20.2.3 二次根式的除法（第2课时：最简二次根式、分母有理化） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象、运算及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|最简二次根式概念、基本运算|单选/填空夯实基础，计算题培养运算能力| |B能力提升|综合判断、几何应用|多根式辨析提升推理意识，几何情境强化空间观念| |C综合与实践|阅读理解与问题解决|通过材料探究发展创新意识，实际问题培养应用能力|

20.2.3 二次根式的除法 （第2课时：最简二次根式、分母有理化） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．实数的倒数（   ） A． B．5 C． D． 2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 5．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 6．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 二、填空题 7．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 8．已知，则的近似值为________． 三、解答题 9．计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 10．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【B能力提升】 一、单选题 1．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，分别为的中点，若，则的长为（     ） A．5 B． C． D．7 二、填空题 3．当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 4．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 三、解答题 5．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【C综合与实践】 1．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 2．楠楠同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2.3 二次根式的除法 （第2课时：最简二次根式、分母有理化） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．实数的倒数（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数定义．根据题意利用倒数定义直接计算即可． 【详解】解：∵的倒数：， 故选：D． 2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边同时除以，然后分母有理化即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化，正确计算是解题的关键． 3．下列式子中，为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 4．如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．　 【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为： 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 5．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 6．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 二、填空题 7．若式子是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x的值________． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数为非负数且不含能开得尽方的因数的即可. 【详解】解：令， 解得， 此时是最简二次根式，符合要求. 8．已知，则的近似值为________． 【答案】0.707 【分析】先化简，再把近似值代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：0.707． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把式子化为最简二次根式是解题的关键． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，将分子分母同乘分母的根式，把分母根号去掉，再化简即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 10．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2）解：当时，． 【B能力提升】 一、单选题 1．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 所以最简二次根式共2个，故A选项符合题意． 2．如图，在中，分别为的中点，若，则的长为（     ） A．5 B． C． D．7 【答案】B 【分析】由中位线的性质可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ∵， ∴， ，， ∴． 二、填空题 3．当 ______ 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 4．设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 三、解答题 5．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式性质和化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简即可； （2）利用二次根式的性质进行化简即可； （3）利用二次根式的性质进行化简即可； （4）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【C综合与实践】 1．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可； （2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 2．楠楠同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对a进行分母有理化，再结合完全平方公式求解． （2）利用第一问得到的关系对第二问的高次代数式降次，整体化简后约分得到结果． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：由（1）可知：，且， ∴， ， ∴原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $