1.3.2空间向量及其运算的坐标表示课件- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件核心内容为空间直角坐标系的建立与空间向量运算的坐标表示，通过类比平面向量坐标运算导入，搭建从二维到三维的学习支架，衔接平面向量与空间向量的知识脉络。 其亮点在于运用类比迁移（数学思维）、直观表征（几何直观，数学眼光）和问题解决（数学语言），如斜二测画法规范作图，坐标特点表格梳理规律，例题涵盖长方体、正四棱锥等几何体。学生能提升空间想象与逻辑推理，教师可借助实例优化教学，提高效率。

在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算转化为坐标的运算. 类似地，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 1.3.1 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量 都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。 空间直角坐标系： x y z O j i k 画空间直 角坐标系 O i j x y 斜二测画法 (3)建 系：建立右手直角坐标系 . (2)画 轴：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°. (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =x+y+z. 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定. x叫做点A的横坐标, y叫做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标. 点A （x，y，z） 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点： 例1 如图示, 在长方体OABC-D'A'B'C'中, OA=3, OC=4, OD'=2, 以 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D', C, A', B'四点的坐标; (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ 教材P18 一般地，对于给定一点P(x，y，z)，则点P： (1)关于x 轴对称的点为__________; (2)关于y 轴对称的点为__________; (3)关于z 轴对称的点为__________; (4)关于平面Oxy对称的点为__________; (5)关于平面Oxz对称的点为__________; (6)关于平面Oyz对称的点为__________; (7)关于原点对称的点为_____________. 求对称点 空间中点坐标公式和重心坐标公式 在空间直角坐标系中，点 和点 的中点坐标为: 在空间直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，则△ABC的重心坐标为: 补例2已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标. 答案不唯一. 10 补例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. B A C D P 答案不唯一. (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. 11 适宜补形成长方体或正方体的常见几何体模型 墙角 阳马 鳖臑（biē nào） 正四面体 对棱长相等 堑堵 1.3.2 向量运算的坐标表示 空间中向量的坐标 2.空间任意一点A对应一个，即点A的位置由唯一确定. 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标 OA=(x,y,z) 一一对应 以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。 3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 =(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；向量坐标等于终点坐标减起点坐标. 1.空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标. 1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 空间向量运算的坐标表示 证明见课本P19 空间向量运算的坐标表示 2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①当≠时，∥⇔＝λ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) ⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ③求模：； ④求夹角：cos<,>== 3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 空间两点距离公式：= 教材P20-例2. 如图所示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. A D C B A1 D1 C1 B1 E F 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 教材P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 教材P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M ∴B1，即该三棱柱各顶点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1. A(2，－2,0)，B(2，2,0)， C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)， P(0,0，2). $