精品解析：辽宁沈阳市苏家屯区2025-2026学年度下学期期末八年级数学试卷

2025-2026学年度下学期八年级学情调研问卷 数学试卷 （考试时间为120分钟，全卷满分为120分） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，共30分） 1. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运动属于平移的是（ ） A. 电风扇扇叶的转动 B. 石头从山顶滚到山脚的运动 C. 电梯从一楼运动到三楼 D. 荡秋千 4. 如图，﹣3x≤9的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 5. 将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，的面积为 ，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 12. 如图，正六边形任意一个外角的度数为________． 13. 不等式组的解集为________． 14. 如图，一张等边三角形纸片，，点是中点，用尺规过点作边所在直线的垂线，交直线于点 (保留作图痕迹)，则的长为________． 15. 如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________． 三、解答题 16. 解方程、化简求值： （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，中， ，且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 18. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．求A型、B型两种机器人的单价． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长均为1． （1）作关于点B成中心对称的． （2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的，并写出点的坐标． （3）将绕点逆时针旋转，旋转后的三角形记作，点对应点，点对应点，点对应点， ①连接，直接写出旋转过程中的最小值________； ②当与在同一条直线上时，点到直线的距离是________． 20. 如图，在中，点F为边的中点，连接并延长，与的延长线交于点E，连接，平分． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若于点G，，的长为________． 21. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 22. 如图，在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将绕点逆时针方向旋转得到， （1）若，求的度数； （2）如图，连接，交于点． ①若与在一条直线上，，，求的长； ②若，当的长度为________时，为等腰三角形． 23. 如图1，对于平面内的点A、P，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，则称点B是点A关于点P的“旋垂点”． （1）在平面直角坐标系中，点关于点O的“旋垂点”的坐标是 ． （2）直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． ①如图2，当时，在上取一点C，将绕点C逆时针旋转到点D，使点D落在y轴正半轴上，再将绕点D逆时针旋转到点E，使点E落在x轴正半轴上，． 证明：点C是点E关于点D的“旋垂点”． ②点B关于点A的“旋垂点”记为点．若点A在x轴的负半轴上，且，a的取值范围为，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期八年级学情调研问卷 数学试卷 （考试时间为120分钟，全卷满分为120分） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，共30分） 1. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义，则分母不为0，求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 3. 下列运动属于平移的是（ ） A. 电风扇扇叶的转动 B. 石头从山顶滚到山脚的运动 C. 电梯从一楼运动到三楼 D. 荡秋千 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、电风扇扇叶的转动是绕中心的旋转，不属于平移； B、石头从山顶滚到山脚时自身发生转动且运动路径不是直线，不属于平移； C、电梯从一楼运动到三楼是沿竖直方向的平行移动，所有点移动方向和距离均相同，属于平移； D、荡秋千是绕固定点的圆弧摆动，不属于平移． 4. 如图，﹣3x≤9的解集在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可． 【详解】不等式的两边同时除以﹣3得， x≥﹣3， 在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 5. 将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转图形的性质可以得出旋转后的图形. 【详解】解：根据旋转图形的性质： 可以得出旋转后的图形为. 故选A 6. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证出是的角平分线，得出，再利用三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线，， ∴， ∴． 7. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式乘除属于同级运算，按照从左到右的顺序计算，除法转化为乘以除数的倒数，再约分得到结果． 【详解】解： ． 8. 要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得，一次函数的图象与轴交于点，从而即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象与轴交于点， 故的解集是． 10. 如图，的面积为 ，平分，于点P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 12. 如图，正六边形任意一个外角的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】将外角和除以外角的个数6，即可解答． 【详解】解：∵正六边形的外角和，且有6个相等的外角， ∴正六边形任意一个外角的度数为． 13. 不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集. 【详解】解：， 解不等式①，移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式②，不等式两边同乘，不等号方向改变， 得， 根据“同大取大”的解集确定原则，两个不等式的公共部分为， 即原不等式组的解集为. 14. 如图，一张等边三角形纸片，，点是中点，用尺规过点作边所在直线的垂线，交直线于点 (保留作图痕迹)，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等边三角形性质，得到边和角的关系，再根据勾股定理，即可得出的长． 【详解】解：根据题意知，， 点是中点， ， 过点作，垂足为，如图， 为直角三角形， ，， ， ． 15. 如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解． 【详解】解：过点F作FM⊥AC于点M， ∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上， ∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1， ∴EG=， ∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°， ∴， ∴， ∴=，， ∴AM=AE+EM=， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键． 三、解答题 16. 解方程、化简求值： （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可得出结果； （2）先通分，再计算减法即可化简，最后代入的值计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将方程整理得， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 如图，中， ，且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）证明：，， ， ，， ． ． ． （2）证明：， ， ， ∴点A在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】（1）先推导出，再根据证明，得到，则根据等角对等边进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，则，得到点A在的垂直平分线上，继而推导出点在的垂直平分线上，得到垂直平分，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．求A型、B型两种机器人的单价． 【答案】A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元 【解析】 【分析】设A型机器人的单价为万元，根据采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人列出方程并解方程即可． 【详解】解：设A型机器人的单价为万元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解 （万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长均为1． （1）作关于点B成中心对称的． （2）将向右平移4个单位长度，作出平移后的，并写出点的坐标． （3）将绕点逆时针旋转，旋转后的三角形记作，点对应点，点对应点，点对应点， ①连接，直接写出旋转过程中的最小值________； ②当与在同一条直线上时，点到直线的距离是________． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， ， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）首先确定各顶点的初始坐标，关于点B成中心对称，即B是对应点连线的中点，则与B重合，并据此求出、的坐标，依次连接、、即可． （2）向右平移4个单位长度，横坐标，纵坐标不变，据此得到平移后各点的坐标，依次连接即可． （3）①求旋转过程中的最小值，当两点成一条直线时距离最短，所以当点C、、共线时，最小，即为的值，因为点绕旋转得到，因此，根据各点的坐标计算出线段长度即可求解． ②首先明确旋转后的图形位置，确定旋转角以及三角形各边长，在中构造直角三角形，求出；然后过点作于点H，将求到直线的距离转化为求直角三角形的边长，通过角度转换得到，运用正弦函数逆定理即可作答． 【小问1详解】 解：首先确定各顶点的初始坐标（网格小正方形边长为1），，，；作关于点B成中心对称的，中心对称的性质是对称中心B是对应点连线的中点，点B自身的对称点与B重合，由中点公式反推得，，依次连接、、，即可得到． 【小问2详解】 将向右平移4个单位长度得到，平移规则是横坐标，纵坐标不变，则平移后得到，，，依次连接三点即可得到平移后的． 【小问3详解】 ①求绕点逆时针旋转过程中的最小值，旋转时，点绕旋转得到， 因此， 根据点的坐标，由距离公式得； 点C是定点，的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 先计算定点到圆心的距离， 根据圆上一点到定点的距离最小值公式，代入得最小值为． ②当与共线时，如下图，因为是绕点逆时针旋转，所以与重合，落在射线的延长线上， 因此旋转角； 因为，， 所以是等腰三角形，取的中点M，连接，则， 在中，，，则， 所以； 过点作于点H， 是旋转角的补角，是旋转角的补角，因为旋转角相等， 所以， 所以到直线的距离． 20. 如图，在中，点F为边的中点，连接并延长，与的延长线交于点E，连接，平分． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若于点G，，的长为________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵点为边的中点， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】（1）证明，则，再根据即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明，由全等三角形的性质得到，由于点G得到,在中，由勾股定理即可求出，又由点为边的中点即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵于点G， ∴, 在中，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 21. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算 【解析】 【详解】根据题意，得，解得． 答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算． 22. 如图，在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将绕点逆时针方向旋转得到， （1）若，求的度数； （2）如图，连接，交于点． ①若与在一条直线上，，，求的长； ②若，当的长度为________时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2）①；②2或 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质得到，求出；结合等腰直角三角形底角算出；再由旋转全等得到，求出角度． （2）①先证；由旋转性质得为等腰直角三角形，勾股定理求；由旋转得；根据求出；设，则，，在中勾股定理列方程求解． ②由求出相关边长；为等腰三角形，分、、三种情况分类讨论，分别计算的长度． 【小问1详解】 解：点，分别为，的中点， ， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， 将绕点逆时针方向旋转得到， ， ， ， 【小问2详解】 解：①如图， ， ，， ， ， ， 由旋转得：，， 为等腰直角三角形， ， 是中点，， ， ，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； ②如图，连接， ， ，， ∴， ， ，分别为，中点， ，，， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ，， 等腰直角三角形， ． 分三种情况讨论为等腰三角形： 当时，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别为，的中点，， ∴， ∴． 当时，， ∵，， ， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 当时，，如图， ∴， ∴，此时点与点重合，不符合题意． 综上：的长度为或． 23. 如图1，对于平面内的点A、P，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，则称点B是点A关于点P的“旋垂点”． （1）在平面直角坐标系中，点关于点O的“旋垂点”的坐标是 ． （2）直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． ①如图2，当时，在上取一点C，将绕点C逆时针旋转到点D，使点D落在y轴正半轴上，再将绕点D逆时针旋转到点E，使点E落在x轴正半轴上，． 证明：点C是点E关于点D的“旋垂点”． ②点B关于点A的“旋垂点”记为点．若点A在x轴的负半轴上，且，a的取值范围为，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）①当时，，，． ，． 过点作轴．垂足为M， 由旋转可知， ， ． 把代入得． ， ， 中， 在与中， ，，， ， ， ． ， 即． ， ， ∴点是点E关于点D的“旋垂点”． ② 【解析】 【分析】（1）根据定义画出图形并用旋转的性质进行解答即可； （2）①证明，，根据定义即可得到结论； ②把点代入，得，解得；把点代入，解得．由a的取值范围为即可得到k的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， ∴在中，， ∵线段绕点O逆时针旋转得到线段，绕点O逆时针旋转得到线段，线段绕点O逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即点关于点O的“旋垂点”的坐标是； 【小问2详解】 ①略 ②由题意可得：， 在中，令，得， ， ∴． 当时，，则， ∴． 把点代入，得，解得； 当时，，则， ∴． 把点代入，解得． ∵a的取值范围为， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $