运动速度为每秒， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 或或． 22．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的动点（点不与点、重合），过点作，交边于点，以为直径作，与边的另一个交点为点，连接． (1)________； (2)当与直线相切时． ①求的长； ②连接，线段交于点，则的长为________； (3)若与边有两个交点，设这两个交点为、．当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角可得； （2）①由圆与直线相切得圆心到直线距离等于半径，结合矩形性质、相似三角形表示线段长，列方程即可求出；②通过正方形判定得到圆心角度数，利用弧长公式计算弧长即可； （3）先根据圆与线段有两个交点，得出圆心到线段距离小于半径，求出的下限；再利用相似三角形表示，垂径定理结合勾股定理表示弦长，令求出的上限，结合不等关系确定最终取值范围即可． 【详解】（1）解：； ∵是的直径， ∴； （2）解：①如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设， ∴，， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； ②如图，连接，线段交于点， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的直径， ∴的半径为， ∴的长为； （3）解：的取值范围为． 与边有两个交点，这两个交点为、，连接，， 过点作，垂足为， 设，则， ∵，，， 同上可证明四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 圆与线段有个交点，需圆心到距离半径，即， ∴， 解得，即； 在中，， ∵，∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（，超出范围舍去）， 即当时，， 当时，，故时； 综上，的取值范围为． 23．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，连接，点是的中点，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)________．（用含的代数式表示） (2)当时，求的值； (3)当点落在上时，求的值； (4)当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为________． 【答案】(1) (2)2 (3)4 (4)2或5 【分析】（1）根据即可解答； （2）当时，易得，再利用勾股定理求解即可； （3）过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，，易证可得，；再证明可得，，进而得到即可确定时间t； （4）分点N在上方和下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴， ∴； （2）解：如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，即， ∵， ∴，即， 解得：或， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动，， ∴， ∴． （3）解：如图：过B作于H，过Q作于E，过N作于F，即，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ，解得：， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． （4）解：如图，当点N在上方时，过作于J，过作于K，则；连接，设交于G， ∵点到直线的距离与点到直线的距离相等， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，点N和点G重合， 由（2）当时，， ∴当时，点到直线的距离与点到直线的距离相等； 如图：当点N在边下方时，分别过点Q、P、N作的垂线，垂足分别为F、G、L，与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度向终点运动， ∴． 综上，当点到直线的距离与点到直线的距离相等时，的值为2或5． 24．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，，，．点为边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． (1)当时，求的长． (2)尺规作图：用圆规和无刻度的直尺，在图中边上作点，连结，使．（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） (3)在（2）的条件下，当点、、三点在同一条直线上时，求的长． (4)在（2）的条件下，当点到直线的距离是点到直线距离的倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或 【分析】1）先推导出，得到，则，即可解答； （2）根据尺规作图，作线段等于已知线段，即可解答； （3）先推导出，，得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，得到，当C，E，Q三点在同一条直线上时，推导出，继而证明出，得到，则，即可解答； （4）过点作于点，于点，过点作于点，延长交所在直线于点，分类讨论：①当点P、Q都在左侧时，②当点P、Q在异侧时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：如图 ， ， 又， ， ； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：由题意，得， ． 在中，， ． ∵， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ． 当C，E，Q三点在同一条直线上时，如图 ， ， ， ， ， ， ； （4）解：过点作于点，于点，过点作于点，延长交所在直线于点， ①当点P、Q都在左侧时，如图，连接， ， 四边形MNQF是矩形，， ， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； ②当点P、Q在异侧时，如图 同理可得， ， 同理可得四边形是矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 综上所述，为或． 25．（2026·吉林长春·模拟预测）【问题呈现】小明遇到这样一个问题：如图①，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且．连接、，将四边形沿直线翻折，得到四边形．连接，求线段长度的最小值． 【问题解决】如图②，连接交于点，小明利用，发现点为定点，由可确定点的运动轨迹．以下是小明的证明过程： 证明：连接、、， ， ________． 由翻折，得， 点在以点________为圆心，长为半径的圆弧上运动． 请完成下列问题： (1)补全上述证明过程及填空： (2)线段的长度为________，线段长度的最小值为________； (3)【拓展应用】在【问题呈现】的条件下，如图③，点是边上任意一点，连接，，则的最小值为________． 【答案】(1) ；； (2)； (3) 【分析】（1）利用矩形的性质证明，直接可得的比值；由翻折性质得，所以到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，确定圆心； （2）利用勾股定理求出长，进而求出长，过点C作于点，利用“等面积法”求出点G和点E重合，从而求出长；过点A作于点H，利用“等面积法”求出长，利用勾股定理求出长，当A、、E三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）作点D关于的对称点，则，进而得到，连接，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，过点E作于点N，证明，则，进而求出、长，利用勾股定理求出长，从而求出的最小值． 【详解】（1）证明：连接、、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由翻折，得， 点在以点为圆心，长为半径的圆弧上运动； （2）解：四边形是矩形， ， 、、， ， 由（1）知，， ， ， 过点C作于点， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 点G和点E重合， ； 过点A作于点H， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得： 当A、、E三点共线时，有最小值， 最小值为； （3）解：作点D关于的对称点， 垂直平分、， 点M在上， ， ， 连接，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， 过点E作于点N， 、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2026·吉林长春·模拟预测）问题探究 (1)如图①，在中，，是内部的一个动点，且满足． （i）求证：； （ii）用圆规和无刻度的直尺，在图①中作出点的运动轨迹：（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （iii）线段的最小值为___________； 问题解决 (2)如图②，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知m，m．直接写出的最小值．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1)（i）见解析；（ii）见解析；（iii） (2) 【分析】（1）（i）根据垂直的定义，以及等量代换推出，再结合三角形内角和定理分析求解，即可解题； （ii）作的垂直平分线交于点，连接，利用直角三角形性质可知，再以为圆心，为半径画弧，即可作出点的运动轨迹； （iii）记的中点为，连接，交点的运动轨迹于点，利用勾股定理求出，再根据分析求解，即可解题； （2）作与的延长线交于点，连接，记的中点为，连接，过点作于点，利用矩形性质证明，进而得到，结合直角三角形性质求出，根据，为定长，推出当三点共线时，最小，证明，进而求出，再利用勾股定理求解，即可解题． 解题的关键在于找出当三点共线时，最小． 【详解】（1）（i）证明： ， ， ， ， ； （ii）解：所作点的运动轨迹如下图所示： （iii）解：记的中点为，连接，交点的运动轨迹于点， ， ， ， ， 线段的最小值为； （2）解：作与的延长线交于点，连接，记的中点为，连接，过点作于点， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， m，， ， ， ，为定长， 当三点共线时，最小， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 27．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，中，，点是的中点．点在边上（点不与、重合），连接，作点关于直线的对称点，连接． (1)点到的距离为____________． (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当点落在的内部时，连接，求线段的长度范围； (4)当时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）过点作于点，利用线段中点特点，以及解直角三角形计算求出，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）当点与点重合时，由轴对称性质可知，垂直平分，利用解直角三角形的计算求出的长，进而即可求出线段的长； （3）由点关于直线的对称点为，可知在以为圆心，长为半径的圆弧上，记圆弧交于点，交于点，连接，交圆弧于点，连接，有，利用轴对称性质，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理分别算出，作于点，于点，再结合相似三角形的性质和判定计算出，最后比较分析，即可求出线段的长度范围； （4）过点作交于点，证明，利用相似三角形性质推出，再根据，分两种情况①当在上方时，记交于点，②当在下方时，记交于点，结合相似三角形性质和判定，以及轴对称性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，点是的中点， ， ， ，即点到的距离为； （2）解：当点与点重合时， 由轴对称性质可知，垂直平分， ， ， ， 解得， ； （3）解：由点关于直线的对称点为，可知在以为圆心，长为半径的圆弧上， 记圆弧交于点，交于点，连接，交圆弧于点， 连接， 有， 由（1）知，，， ， ， ， 由轴对称性质可知，， ， 作于点，于点， ， ， ， 与重合，，， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 线段的长度范围为； （4）解：过点作交于点， ， ， ， ， ， ①当在上方时， 记交于点， ， ， 由轴对称性质可知，， ， ， ； ②当在下方时， 记交于点， 由轴对称性质得到，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：线段的长为或． 28．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，于点，点从点出发，沿着射线运动，速度为，点从同时出发，沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)用含的代数式表示的长； (2)求为何值时，和相似； (3)设的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) 【分析】（1）分当时，当时，根据题意分别解答即可． （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，由题意知，当时，在线段上，，在上，．当时，在延长线上，，在上，．再分①若，②若，分别求解即可． （3）过点作于点，如图③，分当时，，如图④，当时，，求解即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，． （2）解：，，于点， ，． 由题意知， 当时，在线段上，，在上，． 当时，在延长线上，，在上，． ①若，如图①， 则， ， 解得． ②若，如图②， 则， ， 解得． 综上所述，或时，和相似． （3）解：过点作于点，如图③， 当时，，即点与点重合，不存在； 当时，， ， ， ； 如图④，当时，， ， ， ． 综上所述，． 29．（2026·吉林·二模）如图，中，，，于点，，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动．连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，设点的运动时间为． (1)填空：____________，____________． (2)当时，求的长． (3)当点落在边上时，求的值． (4)当点在线段上，的中点落在的边上时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 (4)和 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得，再计算即可，最后根据勾股定理得； （2）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （3）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （4）设点为的中点，①当的中点在上时；②当的中点在上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：∵，， 又∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动， ∴点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：， ①当点在上时，如图， ∵，点为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②当点在上时，如图， ∵，点为的中点，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ①当点在上时，且时，如图， ∴， ∴点在所在的直线上， 由（2）①知：，且， ∴， ∴点为的中点， 此时点与点重合，即点在上， ∴； ②当点在上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∴，，，， 在中，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； （4）解：设点为的中点， ①当的中点在上时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ∴， ∵，点为的中点，， ∴，， 由（2）①知：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 此时； ②当的中点在上时，过点作于点，过点作于点，设，以点为原点，以所在的直线水平向右为轴，以所在的直线竖直向上为轴建立如图所示的直角坐标系，设， ∴， ∵，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，点为的中点，， ∴， 由（2）①知：， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， 又∵的中点在（直线的解析式为）上， ∴， 解得：， ∴， 此时； 综上所述，满足条件的值有和． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $