1.1.1 第二课时 集合的表示及区间-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的表示方法（列举法、描述法）及区间概念，通过“生日快乐”的不同语言表示情境导入，衔接集合基本概念，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解集合表示的多样性。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境抽象问题，通过典例研析的通性通法（如列举法三步骤）和分类讨论（如集合与方程综合题参数分析）发展数学思维，用符号语言（描述法、区间）精准表达，助力学生提升抽象能力与解题逻辑，为教师提供系统教学资源与高效教学方法。

第二课时　集合的表示及区间 1 基础落实 01 典例研析 02 拓视野 抽象函数与复合函数 能力提升 03 目录 课时作业 04 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表 示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快樂”， 英文为“Happy Birthday”…… 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点一　列举法 把集合中的元素 出来（相邻元素之间用 分隔），并 写在 内，以此来表示集合的方法称为列举法. 　　提醒：使用列举法表示集合的四个注意点：①元素间用“，”分隔 开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；②元素不重复，满足元素的互异 性；③元素无顺序，满足元素的无序性；④对于含有有限个元素且个数较 少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元 素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作 为代表，其他元素用省略号表示. 一一列举　 逗号　 大括号　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点二　描述法 这种表示集合的方法，称为 ，简称为描述法. 特征性质描述法　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 集合A＝{x｜x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？ 提示：A＝{x｜x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 知识点三　区间的概念及表示 1. 区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x｜a＜x＜b} 开区间 ⁠ {x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 ⁠ {x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 ⁠ （a，b） [a，b） （a，b] 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x｜ x≥a} {x｜x＞ a} {x｜ x≤a} {x｜x＜ a} 符号 （－∞， ＋∞） ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ （－∞， a） [a，＋ ∞） （a，＋ ∞） （－∞， a] 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示. 2. “∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是 中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.“－∞”或“＋ ∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 集合{x∈Z｜｜x｜＜3}中的元素个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 解析：　{x∈Z｜｜x｜＜3}＝{－2，－1，0，1，2}，该集合中的元素 有5个.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 下列说法中，正确的为（　　） A. {（x，y）｜x＞1且y＞1}＝{（x，y）｜x＞1或y＞1} B. {（x，y）｜x＋y＝0}＝{x｜x＋y＝0} C. {x｜x＞2}＝{y｜y＞2} D. 集合{（2，2）}不满足元素的互异性 √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析：　对于A，例如（0，3）∉{（x，y）｜x＞1且y＞1}，但（0， 3）∈{（x，y）｜x＞1或y＞1}，所以{（x，y）｜x＞1且y＞ 1}≠{（x，y）｜x＞1或y＞1}，故A错误；对于B，集合{（x，y）｜x ＋y＝0}是点集，集合{x｜x＋y＝0}是数集，两个集合的元素不相同，所 以{（x，y）｜x＋y＝0}≠{x｜x＋y＝0}，故B错误；对于C，因为集合 {x｜x＞2}，{y｜y＞2}元素相同，所以{x｜x＞2}＝{y｜y＞2}，故C正 确；对于D，集合{（2，2）}只有一个元素（2，2），符合集合元素的互 异性，故D错误.故选C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 若[0，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是 ⁠. 解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1＞0，解得a＞ ，所以 a的取值范围是 . 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜用列举法表示集合 【例1】　（链接教科书第9页练习A组3题）用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合； 解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以 不大于10的非负偶数组成的集合是{0，2，4，6，8，10}. （2）方程x3＝x的所有实数解组成的集合； 解：方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的实数解组成的集 合为{0，1，－1}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 解：将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1）， 故交点组成的集合是{（0，1）}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用大括号括起来. 提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计顺序，且元素 与元素间用“，”隔开. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　若A＝{－1，3}，则集合{（x，y）｜x∈A，y∈A}可用列举法表示 为（　　） A. {－1，3} B. {（－1，3）} C. {（－1，3），（3，－1）} D. {（－1，3），（3，3），（－1，－1），（3，－1）} 解析：　因为A＝{－1，3}，则{（x，y）｜x∈A，y∈A}＝{（－1， 3），（3，3），（－1，－1），（3，－1）}.故选D. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型二｜用描述法表示集合 【例2】　（链接教科书第9页练习A组4题）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合； 解： 根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n ＋1，n∈N}. （2）平面直角坐标系内第一象限的点的集合； 解： 第一象限的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为 {（x，y）｜x＞0，y＞0}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （3）大于4的所有偶数. 解： 偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述 法表示此集合为{x｜x＝2n，n∈Z且n≥3}. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 1. 描述法表示集合的2个步骤 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法.列举法的特点是能清 楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多 或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通 常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元 素的限制条件较多时，就不宜采用描述法. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 集合A＝{x∈N｜xy＝16，y∈N}的元素个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　因为x∈N，y∈N，xy＝16，所以x，y是16的因数，所以x的 取值有：1，2，4，8，16，共5个元素.故选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知集合M＝{1，5，9，13，17}，则M＝（　　） A. {x｜x＝2n＋1，n∈N，n≤8} B. {x｜x＝2n－1，n∈N，n≤9} C. {x｜x＝4n＋1，n∈N，n≤4} D. {x｜x＝4n－3，n∈N，n≤5} 解析：　因为集合M＝{1，5，9，13，17}，根据集合中5个元素的特点 知x＝1＋4n，n∈N，n≤4.所以M＝{x｜x＝4n＋1，n∈N，n≤4}.故 选C. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型三｜区间及其表示 【例3】　（链接教科书第9页练习A组5题）将下列集合用区间及数轴表示 出来： （1）{x｜x＜2}；（2）{x｜x≥3}；（3）{x｜－1≤x＜5}. 解：（1）{x｜x＜2}用区间表示为（－∞，2），用数轴 表示如下： （2）{x｜x≥3}用区间表示为[3，＋∞），用数轴表示 如下： （3）{x｜－1≤x＜5}用区间表示为[－1，5），用数轴表示如下： 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 用区间表示数集的原则和方法 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的 开闭不能弄错； （2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间 用“，”隔开. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是（　　） A. [2，＋∞] B. [2，＋∞） C. （－∞，2） D. （－∞，2] 解析：　不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间 为[2，＋∞）. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用 区间表示为 ⁠. 解析：因为△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，所以BC－AB＜AC＜AB＋ BC，即1＜AC＜5. （1，5）　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 题型四｜集合与方程的综合问题 【例4】　（1）〔多选〕已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，则 下列说法中错误的是（　ACD　） A. 若A中只有一个元素，则a＝1 B. 若A中至少有一个元素，则a≤1 C. 若A中至多有一个元素，则a≥1 D. 若A中恰有两个元素，则a＜1 ACD 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 对于A，若A中只有一个元素，即方程ax2＋2x＋1＝0有一个 实根，或两个相等实根，当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－ 符合题意，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－ 4a＝0，即a＝1，所以当A中只有一个元素时，则a＝0或a＝1，故A错 误；对于B，若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素，当A 中有一个元素时，由前面可知，a＝0或a＝1；当A中有两个元素时，方 程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，所以 即a＜1且 a≠0，所以若A中至少有一个元素，则a≤1，故B正确； 数学·必修第一册（B 版） 目 录 对于C，若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素，当A中有 一个元素时，由前面可知，a＝0或a＝1；当A中没有元素时，即方程ax2 ＋2x＋1＝0无实根，所以 即a＞1，所以若A中至多有 一个元素，则a＝0或a≥1，故C错误；对于D，若A中恰有两个元素，由 前面可知，a＜1且a≠0，故D错误.故选A、C、D. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）设 ∈ ，则集合{x｜x2－ x－a＝0}中所有元 素之积为 ⁠. 解析： 因为 ∈ ，所以 － a－ ＝0， 解得a＝－ ，当a＝－ 时，方程x2－ x＋ ＝0的判别式Δ＝ －4× ＝ ＞0，由x2－ x＋ ＝0，解得x1＝ ，x2＝9， 所以{x x2－ x＋ ＝0}＝{ ，9}， 故集合 的所有元素的积为 ×9＝ . 　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 通性通法 集合与方程综合问题的解题策略 （1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参 数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋ c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个实数根；当a≠0时，若Δ＝0，则方 程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无解；若Δ＞0，则方程有两个不 等的实数根. （2）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数（含参 数）的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果.需特 别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知集合A＝{x｜mx2－3x＋2＝0}. （1）若A是单元素集，求m的值及集合A； 解： 当m＝0时，方程－3x＋2＝0，有一个根x＝ ，符合题意，故 A＝ ； 当m≠0，A只有一个元素，则二次方程mx2－3x＋2＝0只有一个根， 所以Δ＝0，得m＝ ，得A＝ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）求集合P＝{m｜m使得A至少含有一个元素}. 解： A至少含有一个元素，则m＝0或 有集合P＝ . 数学·必修第一册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野 抽象函数与复合函数 能力提升 目 录 幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验.每年，家有即将幼 升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区 的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发 布了幼升小入学政策： （1）本市户籍适龄儿童入学.凡年满6周岁（2019年8月31日以前出生）的 具有东城区常住户口及东城区房屋产权证（监护人持有）的适龄儿童均须 参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区 同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻 一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭 适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核 后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学. 该市东城区2025年的入学顺位可以参考2024年公布的入学顺位说明： 第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”； 第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”； 数学·必修第一册（B 版） 目 录 第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或 母”； 第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”； 第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”； 第七顺序：“本片户口＋‘（外）曾祖父’房屋产权”. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【问题探究】 1. 若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户 口（非本区），a是集合A的元素吗？ 提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权 所有人为儿童本人或其父或母. 2. 某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？ 提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 【迁移应用】 　给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称 集合A为闭集合.判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x｜x＝3k， k∈Z}是不是闭集合，并给出证明. 解：因为4∈A，4＋4＝8∉A，所以A不是闭集合. 任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z， 则a＋b＝3m＋3n＝3（m＋n），且m＋n∈Z， 所以a＋b∈B， 同理，a－b∈B，故B为闭集合. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 1. 下列四组中表示同一集合的为（　　） A. M＝{（－1，3）}，N＝{（3，－1）} B. M＝{－1，3}，N＝{3，－1} C. M＝{（x，y）｜y＝x2＋3x}，N＝{x｜y＝x2＋3x} D. M＝{0}，N＝0 解析：　选项A，两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；选项B，集 合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；选项C，两个集合 研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；选项D，M是以0为 元素的集合，N是数字0，D错误.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 集合A＝ 用列举法可以表示为（　　） A. {3，6} B. {1，2} C. {0，1，2} D. {－2，－1，0，1，2} 解析：　因为 ∈N*，所以3－x＝1，2，3，6，可得x＝2，1，0，－ 3.因为x∈N*，所以x＝1，2，集合A＝{1，2}.故选B. √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕一次函数y＝2x－3与y＝x－2的图象的交点组成的集合是 （　　） A. {1，－1} B. {（1，－1）} C. D. √ √ 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　解方程组 解得 故一次函数y＝2x－3与y＝x－2的图象的交点组成的集合是 或{（1，－1）}.故选B、C. 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 用描述法表示如图中的阴影部分可以是 ⁠ ⁠. 解析：可以用{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示图中阴影部分. {（x，y）｜0≤x≤2， 0≤y≤1}　 数学·必修第一册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知集合M＝{（x，y）｜x，y∈N*，x＋y＜3}，则M中元素的个数 为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析：　集合M＝{（x，y）｜x，y∈N*，x＋y＜3}＝{（1，1）}， 所以M中只有1个元素.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 2. 集合{x∈N*｜x－3＜2}的另一种表示法是（　　） A. {0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5} 解析：　集合{x∈N*｜x－3＜2}＝{x∈N*｜x＜5}＝{1，2，3，4}.故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 3. 方程x2－1＝0的解集可表示为（　　） A. {x2－1＝0} B. {x｜x＝1，或x＝－1} C. {－1，1} D. {x＝1，x＝－1} 解析：　因为x2－1＝0，所以x＝±1，故方程x2－1＝0的解集可表示为 {－1，1}，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕下列说法错误的是（　　） A. 在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为{（x， y）｜xy＞0} B. 方程 ＋｜y＋2｜＝0的解集为{－2，2} C. {x｜x＜－8，且x＞－5}中的元素个数为0 D. 若A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，第一象限内的点（x，y）满足x＞0，y＞0，第三象 限内的点（x，y）满足x＜0，y＜0，故A正确；对于B，方程的解为 故解集为{（2，－2）}，故B错误；对于C，由x的范围可得 {x｜x＜－8，且x＞－5}中的元素个数为0，故C正确；对于D，A＝{－ 1，0，1}，－1.1∉A，故D错误.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 5. 若二次根式 有意义，则x的取值范围用区间表示 为 ⁠. 解析：由题意知，要使 有意义，则x－2≥0，得x≥2.所以x的取值 范围为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 6. 若－5∈{x｜x2－ax－5＝0}，则集合{x｜x2－3x＋a＝0}中所有元素 之和为 ⁠. 解析：－5∈{x｜x2－ax－5＝0}，则有（－5）2－a（－5）－5＝0，解 得a＝－4，方程x2－3x＋a＝0即x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1，所 以{x｜x2－3x－4＝0}＝{4，－1}，所有元素之和为3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 7. 已知集合A＝{x｜ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}. （1）当a＝2时，A中只有一个元素，求b的值； 解： 当a＝2时，A＝{x｜2x2＋bx＋1＝0，b∈R}， 由A中只有一个元素，得Δ1＝b2－8＝0，解得b＝±2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围. 解： 当b＝2时，A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}， 由A中至多有一个元素，得A中可能没有元素或只有1个元素. 当a＝0时，A＝{x｜2x＋1＝0}＝{－ }，符合要求； 当a≠0时，对ax2＋2x＋1＝0有Δ2＝4－4a≤0，解得a≥1. 综上所述，a＝0或a≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 8. 定义新集合运算AⓧB＝{x｜x＝x1·x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1， 3，4}，B＝{2，3}，则AⓧB所有元素之和为（　　） A. 48 B. 54 C. 40 D. 36 解析：　由题意，AⓧB＝{2，3，6，9，8，12}，则所有元素和为2＋3 ＋6＋9＋8＋12＝40.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 9. 用列举法表示集合：{x∈Z｜ ∈Z}＝ ；{ ∈N｜x∈N}＝ ⁠. 解析：因为 ∈Z，x∈Z，所以x－1＝±1或x－1＝±2，解得x＝－1或 0或2或3，即{x∈Z｜ ∈Z}＝{－1，0，2，3}.当x取2，3，4，7时， 对应的值为6，3，2，1，所以{ ∈N｜x∈N}＝{1，2，3，6}. {－1，0，2，3}　 {1，2，3，6}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 10. 已知关于x的方程mx＋4＝3x－n（m，n∈R）. （1）求方程的解集A； 解： 由题意，可得（3－m）x＝4＋n， ①当m≠3时，解集为A＝ ； ②当m＝3，n＝－4时，解集为A＝R； ③当m＝3，n≠－4时，解集为A＝∅. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 （2）若n＝4，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集 合B. 解： 由题意及（1）问结论知，m≠3，且x＝ ∈N*， 所以3－m＝1或2或4或8，所以B＝{2，1，－1，－5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（B 版） 目 录 $