21.2.2 配方法（第2课时：配方法的应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 21.2.2配方法（第2课时）同步练通过A/B/C三层设计，以基础巩固为核心，能力提升为衔接，综合实践为拓展，构建从单一配方到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|配方法基本应用（求最值、比较大小等）|单选/填空/解答结合，夯实运算能力与推理意识| |B能力提升|配方法与方程、多项式综合应用|含整数解分析等中档题，发展抽象能力| |C综合与实践|新定义“ A方程”的探究应用|结合根的概念设计开放题，提升模型意识与创新意识|

21.2.2 配方法（第2课时：配方法的应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 2．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 3．当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 4．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据一次函数的系数判断函数增减性，再作差比较两个点的横坐标大小，结合增减性即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， 对两个点的横坐标作差得，； ∵， ∴，即， ∵点都在该一次函数图象上，且，随增大而减小， ∴． 5．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 6．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 8．已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【答案】50 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为50； 故答案为50． 三、解答题 9．已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 【答案】(1)x为-1或-3时，代数式A的值比B的值大2 (2) 解： ∵， ∴， ∴， ∴对于任意的值，代数式A的值恒大于B的值． 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； （2）略 10．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）略 【B能力提升】 1．假设方程至少有一个整数解，那么k不可能是下列哪个数？（） A．8 B．15 C．24 D．30 E．48 【答案】D 【分析】本题可通过对原方程配方，根据整数解的性质得到必为完全平方数，再逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程至少有一个整数解，为整数， 为整数，因此必为完全平方数． 对各选项逐一验证∶ 选项A∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项B∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项C∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求； 选项D∶，，31不是完全平方数，不存在整数解，符合要求； 选项E∶，，是完全平方数，存在整数解，不符合要求． 因此不可能是30． 2．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 3．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 4．若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 5．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】 证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可． 【详解】略． 【C综合与实践】 1．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.2 配方法（第2课时：配方法的应用） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 4．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 6．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 8．已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 三、解答题 9．已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 10．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【B能力提升】 1．假设方程至少有一个整数解，那么k不可能是下列哪个数？（） A．8 B．15 C．24 D．30 E．48 2．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 3．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 4．若，当________时，的最大值是________． 5．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【C综合与实践】 1．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $