第三章 函数 章末整合提升 体系构建 素养提升-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义以数学运算、直观想象、逻辑推理三大核心素养为框架，通过知识脉络图系统梳理函数定义域、值域、解析式等重点内容，清晰呈现各考点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“分层培优”练习设计，如函数定义域含零次幂与分式的综合题，利用图象解不等式等题型，培养数学运算和直观想象素养。每个专题配备详细解析与方法技巧，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

　　 一、数学运算 　　数学运算核心素养在本章中主要体现在求函数的定义域、值域、解析式等问题中. 培优一｜函数的定义域问题 【例1】　（1）函数f（x）＝＋（3x－1）0的定义域是（　D　） A.　 B. C.　 D.∪ 解析：由题意得，解得x＜1且x≠. （2）已知函数y＝f（x＋1）的定义域是[－2，3]，则y＝f（2x－1）的定义域是（　A　） A.　 B.[－1，4] C.[－5，5]　 D.[－3，7] 解析：设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f（u）的定义域为[－1，4].再由－1≤2x－1≤4， 解得0≤x≤，即函数y＝f（2x－1）的定义域是. （3）已知函数f（x）＝的定义域是R，则a的取值范围是　[0，4）　. 解析：由题意可知，ax2－ax＋1≠0在R上恒成立.当a＝0时，1≠0，符合题意；当a≠0时，Δ＝（－a）2－4a＜0，解得0＜a＜4.综上，a的取值范围是[0，4）. 培优二｜求函数值（值域） 【例2】　（1）函数y＝f（n）满足：f（n）＝且f（1）＋f（2）＋f（3）＝14，则f（4）＝　　； 解析： f（2）＝f（1），f（3）＝2f（2）－1＝2×f（1）－1＝f（1）－1，则f（1）＋f（1）＋f（1）－1＝14，∴f（1）＝6，f（3）＝f（1）－1＝5，f（4）＝f（3）＝. （2）已知函数f（x）＝的定义域与值域均为[0，4]，则a＝（　A　） A.－4　 B.－2 C.－1　 D.1 解析：∵ax2＋bx＋c≥0的解集为[0，4]，∴方程ax2＋bx＋c＝0的解为x＝0或4， 则c＝0，b＝－4a，a＜0，∴f（x）＝＝. 又∵函数的值域为[0，4]，∴＝4，∴a＝－4.故选A. （3）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝－f（x＋2），当x∈[0，2]时，f（x）＝－x2＋2x，则函数f（x）在[－2，6]上的值域为（　D　 ） A.[0，1]　 B. C.[－2，0]　 D.[－2，4] 解析：当x∈[0，2]时，f（x）＝x（2－x）＝1－（x－1）2∈[0，1]， 则当x∈[－2，0]时，x＋2∈[0，2]，所以f（x）＝－f（x＋2）＝（x＋1）2－∈； 当x∈[2，4]时，x－2∈[0，2]， 由f（x）＝－f（x＋2），得f（x＋2）＝－2f（x），从而f（x）＝－2f（x－2）＝2（x－3）2－2∈[－2，0]； 当x∈[4，6]时，x－2∈[2，4]，则f（x）＝－2f（x－2）＝－4（x－5）2＋4∈[0，4]. 综上，函数f（x）在[－2，6]上的值域为[－2，4].故选D. 培优三｜求函数的解析式 【例3】　（1）已知二次函数f（x）满足f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，求f（x）的解析式； 解：设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则f（2x＋1）＝a（2x＋1）2＋b（2x＋1）＋c ＝4ax2＋（4a＋2b）x＋（a＋b＋c）＝4x2－6x＋5， 故4a＝4，4a＋2b＝－6，a＋b＋c＝5， 解得a＝1，b＝－5，c＝9， 故f（x）＝x2－5x＋9. （2）已知f（x）满足2f（x）＋f＝3x，求f（x）的解析式； 解：因为f（x）满足2f（x）＋f＝3x，用替换x， 得2f＋f（x）＝， 联立方程组解得f（x）＝2x－，即为所求. （3）已知函数f（x）满足f（x－1）＝x2－1，求f（x）的解析式. 解： f（x－1）＝x2－1，令t＝x－1，则x＝t＋1， 故f（t）＝（t＋1）2－1＝t2＋2t，所以f（x）＝x2＋2x. 二、直观想象 　　直观想象在本章中主要体现在函数图象的应用中. 培优四｜利用函数图象求最值 【例4】　记实数x1，x2，…，xn的最小数为min{x1，x2，…，xn}，若f（x）＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}，则函数f（x）的最大值为　　. 解析：依题意，画出符合题意的函数图象，由图可知， 当f（x）取到最大值时满足解得y＝，故f（x）的最大值为. 培优五｜利用图象解不等式 【例5】　已知函数f（x）＝则满足不等式f（1－x）＞f（2x）的x的取值范围是　　. 解析：作出函数f（x）＝的图象，如图所示. 由f（1－x）＞f（2x），可得解得x＜. 故所求x的取值范围是. 培优六｜利用图象研究函数零点 【例6】　试讨论函数f（x）＝x2－2｜x｜－a－1（a∈R）的零点的个数. 解：令g（x）＝x2－2｜x｜，h（x）＝a＋1（a∈R）， 则g（x）＝ g（x）的图象如图， g（－2）＝g（0）＝g（2）＝0，g（－1）＝g（1）＝－1. 由图可知，当a＋1＜－1，即a＜－2时，g（x）与h（x）的图象无交点； 当a＋1＝－1或a＋1＞0，即a＝－2或a＞－1时，g（x）与h（x）的图象有2个交点； 当－1＜a＋1＜0，即－2＜a＜－1时，g（x）与h（x）的图象有4个交点； 当a＋1＝0，即a＝－1时，g（x）与h（x）的图象有3个交点. 综上，当a＜－2时，函数f（x）无零点；当a＝－2或a＞－1时，函数f（x）有2个零点；当a＝－1时，函数f（x）有3个零点；当－2＜a＜－1时，函数f（x）有4个零点. 三、逻辑推理 　　函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性或奇偶性可将函数值之间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，很好地培养了学生逻辑推理的核心素养. 培优七｜函数单调性与奇偶性的综合问题 【例7】　（1）已知偶函数f（x）的图象经过点（－1，－3），且当0≤a＜b时，不等式（f（b）－f（a））（b－a）＜0恒成立，则使得f（x－2）＋3＜0成立的x取值范围为（　C　 ） A.（3，＋∞）　　　　　 B.（1，3） C.（－∞，1）∪（3，＋∞）　 D.[1，3] 解析：由题意，f（x）是偶函数且经过点（－1，－3），所以点（1，－3）也在函数图象上，即f（1）＝－3， 当0≤a＜b时，不等式（f（b）－f（a））（b－a）＜0恒成立， 所以函数f（x）在[0，＋∞）上为减函数.因为f（x－2）＋3＜0即f（x－2）＜－3， 所以f（｜x－2｜）＜f（1），即｜x－2｜＞1，解得x＜1或x＞3， 所以使得f（x－2）＋3＜0成立的x的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）.故选C. （2）〔多选〕已知函数f（x），g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）＋g（x）＝ax2－x，若对于任意x1＞x2＞1，都有＞2，则实数a可以为（　ABD　） A.1　 B.2 C.－1　 D.3 解析：由题意得⇒⇒因为对于任意x1＞x2＞1，都有＞2，所以对于任意x1＞x2＞1，都有g（x1）－2x1＞g（x2）－2x2，设h（x）＝g（x）－2x＝ax2－2x，得h（x）在（1，＋∞）上为增函数.当a＝0时，h（x）＝－2x在（1，＋∞）上为减函数，不符合题意.当a≠0时，⇒a≥1.所以a可以为1，2，3.故选A、B、D. 培优八｜函数的实际应用 【例8】　某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案： ①奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加， ②奖金不超过9万元， ③奖金不超过投资收益的20%. （1）请你再写出一条奖励方案④； 解：④出勤率高、考核分越高，奖金越高（答案不唯一）. （2）若利用建立函数y＝f（x）模型来制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数y＝f（x）模型的三个基本要求； 解：公司对奖励函数y＝f（x）模型的基本要求：当x∈[10，1 000]时， ①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤ 恒成立. （3）现有奖励函数模型f（x）＝符合公司要求，求整数k的取值范围. 解：对于函数模型f（x）＝＝－， 对于①，函数f（x）是[10，1 000]上的增函数； 对于②，对任意x∈[10，1 000]，f（x）≤9，则f（1 000）≤9，即－≤9，解得k≥30－90； 对于③，对任意x∈[10，1 000]，f（x）≤⇔－≤⇔k≥－2x＋3， 当x∈[10，1 000]时，y＝－2x＋3＝－2（－）2＋，在∈[，10]时单调递减， 当＝，即x＝10时，ymax＝3－20，因此k≥3－20， 而30－90＞3－20，则k≥30－90，又30－90≈4.868， 所以整数k的取值范围是{k∈N｜k≥5}. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $