章末检测（二）等式与不等式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了等式与不等式的核心知识，涵盖集合运算、一元二次方程根与系数关系、不等式性质、均值不等式、绝对值不等式及实际应用，通过不同题型串联基础概念、性质与解法，构建完整的知识逻辑网络。 其亮点在于结合实际情境设计问题，如刹车距离、杂志销售等案例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理证明（如不等式恒成立求参数）和模型构建（如均值不等式求最值）发展数学思维与语言表达。分层题型设计让不同水平学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

章末检测（二）　等式与不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A＝{x｜x＋1＞0}，B＝{x｜3x2＋2x－1＝0}，则A∩B＝ （　　） A. {1} B. { } C. {－1， } D. {－ ，1} 解析：　由A＝{x｜x＋1＞0}＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜3x2＋2x－1＝ 0}＝{－1， }，则A∩B＝{ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第一册（B 版） 2. 已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α ＋β＋αβ的值为（　　） A. －1 B. 2 C. 3 D. 7 解析：　由于α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数 根，所以 故α＋β＋αβ＝5－2＝3.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 3. 已知a＞b＞c＞0，则下列不等式不成立的是（　　） A. a－c＞b－c B. ac＞bc C. ＞ D. ＞ 解析：　对于A，因为a＞b，所以a－c＞b－c，故A成立；对于B，a ＞b＞c＞0，则ac＞bc，故B正确；对于C，举反例，令a＝3，b＝2，c ＝1，则 ＝1， ＝3，故C不成立；对于D， － ＝ ＝ ＞0，故D成立.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 4. 设x∈R，则“ ＞0”是“｜x－1｜＜4”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　由 ＞0，得（x－5）（2－x）＞0，解得2＜x＜5；由｜x－ 1｜＜4，得－4＜x－1＜4，得－3＜x＜5，当2＜x＜5时，一定可以推出 －3＜x＜5，而当－3＜x＜5时，不能推出2＜x＜5，所以“ ＞0”是 “｜x－1｜＜4”的充分不必要条件.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 5. 若m＞0，n＞0且m＋2n－2＝0，则 ＋ 的最小值为（　　） A. B. C. 9 D. 12 解析：　由题意， ＋n＝1，又m＞0，n＞0，则由均值不等式可得 ＋ ＝（ ＋ ）（ ＋n）＝ ＋ ＋ ＋2≥2 ＋ ＝ ，当且仅 当 ＝ ，即m＝n＝ 时，等号成立，因此， ＋ 的最小值为 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 6. 不等式｜x－1｜－｜x－5｜＜2的解集是（　　） A. （－∞，4） B. （－∞，1） C. （1，4） D. （1，5） 解析：　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）＜2，∴－4＜ 2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－（5 －x）＜2，∴x＜4，∴1＜x＜4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－ （x－5）＜2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为（－∞，4）， 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 7. 某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂 志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元， 要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（　　） A. 6≤x≤7 B. 5≤x≤7 C. 5≤x≤6 D. 4≤x≤6 解析：　由提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为：10－ ×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为：（10－ ×0.1）x≥42，即（x－6）（x－7）≤0，即6≤x≤7，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 8. 已知不等式－2x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜3}，若对于任意 x∈{x｜－1≤x≤0}，不等式－2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范 围是（　　） A. {t｜t≤2} B. {t｜t≤－2} C. {t｜t≤－4} D. {t｜t≤4} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解析：　由题意得－1和3是关于x的方程－2x2＋bx＋c＝0的两个实数 根，则 解得 则－2x2＋bx＋c＝－2x2＋4x＋ 6，由－2x2＋bx＋c＋t≤4得，t≤2x2－4x－2，当－1≤x≤0时，（2x2 －4x－2）min＝－2，故t≤－2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分） 9. 已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A. ＞ B. ＞ C. ＋ ＞2 D. a＋ ＞b＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解析： 　对于A，因为a＞b＞0，故 － ＝ ＜0，即 ＜ ，故A错误；对于B，由均值不等式得 ≥ 当且仅当a＝b时等 号成立，由于a＞b＞0，故 ＞ 成立，故B正确；对于C， ＋ ≥2 ＝2当且仅当 ＝ ，即a＝b时等号成立，由于a＞b＞0，故 ＋ ＞2成立，故C正确；对于D，a＋ － ＝（a－b）· ， 无法判断，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 10. 已知a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，则（　　） A. ab的最大值为4 B. （a＋1）2＋（b＋1）2的最小值为18 C. a＋b的最小值为4 D. ＋ 的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解析： 　由题意，a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，对于A，因为8 ＝ab＋a＋b≥ab＋2 ，当且仅当a＝b＝2时取等号，则（ ）2＋ 2 －8≤0，即（ －2）·（ ＋4）≤0，解得 ≤2，即 ab≤4，故当a＝b＝2时，ab取最大值4，所以A正确；对于B，（a＋1）2 ＋（b＋1）2≥2（a＋1）（b＋1）＝2（ab＋a＋b＋1）＝18，当且仅 当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2时取等号，此时（a＋1）2＋（b＋1）2取得 最小值18，所以B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 对于C，由a＋b＝8－ab≥8－（ ）2，当且仅当a＝b＝2时取等号， 可得（a＋b）2＋4（a＋b）－32≥0，即（a＋b－4）（a＋b＋8）≥0， 解得a＋b≥4，即当a＝b＝2时，a＋b取最小值4，所以C正确；对于D， ＋ ≥2 ＝2 ＝ ，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2时取等号，此时 ＋ 取得最小值 ，所以D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 11. 关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关 于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，如 下给出的结论中正确的是（　　） A. 这两个方程的根都是负根 B. 这两个方程的根中可能存在正根 C. （m－1）2＋（n－1）2≥2 D. －1≤2m－2n≤1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解析：设方程x2＋2mx＋2n＝0的两根为x1，x2，方程y2＋2ny＋ 2m＝0的两根为y1，y2.由题意知x1x2＝2n＞0，y1y2＝2m＞0，又∵x1＋ x2＝－2m，y1＋y2＝－2n，∴这两个方程的根都是负根，故A正确，B 不正确； ∵4m2－8n≥0，4n2－8m≥0，∴m2－2n≥0，n2－2m≥0， ∴（m－1）2＋（n－1）2＝m2－2n＋1＋n2－2m＋1≥2，故C正确； ∵y1y2＝2m，y1＋y2＝－2n， ∴2m－2n＝y1y2＋y1＋y2＝（y1＋1）（y2＋1）－1，∵y1，y2均为负整 数，∴（y1＋1）（y2＋1）≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） ∴2m－2n≥－1.∵x1·x2＝2n，x1＋x2＝－2m， ∴2n－2m＝x1x2＋x1＋x2＝（x1＋1）（x2＋1）－1， ∵x1，x2均为负整数，∴（x1＋1）（x2＋1）≥0， ∴2n－2m≥－1，即2m－2n≤1，∴－1≤2m－2n≤1，故D正确. 综上所述，正确的结论有A、C、D. 故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若“∀x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：因为“∀x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，所以“∃x∈ （1，4]，x2－2ax＋9≤0”是真命题，即存在x∈（1，4]，使2a≥x＋ 成立.又x＋ ≥2 ＝6等号仅当x＝ ，即x＝3时成立，所以只要2a≥6，解得a≥3. [3，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 13. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯 性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝ x＋ x2.在 一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车 前的车速不低于 km/h. 80　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解析：根据题意，得 x＋ x2≥40. 移项整理，得x2＋10x－7 200≥0. 显然Δ＞0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根， 即x1＝80，x2＝－90， 根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象（图略）， 得不等式的解集为{x｜x≤－90或x≥80}. 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 14. 已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则 ＋ ＋ 的最小值为 ⁠. 解析：依题意得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 即 时取等号. 因此， ＋ ＋ 的最小值为4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）设集合A＝{x｜（x＋1）·（x－5）＜0}，集合 B＝{x｜2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. （1）当a＝1时，求A∪B； 解： 由题意得：A＝{x｜－1＜x＜5}， 当a＝1时，B＝{x｜1≤x≤3}， 故A∪B＝{x｜－1＜x＜5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围. 解： 由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可得B⫋A， 当B＝∅时，得2－a＞1＋2a，解得a＜ ； 当B≠∅时，得 解得 ≤a＜2. 综上，a的取值范围为（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 16. （本小题满分15分）设函数y＝ax2＋（b－2）x＋3，其中a≠0. （1）若不等式y＞0的解集为（－1，3），求a，b的值； 解： 因为不等式ax2＋（b－2）x＋3＞0的解集为（－1，3）， 所以－1和3是方程ax2＋（b－2）x＋3＝0的两个实根，且a＜0， 从而有 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） （2）若b＝－a，求不等式y≤1的解集. 解：因为b＝－a，可得y＝ax2－（a＋2）x＋3≤1， 即可得ax2－（a＋2）x＋2≤0，即（x－1）（ax－2）≤0. 因为a≠0，当a＜0时，方程（x－1）（ax－2）＝0的根x1＝1，x2＝ ＜0， 故不等式的解集为（－∞， ］∪[1，＋∞）； 当a＞0时，方程（x－1）（ax－2）＝0的根x1＝1，x2＝ ＞0， 当a＝2，即 ＝1时，不等式的解集为{1}； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 当a＞2，即 ＜1时，不等式的解集为［ ，1］； 当0＜a＜2，即 ＞1时，不等式的解集为［1， ］. 综上所得，当a＜0时，不等式y≤1的解集为（－∞， ］∪[1，＋∞）； 当0＜a＜2时，不等式y≤1的解集为［1， ］； 当a＝2时，不等式y≤1的解集为{1}； 当a＞2时，不等式y≤1的解集为［ ，1］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 17. （本小题满分15分）若关于x的不等式x2－4mx＋m＜0的解集为 （x1，x2）. （1）当m＝1时，求 ＋ 的值； 解：由题可知关于x的方程x2－4x＋1＝0有两个根x1，x2， 所以 故 ＋ ＝ ＝ ＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） （2）若x1＞0，x2＞0，求 ＋ 的值及x1＋4x2的最小值. 解： 由题意关于x的方程x2－4mx＋m＝0有两个正根， 所以有 ⇒ 解得m≥ . 同时x1＋x2＝4x1x2，由x1＞0，x2＞0得 ＋ ＝4， 所以x1＋4x2＝ （x1＋4x2） ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 由于 ， ＞0，所以 ＋ ≥2 ＝4， 当且仅当 ＝ ，即x1＝2x2，且x1＋x2＝4x1x2，解得x1＝ ，x2＝ 时取 得“＝”， 此时实数m＝ ＞ 符合条件， 故x1＋4x2≥ ，且当m＝ 时，取得最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 18. （本小题满分17分）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调 查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销 费用m（m≥0）（单位：万元）满足x＝3－ （k为常数），如果不举 行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投 入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销 售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投 入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2025年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的 函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解：由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x ＝3－ ， 又每件产品的销售价格为1.5× 元， ∴y＝x －（8＋16x＋m）＝4＋8x－m＝4＋8 － m＝－ ＋29（m≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） （2）该厂家2025年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：∵m≥0， ＋（m＋1）≥2 ＝8，当且仅当 ＝m＋ 1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2025年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21 万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 19. （本小题满分17分）我们知道，若a，b，c∈（0，＋∞），则有不 等式（ ）2≤ 成立（当且仅当a＝b＝c时等号成立）， 从（ ）2－ ＝ － ＝ ＝－ ≤0可以得 到，即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平 均数.请运用这个结论解答下列三道题： （1）求代数式2 ＋ 的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） 解： 当－2≤t≤ 时，有（ ）2≤ ＝ ， 即2 ＋ ≤ ，当且仅当 ＝ ，即t＝ 时等号 成立. 而t＝ ∈［－2， ］，故代数式2 ＋ 的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） （2）已知x＞0，y＞0，z＞0，若不等式m（ ＋ ＋ ） ≤ 恒成立，求实数m的取值范围； 解： 当x＞0，y＞0，z＞0时，有（ ）2≤ ， 所以 ＋ ＋ ≤ ，即 ≥ ，当且仅当x ＝y＝z时等号成立. 因此 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） m（ ＋ ＋ ）≤ 恒成立⇔m≤ 恒成立⇔m≤ （ ）min＝ . 故实数m的取值范围是（－∞， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） （3）若a，b，c∈（0，＋∞），证明：（ ）4≤ . 解：证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），（ ） 2≤ ， 所以（ ）4－ ≤（ ）2－ ＝ ＝－ ≤0， 当且仅当a＝b＝c时等号成立. 故a，b，c∈（0，＋∞），（ ）4≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册（B 版） $