25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课时同步练习 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过选择题、填空题及解答题，衔接此前降次解法知识，搭建从具体方程到抽象关系的学习支架，帮助学生系统掌握韦达定理的应用脉络。 其亮点在于分层设计不同题型，强化数学思维中的推理能力与运算能力，如结合判别式分析根的情况，通过代数式求值培养模型意识。学生能提升综合解题能力，教师可借助多样化练习实现高效教学。

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次---一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1、 选择题 1．下列一元二次方程两实数根和等于﹣4的是（　　） A．x2+3x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+5＝0 D．x2+4x+4＝0 【分析】根据根的判别式，根与系数的关系对各选项进行判断． 【解答】解：A、两实数根的和等于﹣3，所以A选项不符合题意； B、两实数根的和等于4，所以B选项不符合题意； C、Δ＝42﹣4×1×5＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以C选项符合题意； D、两实数根的和等于﹣4，所以D选项不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2．也考查了根的判别式． 2．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，进行判断即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根， ∴x1+x26，x1x27． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积． 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（　　） A．x2+5x+6＝0 B．x²﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2，即方程为x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0，再把x1+x2＝5和x1•x2＝6代入方程即可． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6， ∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0， 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 4.若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设x2﹣x+m＝0另一个根是α， ∴2+α＝1， ∴α＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型． 5．若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x1•x2＝（　　） A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5 【分析】根据根与系数的关系解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根， ∴x1•x2＝4， 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 6．若关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣2m＝0有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m C．0＜m D．0≤m 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得出Δ＝22﹣4（1﹣2m）≥0，再结合两个实数根之积为负数可得1﹣2m＜0，分别求解可得答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣2m＝0有两个实数根， ∴Δ＝22﹣4（1﹣2m）≥0， 解得m≥0， 又∵这两个实数根之积为负数， ∴1﹣2m＜0， 解得m， 综上，m， 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是根据方程的根的情况综合考虑，从而得出关于m的不等式组． 7.已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+2x1x2的值． 【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣4，x1x2＝3， 所以x1+x2+2x1x2＝﹣4+2×3＝2． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，． 8.已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（　　） A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．（x+2）（x+3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0 【分析】（方法一）由x1＝﹣2，x2＝﹣3，可得出x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6，将四个选项中的方程变形为一般式，利用根与系数的关系可找出x1+x2，x1•x2的值，对比后即可得出结论； （方法二）由一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，可设这个方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0），取a即可得出结论． 【解答】解：（方法一）∵x1＝﹣2，x2＝﹣3， ∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6． A．原方程可变形为x2+x﹣5＝0， ∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣5，选项A不符合题意； B．原方程可变形为x2﹣2x﹣9＝0， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣9，选项B不符合题意； C．原方程可变形为x2+5x+6＝0， ∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝6，选项C符合题意； D．原方程可变形为x2﹣5x+6＝0， ∴x1+x2＝5，x1•x2＝6，选项D不符合题意． 故选：C． （方法二）∵一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3， ∴设这个方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0）， 当a时，这个方程为（x+2）（x+3）＝0． 故选：C． 【点评】考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：（方法一）牢记“两根之和等于，两根之积等于”；（方法二）由一元二次方程的两根，找出原方程为a（x+2）（x+3）＝0（a≠0）． 9．已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴，， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10．知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的序号有（　　） ①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1； ②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【分析】①正确．根据方程的解的定义判断即可； ②正确．由a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0，消去b，可得结论； ③正确．根据方程的解的定义判断； ④正确．判断出两根之和为2，可得结论； ⑤正确．若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，∴a2abx0+ac＝0，可得4a24abx0+b2＝b2﹣4ac，由此可得结论． 【解答】解：①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1．故①正确； ②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0；则有a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴4a+2（a+c）+c＝0， ∴6a+3c＝0， ∴2a+c＝0，故②正确； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．故③正确； ④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；则2， ∴两根之和为2， ∵一个根大于2， ∴另一个根必是负数，故④正确； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则bx0+c＝0， ∴a2abx0+ac＝0， ∴4a24abx0＝﹣4ac， ∴4a24abx0+b2＝b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故⑤正确； 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 2、 填空题 11．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【解答】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故答案为：． 12．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 故答案为： 13．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为　 　． 【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，即：x12＝x1+9，x1+x2＝1，7x22＝7x2+63，最后代入即可得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根， ∴x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1， ∴x12＝x1+9，x22＝x2+9，x1+x2＝1， ∴7x22＝7x2+63 ∴x13＝x12+9x2＝x1+9+9x1＝10x1+9， ∴原式＝10x1+9+7x2+73+3x2﹣66＝10（x1+x2）+6＝16． 故答案为：16． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，得出x12﹣x1﹣9＝0，x22﹣x2﹣9＝0，x1+x2＝1，是解本题的关键． 14．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则m2n+mn2＝　 　． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于，先求出m+n和mn的值，再整体代入到代数式m2n+mn2＝mn（m+n）计算即可求解． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0的两个根， ∴m+n＝4，mn＝﹣5， ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣5×4＝﹣20， 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟知一元二次方程根和系数的关系：两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 15．新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为　 　． 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，整理为一般形式，设两根分别为m，n，利用根与系数的关系求出m+n与mn，两根的平方和为m2+n2，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算求出值即可． 【解答】解：根据题中的新定义化简方程x※2＝5得：x2﹣2x+2＝5， 整理得：x2﹣2x﹣3＝0， 设方程两根分别为m，n， ∴m+n＝2，mn＝﹣3， 则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4+6＝10． 故答案为：10． 【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清题中的新定义是解本题的关键． 3、 解答题 16.已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 【分析】根据根与系数的关系得到α+β，αβ， （1）利用因式分解和完全平方公式把原式变形为αβ[（α+β）2﹣2αβ]，然后利用整体代入的方法计算； （2）先通分，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得α+β，αβ， （1）原式＝αβ（α2+β2）＝αβ[（α+β）2﹣2αβ][（）2﹣2]； （2）原式． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【解答】（1）证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根．（2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，且k≠0， 即， 即：1﹣2k＞0， ∴，且k≠0； （2）存在． 根据题意，， ∴， ∴， 经检验，是方程的根，且符合题意， 即． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值． 19．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 【解答】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出m的值． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【解答】（1）证明：， 方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系可得， ∵菱形面积为， ∴， 解得， 所以m的值为3． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【分析】（1）将原方程化为一般式，表示出方程的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系可得，，将展开，再代入和的值，即可证明． 【解答】(1)证明：将一元二次方程化为一般式：， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)证明：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得 ，， 展开得：， 代入和的值：， ∵， ∴，即． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 【分析】（1）只需要证明即可； （2）设方程的两个根分别为，由根与系数的关系得到，再由勾股定理和矩形的性质得到，则，即，进而可得，据此解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为， ∴， ∵矩形的对角线长为， ∴， ∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（矩形边长此时为负，舍去）． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次---一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1、 选择题 1．下列一元二次方程两实数根和等于﹣4的是（　　） A．x2+3x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+5＝0 D．x2+4x+4＝0 2．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（　　） A．x2+5x+6＝0 B．x²﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0 4.若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x1•x2＝（　　） A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5 6．若关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣2m＝0有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥0 B．m C．0＜m D．0≤m 7.已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 8.已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（　　） A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．（x+2）（x+3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0 9．已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的序号有（　　） ①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1； ②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 2、 填空题 11．已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 12．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 13．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣9＝0两个实数根，代数式x13+7x22+3x2﹣66的值为　 　． 14．若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则m2n+mn2＝　 　． 15．新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两根的平方和为__________． 3、 解答题 16.已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 19．设是实数，已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的两根都大于，求的取值范围． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $