学易金卷：高二数学上学期第一次月考03（人教A版，范围：选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何、直线和圆的方程，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、几何直观与逻辑推理，适配高二学段月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线倾斜角、向量共面、圆的对称|第7题结合四点共面条件，考查空间向量基本定理的应用| |填空题|3题/15分|向量投影、基底坐标转换|第13题通过基底转换，深化向量表示的数学抽象| |解答题|5题/77分|线面平行证明、空间角计算、圆的方程|16题以四棱锥为载体，融合线面平行证明与线面角求解，体现逻辑推理与几何直观；19题正四棱台背景下轨迹与体积最值问题，考查创新应用能力|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B D C A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为．（6分） （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为．（13分） 16．（15分） 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，（2分） 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以，（4分） 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面．（7分） （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，（8分） ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，（11分） 设直线与平面所成角为， 则，（14分） 所以，直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 17．（15分） 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面．（5分） （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，，（6分） 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则（9分） 设平面法向量， 则，令，则（12分） 设平面与平面夹角， 则，（14分） 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心，（2分） 因为圆心在直线上，代入得：，得，（4分） 将代入原方程，得圆C的方程为：，（5分） 配方为标准方程：.（6分） （2）假设存在斜率为1的直线，设，（6分） 联立方程组，消去得；（7分） 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得，（9分） 由韦达定理得，（10分） 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即，（12分） 所以，即，（13分） 代入得：，（14分） 化简得：，解得或.且满足，（16分） 故存在这样的直线，方程为或.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）（ii） 【详解】（1）连结交于，连接交于点，连结， 在等腰梯形中，分别为中点，可得， 在正方形中，，又，平面， 所以平面，因为平面，所以，（2分） 作，为垂足，在等腰梯形中，， ，得，由得， 在中，，所以即，（4分） 又平面，，所以平面.（5分） （2）（i）因分别为正四棱台的两底面的中心， 则平面，且， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ，（6分） 则，，， 设平面的一个法向量， 则，故可取，（8分） 设在平面上的投影为点，则，（9分） 设直线与平面所成角为，则，解得，（10分） 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的轨迹长度为.（11分） （ii）设的坐标为， 因，即，得， 设， 即， ，解得，，从而，（13分） 记点到的距离为，则，（14分） 所以点到距离的最大值为，所以，（15分） 又， 记点到平面距离为，则，（16分） 所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 4．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．8 D．4 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 5．若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 6．如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 7．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 8．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为， 对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大， 若，则在中，，则， 所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则（   ） A．恒过定点 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 【答案】AC 【详解】，直线恒过定点，A选项正确； 若，则，∴， 且当时，，，也成立，B选项错误； 若，则，即，则，C选项正确； 时，斜率不存在，倾斜角为，时，直线斜率为，倾斜角不是， 于是无论如何取值，倾斜角不可能是，D选项错误. 故选：AC. 10．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 11．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理可得， 取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得， 因为， ，所以， ， 故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：如图4，设，， 则，作，垂足为T，连接ET， ，，可得， ，，， 故，当且仅当时“＝”成立， 即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值． 取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为， 因为E，F分别为BD，中点，所以， 又R是EF中点，所以, 则为二面角的平面角， 而，得， 即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在向量上的投影的模为___________. 【答案】 【详解】向量在向量上的投影向量为 ， 则投影的模为. 13．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 14．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 16．（15分）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 19．（17分）如图，正四棱台中，，，. (1)求证：平面； (2)若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）（ii） 【详解】（1）连结交于，连接交于点，连结， 在等腰梯形中，分别为中点，可得， 在正方形中，，又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 作，为垂足，在等腰梯形中，， ，得，由得， 在中，，所以即， 又平面，，所以平面. （2）（i）因分别为正四棱台的两底面的中心， 则平面，且， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设在平面上的投影为点，则， 设直线与平面所成角为，则，解得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的轨迹长度为. （ii）设的坐标为， 因，即，得， 设， 即， ，解得，，从而， 记点到的距离为，则， 所以点到距离的最大值为，所以， 又， 记点到平面距离为，则， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D C A 以 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 4．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．8 D．4 5．若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 8．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则（   ） A．恒过定点 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 10．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 11．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在向量上的投影的模为___________. 13．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 14．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 16．（15分）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，正四棱台中，，，. (1)求证：平面； (2)若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+第二章直线和圆的方程 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 4．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．8 D．4 5．若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 8．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则（   ） A．恒过定点 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 10．已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 11．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在向量上的投影的模为___________. 13．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 14．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 16．（15分）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，正四棱台中，，，. (1)求证：平面； (2)若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $