21.2.1 直接开平方法和因式分解法（第2课时：用因式分解法解二次方程）同步练习 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦因式分解法解二次方程，采用A/B/C三层递进设计，覆盖基础巩固、能力提升与综合实践，适配新授课分层教学需求，助力数学思维与应用意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|因式分解法解方程、根与方程关系|选择/填空/解答题结合，夯实运算能力与概念理解| |B能力提升|方程解的综合应用、物理情境问题|综合选择与实际应用题，发展推理意识与模型意识| |C综合与实践|十字相乘法拓展|方法迁移题，培养创新意识与数学探究能力|

21.2.1 直接开平方法和因式分解法 （第2课时：用因式分解法解二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 2．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 4．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 6．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（   ） A．23 B．23或33 C．24 D．24或30 【答案】B 【分析】先求方程的解 ，再根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴7，11，5能组成三角形， ∵， ∴7，11，15能组成三角形， ∴该三角形的周长是或， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 二、填空题 7．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 8．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 三、解答题 9．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ∴或， 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 则或， 解得，； （4）解： 整理得， 或， 解得，； 10．用因式分解法解下列方程： (1) 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 解得． (2) 【详解】解： ， ， ， ， 或， ． （3） 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得． 【B能力提升】 1．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 3．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 【答案】2 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 4．方程的根是_____． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再将方程两边平方转化为一元二次方程求解，最后验根得到原方程的根即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得 ， 解不等式组得， 原方程两边同时平方，得， 移项整理得， 因式分解得， 解得， ∵不满足，故舍去， 因此原方程的根为． 5．已知代数式和的值互为相反数，求的值． 【答案】， 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 即或， 解得，． 【C综合与实践】 1．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.1 直接开平方法和因式分解法 （第2课时：用因式分解法解二次方程） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 4．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 6．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（   ） A．23 B．23或33 C．24 D．24或30 二、填空题 7．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 8．方程的解为_____． 三、解答题 9．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) 【B能力提升】 1．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 3．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 4．方程的根是_____． 5．已知代数式和的值互为相反数，求的值． 【C综合与实践】 1．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $