专题1.3 集合的基本运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理交集、并集、补集的定义、性质、符号及图形表示，通过基础运算、混合运算、参数求解、Venn图应用等考点搭建从概念到综合应用的学习支架，衔接集合基本概念形成完整知识体系。 该资料特色在于运用Venn图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），例题与变式题分层设计提升推理能力（数学思维），规范符号与数学语言表达强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后作业覆盖选择、填空、解答题，帮助学生查漏补缺。

专题1.3 集合的基本运算(知识梳理及题型总结) ·模块一 集合的基本运算 ·模块二 课后作业 模块一 集合的基本运算 设全集为U 1. 交集 · 含义：既属于A又属于B的公共部分。 · 性质：； 2. 并集 · ，含义：A、B全部元素合并（重复元素只写一次）。 · 性质：； 3. 补集 · ，含义：全集U里面去掉A剩下的部分。 · 性质： 4. 常用运算公式 · · 5. 集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数学语言 运算性质 A； U A 【考点1 交集的运算】 【例1.1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，． 【例1.2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则. 【变式1.1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以. 【变式1.2】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以, 【考点2 并集的运算】 【例2.1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 【变式2.1】已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 得． 【变式2.2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用集合的并集运算求解. 【详解】集合，，则 【变式2.3】设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 【考点3 补集的运算】 【例3.1】．设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【答案】A 【详解】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 【变式3.1】已知全集，集合，，则集合________. 【答案】 【详解】因为集合， 所以， 又因为,则． 【变式3.2】设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】若，则，即,所以． 若，当时，，即； 当时，由及，得， 从而，即，所以． 因此，故，其元素个数为0． 【变式3.3】已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 【考点4 交并补混合运算】 【例4.1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则，故. 【变式4.1】设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集先求出，进而可得到. 【详解】因为全集，集合，所以， 所以. 【变式4.2】若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 【考点5 根据交并补运算结果求参数】 【例5.1】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【变式5.1】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵集合， ∴集合， ∵， ∴， ∴， 解得且， 则实数a的取值范围是 【变式5.2】集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 【变式5.3】已知，或，若，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据已知条件得出，结合数轴分和两种情况讨论，进而求出的取值范围． 【详解】由可知，， ①若，则，解得； ②若，如图所示 则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 【考点6 利用Venn图求集合】 【例6.1】已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 【变式6.1】已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 【变式6.2】已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 【变式6.3】如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦恩图写出对应的集合即可. 【详解】根据图中阴影可知，阴影部分的元素是由集合C中的元素和同时在两个集合中的元素组成的， 故表示的集合为. 故选：A 模块二 课后作业 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的交并补运算,进行求解判断即可. 【详解】对于A，由于，故A错误； 对于B，由于或， 所以，故B错误； 对于C, 由于或，所以或，故C错误； 对于D，由于或，所以，故D正确； 故选：D． 2．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】分析可知阴影部分区域所表示的集合为，利用补集和交集的定义可求得结果. 【分析】因为全集，集合或，， 在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，， 因此阴影部分区域所表示的集合为 . 故选：C. 3． 已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 4．已知集合，，且，则集合的个数为（    ）． A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可. 【详解】因为，则， 又，所以集合的个数为． 5．（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 6．已知，，，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 又，所以. 7．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 8．设集合，B={x|1≤x≤5，x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为___________. 【答案】6 【分析】先求出，根据非空真子集的个数为个可得结果. 【详解】由于，， 所以， 所以非空真子集个数为个， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了集合的运算，真子集的个数问题，属于基础题. 9. 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 10. 已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 11. 已知集合，全集． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）利用集合的交集运算，补集运算，并集运算即可； （2）根据集合的包含关系建立不等式，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以； 又全集，所以或， 所以或. （2）因为恒成立，所以， 又，所以，解得：， 所以若，则实数的取值范围为：. 12. 已知集合. (1)当时，求； (2)若求实数a的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再利用交集，补集，并集的定义求解； （2）利用交集的结果，按照集合A是否为空集分类，列式求解. 【详解】（1）由，即，解得或， 所以或， 所以， 当时，， ∴或，. （2）因为，当时，即，解得，符合题意； 当时，可得，解得， 综上可得a的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算(知识梳理及题型总结) ·模块一 集合的基本运算 ·模块二 课后作业 模块一 集合的基本运算 设全集为U 1. 交集 · 含义：既属于A又属于B的公共部分。 · 性质：； 2. 并集 · ，含义：A、B全部元素合并（重复元素只写一次）。 · 性质：； 3. 补集 · ，含义：全集U里面去掉A剩下的部分。 · 性质： 4. 常用运算公式 · · 5. 集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数学语言 运算性质 A； U A 【考点1 交集的运算】 【例1.1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【考点2 并集的运算】 【例2.1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2.2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【考点3 补集的运算】 【例3.1】．设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【变式3.1】已知全集，集合，，则集合________. 【变式3.2】设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3.3】已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【考点4 交并补混合运算】 【例4.1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【考点5 根据交并补运算结果求参数】 【例5.1】已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【变式5.1】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式5.2】集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【变式5.3】已知，或，若，求a的取值范围． 【考点6 利用Venn图求集合】 【例6.1】已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【变式6.2】已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【变式6.3】如图中的阴影部分可以表示为（    ） A． B． C． D． 模块二 课后作业 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 3． 已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，，且，则集合的个数为（    ）． A．3 B．6 C．7 D．8 5．（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 6．已知，，，则______． 7．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 8．设集合，B={x|1≤x≤5，x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为___________. 9. 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 10. 已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 11. 已知集合，全集． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 12. 已知集合. (1)当时，求； (2)若求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $