1.1.1 第一课时 集合的含义-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“集合的含义”，通过开学教育通知的情境导入，引导学生从具体对象中抽象集合概念，结合“想一想”“自我诊断”等环节，逐步构建元素与集合的关系、空集及常用数集等知识支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过生活化情境（如班级同学分类）、典型案例变式（如元素特性参数问题）及通性通法总结，培养学生逻辑思维。学生能深化概念理解，教师可依托分层练习提升教学效果。

1.1.1　集合及其表示方法 1 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情景中，了解空集的含义（数学抽象）. 课标要求 第一课时　集合的含义 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午3点钟开始在班级进行开 学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书. 【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？ （2）某学生看了这个通知，他能否确定自己应该参加哪项活动？ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点一　元素与集合的概念 1. 集合与元素 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全 ，就称这两个集 合相等，记作A＝B. 3. 集合元素的特性 相同　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活 中的各种各样的事物或人等. 2. 某班所有的高个子男生能否组成一个集合？ 提示：某班所有的高个子男生不能组成集合，因为高个子男生没有明确的 标准. 3. 某班身高大于175 cm的男生能否组成一个集合？ 提示：某班身高大于175 cm的男生能组成一个集合，因为标准确定. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点二　元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A的元素 a ⁠A a属于A 不属于 a不是集合 A的元素 a ⁠A a不属于A ∈　 ∉　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 元素与集合之间有第三种关系吗？ 提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两 种结果. 2. 符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？ 提示：∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是 集合. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点三　空集、常用数集、集合的分类 1. 空集 （1）定义： 的集合； （2）符号： ⁠. 2. 常用的数集及其记法 常用的 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 不含任何元素　 ∅　 N N*或N＋ Z Q R 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 集合的分类 （1）集合 （2）空集是 集. 　　提醒：N与N*的区别：N中的元素是从0开始的非负整数，N*中的元素 是从1开始的正整数. 有限　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 以下元素的全体能构成集合的是（　　） A. 中国古代四大发明 B. 接近于1的所有正整数 C. 未来世界的高科技产品 D. 地球上的小河流 解析：　中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；接近于 1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；未来世界的高科技产品不 确定，不能构成集合，故C不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集 合，故D不满足.故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 用“book”中的字母组成的集合中元素个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有b，o，k三个元素. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 下列元素与集合的关系判断正确的是 （填序号）. ①0∈N；②π∈Q；③ ∈Q；④－1∈Z；⑤ ∉R. 解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集， 故0∈N，π∉Q， ∉Q，－1∈Z， ∈R. ①④　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值 为 ⁠. 解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3， －1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符 合题意. 综上所述，实数a的值为0或－1. 0或－1　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜集合的相关概念 【例1】　2025年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级. 则下列对象能组成一个集合的是哪些？并说明你的理由. （1）你所在班级的全体同学； 解：班级的全体同学是确定的，所以可以组成一个集合. （2）班级中比较胖的同学； 解：因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成一个 集合. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）班级中体重超过75 kg的同学； 解：因为“体重超过75 kg”是确定的，所以可以组成一个集合. （4）学习成绩比较好的同学； 解：因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能组成 一个集合. （5）总分前五名的同学. 解：因为“总分前五名”是确定的，所以可以组成一个集合. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 判断一组对象能否组成集合的标准 　　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果 此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要 注意集合中元素的互异性、无序性. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 给出下列表述：①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近 的实 数的全体；③方程x2＋x－1＝0的实数根；④全国著名的高等院校.以上能 组成集合的是（　　） A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 解析：　① 联合国安全理事会常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗 斯、英国.所以可以组成集合. ②中的元素是不确定的，不满足集合中元素确定性的条件，不能组成 集合. ③方程x2＋x－1＝0的实数根是确定的，所以能组成集合. ④全国著名的高等院校.不满足集合中元素确定性的条件，不能组成集合. 故选A. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 下列元素的全体能构成集合的是（　　） A. 某学校个子高的学生 B. 巴黎奥运会上受欢迎的运动员 C. 2025年参加全国“两会”的代表 D. π的近似值 解析：　A选项，个子高是不明确的说法，不能构成集合，A错误；B选 项，受欢迎是不明确的说法，不能构成集合，B错误；C选项，2025年参加 全国“两会”的代表是明确的，能构成集合，C正确；D选项，精确度未确 定的情况下，π的近似值是不明确的说法，不能构成集合，D错误.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜元素与集合的关系 【例2】　（1）〔多选〕下列关系中，正确的是（　ABC　） A. ∈R B. ∉Q C. ｜－3｜∈N D. 0∈∅ 解析： 是实数， 是无理数，｜－3｜＝3是自然数，空集中没有 元素.因此，A、B、C正确，D错误. ABC 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若集合A中的元素x满足 ∈N，x∈N，则集合A中的元素为 ⁠ ⁠. 解析： 由题意可得：3－x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x 的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0. 2， 1，0　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 1. 判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集 合中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足 集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什 么特征. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素.反之，当a∉A时，结论恰 恰相反. 利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集 合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 下列关系中，正确的是（　　） A. －2∈N* B. ∈Z C. π∉Q D. 5∉N 解析：　对于A，－2是负整数，则－2∉N*，A错误； 对于B， 是分数，则 ∉Z，B错误； 对于C，π是无理数，则π∉Q，C正确； 对于D，5是自然数，则5∈N，D错误.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2， 且元素a∈A，a∉B，则a的值为 ⁠. 解析：∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3. 3　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜集合中元素的特性及应用 【例3】　（链接教科书第9页练习B组4题）已知集合A含有两个元素a和 a2，若1∈A，则实数a的值为 ⁠. 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1. －1　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求 实数a的值. 解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝ 或a＝－ .当a＝ 2时A中两个元素是2和4，符合元素的互异性； 当a＝ 时A中两个元素是 和2，符合元素的互异性； 当a＝－ 时，A中两个元素是－ 和2，符合元素的互异性. 故所求实数a的值是2或 或－ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. （变条件）本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值 范围是什么？ 解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 　　根据集合中元素的特性求解参数取值（范围）的3个步骤 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有实数根组成的集合为 M，则M中的元素个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的实数根分别是2，3 和2，－1，又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为 3.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知集合A中有两个元素1－a，a2－2a－1，若2∈A，则a＝ ⁠. 解析：因为集合A中有两个元素1－a，a2－2a－1，且2∈A，则 或 满足 的a不存在，满足 的a的值为3. 故a＝3. 3　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 下列选项中能组成集合的是（　　） A. 某电视台著名节目主持人 B. 我市跑得快的汽车 C. 我市在2025年9月1日前注册的中学生 D. 数学必修第一册课本中所有的难题 解析：　∵组成集合的元素具有确定性，选项A、B、D中没有明确标 准，不符合集合定义，选项C正确.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 若a，b，c，d为集合A中的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成 的四边形可能是（　　） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 正方形 解析：　由a，b，c，d为集合A中的4个元素，得a，b，c，d两两不 相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等，则以a， b，c，d为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形.又梯 形两底不等，两腰可以不等，因此以a，b，c，d为边长构成的四边形可 能是梯形.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. N*中最小的数是1 B. 若－a∉N*，则a∈N* C. 若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D. x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 解析： 　因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对B，若a＝ ， 则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误；对D，x2＋4＝4x的解集中只有一个元 素2，D错误.故选A、C. √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 已知集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，则a的值 为 ⁠. 解析：当a＝2时，2∈A，且6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，且6－4＝ 2∈A；当a＝6时，6－6＝0∉A，所以a的值为2或4. 2或4　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1.2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得 了骄人的成绩.下列有关2024巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是 （　　） A. 全体参赛国家 B. 全体裁判员 C. 全体荣获金牌的运动员 D. 全体表现较好的运动员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　根据集合元素的确定性可以判断A、B、C正确；对于D，“表 现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成 集合，故D不正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 下列关系中正确的是（　　） A. π∉R B. － ∈Q C. －3∈Z D. 0∉N 解析：　对于A，R表示实数集，所以π∈R，说法错误；对于B，Q 表示有理数集，所以－ ∉Q，说法错误；对于C，Z表示整数集，所 以－3∈Z，说法正确；对于D，N表示自然数集，所以0∈N，说法错 误.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 若集合A有三个元素1，2，x2，则x的值可以是（　　） A. B. 1 C. 0，2 D. －1，－ 解析：　因为集合A有三个元素1，2，x2，所以x2≠1且x2≠2，所以 x≠±1且x≠± ，即x可以是实数范围内除去±1和± 的任何值，显 然四个选项中只有选项C符合. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1 （A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 （　　） A. 2∈A，且2∈B B. （1，2）∈A，且（1，2）∈B C. 2∈A，且（3，10）∈B D. （3，10）∈A，且2∈B 解析：　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合 B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B， 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕已知不超过5的实数组成的集合为M，a＝ ＋ ，则 （　　） A. a∈M B. a＋1∉M C. ∈M D. a2∉M √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，因为a＝ ＋ ＜ ＋ ＝4＜5，所以a∈M， 所以A正确；对于B，因为a＋1＝ ＋ ＋1＜ ＋ ＋1＝4＋1＝5， 所以a＋1∈M，所以B错误；对于C，因为a＝ ＋ ，所以 ＝ ＝ ＝ － ＜5，所以 ∈M，所以C正确；对于D， 因为a＝ ＋ ，所以a2＝ ＝5＋2 ＞5，所以a2∉M，所 以D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 用符号“∈”或“∉”填空：（1）若A为所有亚洲国家组成的集合，则 泰国 A；（2） Q， Q. 解析： 因为泰国属于亚洲，所以泰国∈A. （2）因为Q表示有理数 集， 不是有理数， 是有理数，所以 ∉Q， ∈Q. 7. 已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A， b∈B，则a＋b A，ab A. （填∈或∉） 解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A， ab∈A. ∈　 ∉　 ∈　 ∉ 　 ∈　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 已知集合A中有4，x－4，x－7三个元素，若7∈A，则x＝ ⁠. 解析：因为7∈A，A＝{4，x－4，x－7}，所以当x－4＝7时，x＝11，x －7＝4，A＝{4，7，4}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当x－7＝7 时，x＝14，x－4＝10，A＝{4，7，10}，符合题意. 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 已知非零实数a，b，代数式 ＋ ＋ 的值组成集合 M，则下列结论正确的是（　　） A. 0∈M B. －1∈M C. 3∉M D. －1∉M √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　当a，b均为正数时，代数式 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3；当a，b为一正一负时，代数式 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－1或 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－1；当a，b均 为负数时，代数式 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－1.故集合M ＝{－1，3}.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 非空集合A具有下列性质：（1）若x，y∈A，则 ∈A；（2）若x， y∈A，则x＋y∈A. 下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①－1∉A；② ∈A；③x，y∈A，则xy∈A；④若x，y∈A，则x－ y∉A. ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：对于①，若－1∈A，则 ＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A，而对于x ＝－1∈A，y＝0∈A时， 无意义，不满足 ∈A，故①正确；对于②， 若x≠0，x∈A，则1＝ ，∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，…，依次类 推，对任意n∈N*，n∈A，∴2 024∈A，2 025∈A，∴ ∈A，故② 正确；对于③，若x，y∈A，则x≠0，y≠0，由②的解析过程可知， x，y∈A，1∈A， ∈A，∴ ＝xy∈A，故③正确；对于④，由②解析 过程可知，1，2∈A，取x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故④错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 11. 设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. （1）求实数x应满足的条件； 解： 根据集合中元素的互异性，可知 即x≠0且x≠3且x≠－1. （2）若－2∈A，求实数x的值. 解： 因为x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，且－2∈A， 所以x＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $