章末检测（二）等式与不等式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

**基本信息** 本单元卷聚焦“等式与不等式”，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查集合运算、不等式性质、均值不等式等核心知识，适配高中数学单元复习，培养数学推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合交集（题1）、韦达定理（题2）、不等式性质（题3）|基础概念辨析，结合集合与方程| |多项选择|3/18|均值不等式（题9）、方程根与系数（题11）|多选项设计，考查推理严谨性| |填空|3/15|恒成立问题（题12）、刹车距离应用（题13）|实际情境转化，体现模型意识| |解答题|5/77|集合运算（题15）、利润最值（题18）、不等式证明（题19）|综合应用，如促销利润模型（题18）培养数学应用能力|

章末检测（二）　等式与不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A＝{x｜x＋1＞0}，B＝{x｜3x2＋2x－1＝0}，则A∩B＝（　　） A.{1}　 B.{} C.{－1，}　 D.{－，1} 解析：B　由A＝{x｜x＋1＞0}＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜3x2＋2x－1＝0}＝{－1，}，则A∩B＝{}. 2.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为（　　） A.－1　 B.2 C.3　 D.7 解析：C　由于α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，所以故α＋β＋αβ＝5－2＝3.故选C. 3.已知a＞b＞c＞0，则下列不等式不成立的是（　　） A.a－c＞b－c　 B.ac＞bc C.＞　 D.＞ 解析：C　对于A，因为a＞b，所以a－c＞b－c，故A成立；对于B，a＞b＞c＞0，则ac＞bc，故B正确；对于C，举反例，令a＝3，b＝2，c＝1，则＝1，＝3，故C不成立；对于D，－＝＝＞0，故D成立.故选C. 4.设x∈R，则“＞0”是“｜x－1｜＜4”的（　　） A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由＞0，得（x－5）（2－x）＞0，解得2＜x＜5；由｜x－1｜＜4，得－4＜x－1＜4，得－3＜x＜5，当2＜x＜5时，一定可以推出－3＜x＜5，而当－3＜x＜5时，不能推出2＜x＜5，所以“＞0”是“｜x－1｜＜4”的充分不必要条件.故选A. 5.若m＞0，n＞0且m＋2n－2＝0，则＋的最小值为（　　） A.　 B. C.9　 D.12 解析：B　由题意，＋n＝1，又m＞0，n＞0，则由均值不等式可得＋＝（＋）（＋n）＝＋＋＋2≥2＋＝，当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立，因此，＋的最小值为.故选B. 6.不等式｜x－1｜－｜x－5｜＜2的解集是（　　） A.（－∞，4）　 B.（－∞，1） C.（1，4）　 D.（1，5） 解析：A　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x）＜2，∴－4＜2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－（5－x）＜2，∴x＜4，∴1＜x＜4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）＜2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为（－∞，4），故选A. 7.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（　　） A.6≤x≤7　 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6　 D.4≤x≤6 解析：A　由提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为：10－×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为：（10－×0.1）x≥42，即（x－6）（x－7）≤0，即6≤x≤7，故选A. 8.已知不等式－2x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜3}，若对于任意x∈{x｜－1≤x≤0}，不等式－2x2＋bx＋c＋t≤4恒成立，则t的取值范围是（　　） A.{t｜t≤2}　 B.{t｜t≤－2} C.{t｜t≤－4}　 D.{t｜t≤4} 解析：B　由题意得－1和3是关于x的方程－2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，则解得则－2x2＋bx＋c＝－2x2＋4x＋6，由－2x2＋bx＋c＋t≤4得，t≤2x2－4x－2，当－1≤x≤0时，（2x2－4x－2）min＝－2，故t≤－2.故选B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A.＞　 B.＞ C.＋＞2　 D.a＋＞b＋ 解析：BC　对于A，因为a＞b＞0，故－＝＜0，即＜，故A错误；对于B，由均值不等式得≥当且仅当a＝b时等号成立，由于a＞b＞0，故＞成立，故B正确；对于C，＋≥2＝2当且仅当＝，即a＝b时等号成立，由于a＞b＞0，故＋＞2成立，故C正确；对于D，a＋－＝（a－b）·，无法判断，故D错误.故选B、C. 10.已知a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，则（　　） A.ab的最大值为4　　 B.（a＋1）2＋（b＋1）2的最小值为18 C.a＋b的最小值为4　　D.＋的最小值为 解析：ABC　由题意，a，b为正实数，且ab＋a＋b＝8，对于A，因为8＝ab＋a＋b≥ab＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，则（）2＋2－8≤0，即（－2）·（＋4）≤0，解得≤2，即ab≤4，故当a＝b＝2时，ab取最大值4，所以A正确；对于B，（a＋1）2＋（b＋1）2≥2（a＋1）（b＋1）＝2（ab＋a＋b＋1）＝18，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2时取等号，此时（a＋1）2＋（b＋1）2取得最小值18，所以B正确；对于C，由a＋b＝8－ab≥8－（）2，当且仅当a＝b＝2时取等号，可得（a＋b）2＋4（a＋b）－32≥0，即（a＋b－4）（a＋b＋8）≥0，解得a＋b≥4，即当a＝b＝2时，a＋b取最小值4，所以C正确；对于D，＋≥2＝2＝，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2时取等号，此时＋取得最小值，所以D错误.故选A、B、C. 11.关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（　　） A.这两个方程的根都是负根　　 B.这两个方程的根中可能存在正根 C.（m－1）2＋（n－1）2≥2　　 D.－1≤2m－2n≤1 解析：ACD　设方程x2＋2mx＋2n＝0的两根为x1，x2，方程y2＋2ny＋2m＝0的两根为y1，y2.由题意知x1x2＝2n＞0，y1y2＝2m＞0，又∵x1＋x2＝－2m，y1＋y2＝－2n，∴这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确； ∵4m2－8n≥0，4n2－8m≥0，∴m2－2n≥0，n2－2m≥0， ∴（m－1）2＋（n－1）2＝m2－2n＋1＋n2－2m＋1≥2，故C正确； ∵y1y2＝2m，y1＋y2＝－2n， ∴2m－2n＝y1y2＋y1＋y2＝（y1＋1）（y2＋1）－1，∵y1，y2均为负整数，∴（y1＋1）（y2＋1）≥0， ∴2m－2n≥－1.∵x1·x2＝2n，x1＋x2＝－2m， ∴2n－2m＝x1x2＋x1＋x2＝（x1＋1）（x2＋1）－1， ∵x1，x2均为负整数，∴（x1＋1）（x2＋1）≥0， ∴2n－2m≥－1，即2m－2n≤1，∴－1≤2m－2n≤1，故D正确. 综上所述，正确的结论有A、C、D.故选A、C、D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若“∀x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，则实数a的取值范围为　[3，＋∞）　. 解析：因为“∀x∈（1，4]，x2－2ax＋9＞0”是假命题，所以“∃x∈（1，4]，x2－2ax＋9≤0”是真命题，即存在x∈（1，4]，使2a≥x＋成立. 又x＋≥2＝6等号仅当x＝，即x＝3时成立，所以只要2a≥6，解得a≥3. 13.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速不低于　80　 km/h. 解析：根据题意，得x＋x2≥40. 移项整理，得x2＋10x－7 200≥0. 显然Δ＞0，x2＋10x－7 200＝0有两个实数根， 即x1＝80，x2＝－90， 根据二次函数y＝x2＋10x－7 200的图象（图略）， 得不等式的解集为{x｜x≤－90或x≥80}. 在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h. 14.已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为　4　. 解析：依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时取等号.因此，＋＋的最小值为4. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）设集合A＝{x｜（x＋1）·（x－5）＜0}，集合B＝{x｜2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. （1）当a＝1时，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围. 解：（1） 由题意得：A＝{x｜－1＜x＜5}， 当a＝1时，B＝{x｜1≤x≤3}， 故A∪B＝{x｜－1＜x＜5}. （2）由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可得B⫋A， 当B＝∅时，得2－a＞1＋2a，解得a＜； 当B≠∅时，得解得≤a＜2. 综上，a的取值范围为（－∞，2）. 16.（本小题满分15分）设函数y＝ax2＋（b－2）x＋3，其中a≠0. （1）若不等式y＞0的解集为（－1，3），求a，b的值； （2）若b＝－a，求不等式y≤1的解集. 解：（1）因为不等式ax2＋（b－2）x＋3＞0的解集为（－1，3）， 所以－1和3是方程ax2＋（b－2）x＋3＝0的两个实根，且a＜0， 从而有解得 （2）因为b＝－a，可得y＝ax2－（a＋2）x＋3≤1， 即可得ax2－（a＋2）x＋2≤0，即（x－1）（ax－2）≤0. 因为a≠0， 当a＜0时，方程（x－1）（ax－2）＝0的根x1＝1，x2＝＜0， 故不等式的解集为（－∞，］∪[1，＋∞）； 当a＞0时，方程（x－1）（ax－2）＝0的根x1＝1，x2＝＞0， 当a＝2，即＝1时，不等式的解集为{1}； 当a＞2，即＜1时，不等式的解集为［，1］； 当0＜a＜2，即＞1时，不等式的解集为［1，］. 综上所得，当a＜0时，不等式y≤1的解集为（－∞，］∪[1，＋∞）； 当0＜a＜2时，不等式y≤1的解集为［1，］； 当a＝2时，不等式y≤1的解集为{1}； 当a＞2时，不等式y≤1的解集为［，1］. 17.（本小题满分15分）若关于x的不等式x2－4mx＋m＜0的解集为（x1，x2）. （1）当m＝1时，求＋的值； （2）若x1＞0，x2＞0，求＋的值及x1＋4x2的最小值. 解：（1）由题可知关于x的方程x2－4x＋1＝0有两个根x1，x2， 所以 故＋＝＝＝－4. （2）由题意关于x的方程x2－4mx＋m＝0有两个正根， 所以有⇒解得m≥. 同时x1＋x2＝4x1x2，由x1＞0，x2＞0得＋＝4， 所以x1＋4x2＝（x1＋4x2）＝， 由于，＞0，所以＋≥2＝4， 当且仅当＝，即x1＝2x2，且x1＋x2＝4x1x2，解得x1＝，x2＝时取得“＝”， 此时实数m＝＞符合条件， 故x1＋4x2≥，且当m＝时，取得最小值. 18.（本小题满分17分）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0）（单位：万元）满足x＝3－（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2025年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数； （2）该厂家2025年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？ 解：（1）由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－（8＋16x＋m）＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29（m≥0）. （2）∵m≥0，＋（m＋1）≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21. 故该厂家2025年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元. 19.（本小题满分17分）我们知道，若a，b，c∈（0，＋∞），则有不等式（）2≤成立（当且仅当a＝b＝c时等号成立），从（）2－＝－＝＝－≤0可以得到，即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列三道题： （1）求代数式2＋的最大值； （2）已知x＞0，y＞0，z＞0，若不等式m（＋＋）≤恒成立，求实数m的取值范围； （3）若a，b，c∈（0，＋∞），证明：（）4≤. 解：（1）当－2≤t≤时，有（）2≤＝， 即2＋≤，当且仅当＝，即t＝时等号成立. 而t＝∈［－2，］，故代数式2＋的最大值为. （2）当x＞0，y＞0，z＞0时，有（）2≤， 所以＋＋≤，即≥，当且仅当x＝y＝z时等号成立. 因此的最小值为. m（＋＋）≤恒成立⇔m≤恒成立⇔m≤（）min＝. 故实数m的取值范围是（－∞，］. （3）证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），（）2≤， 所以（）4－≤（）2－＝ ＝－≤0，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 故a，b，c∈（0，＋∞），（）4≤. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $