1.7 有理数的混合运算 课时作业 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 以“知识梳理-基础巩固-能力提升-拓展探究”为分层路径，通过梯度化题型设计实现从单一运算到综合应用的知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|运算顺序、符号处理、简单应用|计算专练分步骤强化三级运算规则，应用题结合营业额、水位等生活情境培养模型意识| |能力提升|绝对值、相反数、倒数综合|含参数的代数式求值题（如已知|a|=3求(a+b)²），发展抽象能力与推理意识| |拓展探究|裂项相消、24点游戏|通过分数拆分（++…+）和符号运算创新（-3,4,-6,2凑24），提升创新意识与运算策略|

湘教版七年级数学上册 第1章 有理数 1.7 有理数的混合运算 1.7 有理数的混合运算 课时作业 湘教版·七年级数学（上册）　第1章　有理数　　班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　 一、知识梳理 知识点1 有理数混合运算的顺序 有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算，按下面的顺序进行： 第一级：先算乘方； 第二级：再算乘法和除法； 第三级：最后算加法和减法。 补充规定：①同级运算，按从左到右的顺序依次进行；②有括号时，先算括号里面的，按小括号 ( ) → 中括号 [ ] → 大括号 { } 的顺序由内向外进行。 口诀：先乘方，后乘除，最后加减；括号在内先算它，同级运算从左起。 下表把运算顺序整理成“三级台阶”，做题时按级别由高到低依次进行： 运算级别 包含的运算 运算顺序 第一级（最先算） 乘方 由内向外，先算括号内的乘方 第二级 乘法、除法 同级从左到右依次进行 第三级（最后算） 加法、减法 同级从左到右依次进行 特别规定 括号 小括号 ( ) → 中括号 [ ] → 大括号 { } 知识点2 运算中的符号处理 1. 乘方：先看底数（有无括号），再由指数的奇偶确定符号，如 -32=-9，而 (-3)2=9。 2. 乘除：先数负因数的个数确定结果的符号，再算绝对值。 3. 加减：统一化成加法，再按加法法则运算。 4. 括号前是“-”号时，去括号后括号内每一项都要变号。 知识点3 简化运算的常用技巧 1. 运用分配律：如 (-+)×(-12)，把 -12 分别与括号内每一项相乘。注意不能漏乘，并且要连同符号一起乘。 2. 逆用分配律：如 -×5+(-)×9=-×(5+9)=-×14=-6。 3. 凑整与约分：把互为倒数、能凑成整数的因数先结合；除法先化为乘法再约分。 4. 相反数结合：和为 0 的两项先加。 5. 拆项相消：如 =1-，=-，这类式子相加时中间项会相互抵消。 知识点4 易错警示 1. 把 -22 误算成 4（底数是 2，不是 -2）。 2. 把 -6÷2×3 误算成 -1（乘除同级，应从左到右算：-6÷2=-3，-3×3=-9）。 3. 使用分配律时漏乘括号内的某一项，或忘记连同符号一起相乘。 4. 分数与小数混合时不统一形式，导致计算繁琐或出错。一般把小数化成分数（除法、乘方时尤其如此）。 5. 多重括号时“由内向外”的顺序颠倒。 二、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 计算 -2+3×(-4) 的结果是（　　） A. -14　　B. -4　　C. 10　　D. -10 2. 计算 (-2)2-3×(-1) 的结果是（　　） A. 1　　B. 7　　C. -1　　D. -7 3. 计算 -6÷2×3 的结果是（　　） A. -1　　B. 1　　C. -9　　D. 9 4. 计算 (-3)2×(-) 的结果是（　　） A. 3　　B. -3　　C. 1　　D. -1 5. 计算 -22÷(-2)2 的结果是（　　） A. 1　　B. -1　　C. 0　　D. -4 6. 计算 (-)×(-8)+(-3) 的结果是（　　） A. 1　　B. -1　　C. 7　　D. -7 7. 当 a=-2 时，代数式 a2-2a+1 的值是（　　） A. 1　　B. 5　　C. 9　　D. -1 8. 计算 |-3|×(-2)+(-4)÷2 的结果是（　　） A. -8　　B. -4　　C. 4　　D. 8 9. 下列计算中，正确的是（　　） A. -32=9　　B. (-2)3=-6　　C. -÷(-2)=　　D. 0-(-5)=-5 10. 计算 3-2×(-4)2÷8 时，第一步应先算（　　） A. 3-2　　B. (-4)2　　C. 2×(-4)　　D. 16÷8 （二）填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11. -5+3×(-2)=　　　　。 12. (-2)3÷4=　　　　。 13. 3-(-2)2=　　　　。 14. (-6)×(-)=　　　　。 15. -12026+(-1)2025=　　　　。 16. 当 x=-3 时，-x2=　　　　，(-x)2=　　　　。 17. (-)÷×(-3)=　　　　。 18. 24÷(-2)3=　　　　。 19. -22×(-3)+(-4)=　　　　。 20. 用简便方法计算：(-+-)×(-24)=　　　　。 （三）计算专练（共 30 分） 21.（10 分）计算： （1）-8+4÷(-2) （2）(-3)2-(-2)3 （3）-3×(-4)+(-12)÷(-3) （4）(-)×÷(-) （5）-14-(1-0.5)××[2-(-3)2] （6）(-2)3÷(-)× 22.（10 分）计算： （1）(-+-)×(-12) （2）(-5)×(-)+(-3)2÷(-9) （3）[(-)2-]×(-3)3 （4）-22+3×(-1)3-(-2)×|-3| 23.（10 分）计算： （1）(-+-)÷(-) （2）-32÷[(-3)2-2×5] （3）(-1)2026×[(-2)3+42÷(-8)] （4）-×[(-2)2-6]÷(-)2 （四）应用题（共 10 分） 24.（5 分）某商店以每天营业额 3000 元为标准，超出记为正，不足记为负。连续 5 天的记录如下（单位：元）： +200，-150，0，+430，-280 （1）营业额最高的一天与最低的一天相差多少元？ （2）这 5 天的总营业额是多少元？ （3）这 5 天平均每天的营业额是多少元？ 25.（5 分）某水库以标准水位为 0，一周内水位的变化情况如下（上升记为正，下降记为负，单位：m）： 第1天 +0.5，第2天 -0.3，第3天 +0.2，第4天 -0.8，第5天 +0.4，第6天 -0.6，第7天 +0.1 （1）第几天水位最高？此时水位比标准水位高多少米？ （2）一周结束时，水位比标准水位高还是低？相差多少米？ （3）若某天水位低于标准水位 0.5 m（即水位记录低于 -0.5 m）时就需要补水，这一周中有几天需要补水？ 三、能力提升 26. 已知 |a|=3，|b|=2，且 a<b，求 (a+b)2 的值。 27. 已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，x 的绝对值是 3，求 x2-(a+b+cd)x+(a+b)2025+(-cd)2026 的值。 28. 已知有理数 a，b，c 都不等于 0，求 ++ 的所有可能的值。 29. 某市出租车的收费标准是：行程在 3 km 及以内（含 3 km）收起步价 8 元；超过 3 km 的部分，每千米收费 2.4 元。 （1）小明乘车行驶了 9 km，应付车费多少元？ （2）小红下车时付了 27.2 元，她乘车行驶了多少千米？ （3）若某次乘车行驶了 2.5 km，应付多少元？ 四、拓展探究 30. 阅读下面的材料，然后解决问题。 因为 =1-，=-，=-，…，一般地有 =-。利用这个式子，可以把一串分数相加的问题转化为“前后相消”的问题。 （1）计算：+++…+； （2）计算：-----； （3）用你发现的方法，直接写出 ++…+ 的结果。 31. 探究活动——“24 点”游戏。规则：给出四个有理数，每个数恰好使用一次，用加、减、乘、除和括号把它们连成一个算式，使结果等于 24。 现给出四个数：-3，4，-6，2。 （1）计算 (-3)×(-6)+4+2，验证它的结果是否为 24； （2）请你再写出一个用这四个数得到 24 的算式，并写出计算过程； （3）小华写出算式 -3-6×4÷2，他说结果是 24。请你判断对错，并指出他错在哪里。 五、限时小测（10 分钟，满分 20 分） 小测1.（3 分）计算：-32+(-2)2。 小测2.（3 分）计算：(-12)÷4×(-3)。 小测3.（4 分）计算：(-+)×(-12)。 小测4.（5 分）计算：-24÷(-4)-(-1)2026×|-5|。 小测5.（5 分）计算：[2-(-3)2]×(-)+(-2)3÷4。 六、参考答案与解析 （一）选择题 1. A　【解析】先乘后加：3×(-4)=-12，-2+(-12)=-14。 2. B　【解析】先乘方：(-2)2=4；再乘：3×(-1)=-3；最后 4-(-3)=4+3=7。 3. C　【解析】乘除同级，从左到右：-6÷2=-3，(-3)×3=-9。若先算 2×3 会错得 -1。 4. B　【解析】(-3)2=9，9×(-)=-3。 5. B　【解析】-22=-4，(-2)2=4，(-4)÷4=-1。注意两个式子的底数不同。 6. A　【解析】(-)×(-8)=4，4+(-3)=1。 7. C　【解析】把 a=-2 代入：(-2)2-2×(-2)+1=4+4+1=9。代入负数时要加括号。 8. A　【解析】|-3|=3，3×(-2)=-6；(-4)÷2=-2；-6+(-2)=-8。 9. C　【解析】A 应为 -32=-9；B 应为 (-2)3=-8；D 应为 0-(-5)=5；C 中 -÷(-2)=-×(-)=，正确。 10. B　【解析】混合运算中乘方级别最高，应最先计算 (-4)2。 （二）填空题 11. -11　【解析】3×(-2)=-6，-5+(-6)=-11。 12. -2　【解析】(-2)3=-8，(-8)÷4=-2。 13. -1　【解析】(-2)2=4，3-4=-1。 14. -1　【解析】-=，(-6)×=-1。也可用分配律：(-6)×-(-6)×=-3+2=-1。 15. -2　【解析】-12026 的底数是 1，12026=1，取相反数得 -1；(-1)2025=-1。故原式=-1+(-1)=-2。 16. -9；9　【解析】-x2=-(-3)2=-9；(-x)2=[-(-3)]2=32=9。 17. 2　【解析】(-)÷=(-)×=-，再 (-)×(-3)=2。 18. -3　【解析】(-2)3=-8，24÷(-8)=-3。 19. 8　【解析】-22=-4，(-4)×(-3)=12，12+(-4)=8。 20. 12　【解析】(-)×(-24)=10；×(-24)=-16；(-)×(-24)=18。故原式=10-16+18=12。 （三）计算专练 21.（1）原式=-8+(-2)=-10； （2）原式=9-(-8)=9+8=17； （3）原式=12+4=16； （4）原式=(-)××(-)=+(××)=1； （5）原式=-1-××(2-9)=-1-×(-7)=-1+=； （6）原式=(-8)×(-)×=+(8××)=4。 【解析】（5）中 -14 的底数是 1，结果为 -1，不是 1；中括号内要先算 (-3)2=9。 22.（1）原式=(-)×(-12)+×(-12)+(-)×(-12)=6+(-4)+3=5； （2）原式=3+9÷(-9)=3+(-1)=2； （3）原式=(-)×(-27)=0×(-27)=0； （4）原式=-4+3×(-1)+2×3=-4-3+6=-1。 【解析】（3）中先算括号内，发现括号内为 0，整个式子的结果就是 0，无需再算 (-3)3。养成“先观察后动笔”的习惯。 23.（1）原式=(-)×(-36)+×(-36)+(-)×(-36)=28+(-30)+27=25； （2）原式=-9÷(9-10)=-9÷(-1)=9； （3）原式=1×[-8+16÷(-8)]=1×(-8-2)=-10； （4）原式=-×(4-6)÷=-×(-2)×4=2。 【解析】（1）中除以 - 就是乘以 -36，再用分配律，比先通分简便得多。 （四）应用题 24.（1）最高的一天记录为 +430，最低的一天记录为 -280，两天营业额相差 430-(-280)=710（元）。 （2）5 天记录之和为 200-150+0+430-280=200（元）， 总营业额为 3000×5+200=15000+200=15200（元）。 （3）15200÷5=3040（元），平均每天营业额为 3040 元。 【解析】用“标准量×天数+各记录之和”求总量，比逐天相加更简便，这是基准思想的典型应用。 25.（1）逐天累计水位：第1天 0.5，第2天 0.2，第3天 0.4，第4天 -0.4，第5天 0，第6天 -0.6，第7天 -0.5。 其中最大的是 0.5，所以第 1 天水位最高，比标准水位高 0.5 m。 （2）一周结束时累计为 -0.5 m，说明水位比标准水位低 0.5 m。 （3）累计水位低于 -0.5 m 的只有第 6 天（-0.6 m），所以有 1 天需要补水。 【解析】题中给出的是“每天的变化量”，而水位高低要看累计值，必须逐天累加，切勿直接用当天的变化量判断。 三、能力提升 26.【解】由 |a|=3 得 a=±3，由 |b|=2 得 b=±2。因为 a<b， 当 a=-3，b=2 时，a+b=-1，(a+b)2=(-1)2=1； 当 a=-3，b=-2 时，a+b=-5，(a+b)2=(-5)2=25； （a=3 时，b=±2 均不满足 a<b，舍去。） 所以 (a+b)2=1 或 25。 27.【解】因为 a 与 b 互为相反数，所以 a+b=0；因为 c 与 d 互为倒数，所以 cd=1；因为 |x|=3，所以 x=3 或 x=-3。 原式=x2-(0+1)x+02025+(-1)2026=x2-x+0+1=x2-x+1。 当 x=3 时，原式=9-3+1=7； 当 x=-3 时，原式=9-(-3)+1=9+3+1=13。 所以原式的值为 7 或 13。 28.【解】对每个数分类：若 a>0，则 =1；若 a<0，则 =-1。b，c 同理。 ① 三个数都为正：1+1+1=3； ② 两正一负：1+1-1=1； ③ 一正两负：1-1-1=-1； ④ 三个数都为负：-1-1-1=-3。 所以所有可能的值为 3，1，-1，-3。 29.（1）超过 3 km 的部分为 9-3=6（km），车费为 8+6×2.4=8+14.4=22.4（元）。 （2）超出起步价的费用为 27.2-8=19.2（元），19.2÷2.4=8（km），所以行程为 3+8=11（km）。 （3）2.5 km 不超过 3 km，只需付起步价 8 元。 四、拓展探究 30.（1）原式=(1-)+(-)+(-)+…+(-) =1-=。 （2）原式=-(++++) =-[(1-)+(-)+(-)+(-)+(-)] =-(1-)=-。 （3）原式=1-=。 【解析】拆项后中间的项两两抵消，只剩首、尾两项，这种方法叫做裂项相消。 31.（1）(-3)×(-6)+4+2=18+4+2=24，结果确实是 24。 （2）答案不唯一。例如 [(-3)-(-6)]×4×2，计算过程为： [(-3)-(-6)]×4×2=(-3+6)×4×2=3×4×2=24。 （3）小华错了。按运算顺序应先算乘除：-3-6×4÷2=-3-24÷2=-3-12=-15，不等于 24。 他的错误在于把 -3-6 先算成了 -9，违反了“先乘除后加减”的运算顺序；若要先算减法，必须给 -3-6 加上括号。 五、限时小测参考答案 小测1. 原式=-9+4=-5。（注意 -32=-9，(-2)2=4。） 小测2. 原式=(-3)×(-3)=9。（乘除同级，从左到右。） 小测3. 原式=×(-12)-×(-12)+×(-12)=-2+9-4=3。 小测4. 原式=-16÷(-4)-1×5=4-5=-1。（-24=-16，(-1)2026=1，|-5|=5。） 小测5. 原式=(2-9)×(-)+(-8)÷4=(-7)×(-)+(-2)=1-2=-1。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $