精品解析：四川德阳外国语学校2027届高三上学期第一次月考数学试卷

德阳外国语学校2027届高三第一次月考数学试卷 (时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，B=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由交集的定义可得. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可转化为，根据二次不等式的解法结合图像即可求解 【详解】由得，即， 也即，解得或， 所以原不等式的解集为或， 故选：B 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的条件求出参数 ，再计算向量的模长. 【详解】已知 ，，且 ， 因此：，解得：. 所以，则 4. 已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面、面面平行和垂直的相关定理依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，，则可能平行或相交，A错误； 对于B，若，，则可能平行或相交，B错误； 对于C，若，则在平面内必存在一条直线，使得， ，，又，，充分性成立，C正确； 对于D，在如下图所示的钝二面角中，，，，无法得到，D错误. 故选：C. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 6. 有三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】， ， 所以. 故选：A 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意整理可得，代入题中数据，结合对数运算求解即可. 【详解】因为，即， 设消除的污染物大约需要， 由题意可得，即，取对数可得， 两式相比可得，则， 所以要消除的污染物大约需要. 故选：C. 8. 已知函数，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，从而可得，构造函数，对函数求导，得出函数的单调性与最值，从而得解. 【详解】令，则， 所以，， 所以. 令，则， 则在上单调递减， 在上单调递增，故， 故的取值范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】按共轭、模、平方、实数判定四个定义逐个代入 检验即可. 【详解】A选项：已知，根据共轭复数的定义可得：.故A正确； B选项：由，故B错误； C选项：由，故C错误； D选项：由，故D正确. 10. 已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个判断A、B、C选项，利用配方法化简D选项中代数式即可求得最值. 【详解】当时，∵，∴，∴，当且仅当时，取等号，A选项正确； ，当且仅当时，取等号，B选项正确； ，当且仅当时，取等号，∴，C选项错误； ∴，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合导数分析函数的单调性、极值，利用导数的几何意义求解切线方程与切线存在性，通过数形结合的思想，分析点到直线的距离最小值，逐一验证每个选项的正确性. 【详解】对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误. 对B选项，令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当，取得最大值， 当时，，，故， 故函数的值域是，所以B选项正确. 对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点，则，整理得， 令，则，故单调递增，代入，得， 因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确. 对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程，整理得，令， 若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点. 对求导得，令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，在处取得极小值，在处取得极大值， 所以的大致图象如图所示： 由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点， 此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确. 第Ⅱ卷(非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则______. 【答案】2 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知，是三角形的内角，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题设可得，而，所以，则，应填答案． 14. 已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案. 【详解】设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程为：； 设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程还可表示为：. 依题意可得，由②得，即， 代入①，得， 又，，从而. 令，则. 令，则， 则在上单调递减，注意到， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即实数m的最大值为. 四、解答题：本题共5道小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示： 女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 26 女 l4 总计 50 （1）补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 6 26 女 10 l4 24 总计 30 20 50 没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关． （2）的分布列为： 0 1 2 期望是．【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表后计算可得结论； （2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量的值，分别计算概率的分布列，由期望公式计算期望． 【小问1详解】 ， 没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关． 【小问2详解】 从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人， 的可能值是0，1，2， ，，， 的分布列为： 0 1 2 ． 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出等式，解方程求出，即可求出，的通项公式； （2）由分组求和法结合裂项相消法、等比数列的前项和代入即可得出答案. 【小问1详解】 因为数列，都是等差数列，且，， 所以，解得， 所以 综上，． 【小问2详解】 由（1）得： 所以 ． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，周长为6，求边上的高； （3）若，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理消元，再用辅助角公式化简三角等式，即可求出角； （2）结合周长条件与余弦定理求出，再利用等面积法即可求出边上的高； （3）由向量的数量积可得到角的范围，然后利用正弦定理边角互化和三角恒等变换化简，最后借助正切函数的单调性即可求出范围. 【小问1详解】 由正弦定理，得，代入已知等式， 得，化简得：， 即，即， 因为，所以，所以，解得. 【小问2详解】 由题意知，且，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 设边上的高为，所以，即， 解得. 【小问3详解】 因为，即，所以， 因为为的内角，所以，又因为，所以， 所以，即，所以. 由正弦定理可得：， 因为，所以， 因为在单调递增，所以， 所以，即. 18. 已知函数. （1）若在单调递增，求的取值范围： （2）若，证明：当时，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由已知可得，对恒成立,构造函数令可得，利用导数求得函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解出即可； （2）利用分析法可知，要证明原不等式成立，即证：当时，，构造函数，利用导数证明出函数在上单调递增，由此可得出所证不等式成立. 【详解】解：（1）依题意有：. 函数在单调递增，对恒成立. 即：对恒成立 令则 当时，， 函数在单调递增， ，解得. 因此，实数的取值范围是； （2）当时，要证：当时. 即要证：当时. 构造函数：， 则， 先证：当时， 要证：，即要证：， 构造函数：时 当时， ，则函数在单调递增. 即 ， 函数在单调递增，， 即：当时，故原不等式成立. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题. 19. 已知集合，对于，，定义与之间的距离为． （1）已知，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【答案】（1）、、、； （2）； （3） 记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证． 【小问1详解】 已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； 【小问2详解】 设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳外国语学校2027届高三第一次月考数学试卷 (时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，B=，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知直线与平面，则能使成立的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 有三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的两条切线，则 第Ⅱ卷(非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则______. 13. 已知，是三角形的内角，则__________． 14. 已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 四、解答题：本题共5道小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示： 女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 26 女 l4 总计 50 （1）补全列联表，并判断是否有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，周长为6，求边上的高； （3）若，求的范围． 18. 已知函数. （1）若在单调递增，求的取值范围： （2）若，证明：当时，. 19. 已知集合，对于，，定义与之间的距离为． （1）已知，写出所有的，使得； （2）已知，若，并且，求的最大值； （3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $