第二章 等式与不等式（单元分层自测·能力提升卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学第二章等式与不等式单元卷，覆盖不等式性质、充分条件、二次函数等核心知识，精选各地阶段检测真题，适配单元复习，培养数学思维与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、集合运算、二次不等式|结合张家界、青岛等地阶段检测题，基础巩固| |多选题|3/15|不等式命题判断、方程根分布|多选项辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|含参不等式解集、基本不等式最值|简洁考查运算能力| |解答题|5/50|二次方程根问题、函数不等式应用|如合肥期末题，综合提升数学语言表达与问题解决能力|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·能力提升（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C C C C C A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BD AB ACD 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13． 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得．（6分） （2）由题意得：， 解得或，（10分） 由（1）得：， 则的值为2．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）当时，不等式等价于，           （3分）  ∴．                             （5分） ∴或． ∴不等式的解集为．（7分） （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．              （12分） ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由，所以，所以 （3分） 当且仅当 即时，函数取到最小值14.（5分） （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得，（8分） 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值；（10分） （ii）（13分） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得，（3分） 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为.（7分） （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （10分） （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （13分） （ii）当，即时，则，解得； （16分） 综上所述，实数的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，，（5分） 可得，即， 所以；（8分） （2）因为，且，则， 又因为，即，（12分） 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解分式不等式得到集合A的范围，再结合集合B的范围判断二者的运算结果和包含关系即可。 【详解】对不等式移项得，整理得，等价于，解得或， 即. 已知，，故A错误； ，故B错误； 的所有元素均属于，且中存在小于0的元素不属于， 因此，C正确，D错误. 4．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，，，， 等价于，解得， 解集为 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 6．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 8．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，所以D选项正确. 10．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由于，时等号成立， 故不等式的解集为，即， 即得实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法以及一元二次不等式求解方法解不等式即可. 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等实数根的条件，判别式 ，解不等式即可； （2）利用韦达定理 建立方程求解 ，并结合（1）的范围进行取舍. 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 16．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 17．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 18．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 19．（25-26高一下·安徽·开学考试）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据题意利用作差法结合不等式性质分析判断即可； （2）整理可得，结合基本不等式运算求解即可； 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 13．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 14．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 16．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 17．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 18．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一下·安徽·开学考试）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第二章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 13．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 14．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）解不等式________. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 16．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 17．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 18．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一下·安徽·开学考试）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $