第1章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的共线、共面及参数求解，通过问题导思衔接平面向量旧知，以新知构建、典例解析、规律方法总结为支架，形成从定义到应用的递进学习链。 其亮点在于以数学抽象（共线共面定义）、逻辑推理（三点共线证明）、数学运算（参数求解）为核心，采用类比迁移、转化化归教学法，通过表格小结梳理方法与易错点，助力学生提升空间观念，教师可依托分层评价高效实施教学。

1.1.1　空间向量及其线性运算 第2课时　共线向量与共面向量 　 第一章 空间向量与立体几何 单元学习一 空间向量及其运算 任务一　共线向量 1 任务二　共面向量 2 任务三　由共线向量、共面向量求参数 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.理解共线向量、共面向量的定义，培养数学抽象的核心素养． 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，提升逻辑推理的核心素养． 3.会证明空间三点共线、四点共面，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 任务一　共线向量 返回 (阅读教材P4，完成探究问题1) 问题1.平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间 向量． 问题导思 1.向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_______. 2.直线的方向向量 (1)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得________． (2)我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的__________． (3)空间直线可以由直线上一点和它的__________确定． 新知构建 a＝λb ＝λa 方向向量 方向向量 (1)0与空间任意向量a都是共线向量．(2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一．(3)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 微提醒 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线． 证明：设BD的中点为O，连接GB，GD，GC1，GO，OC，如图所示， ＝＋＋＝＋＋. 典例 1 因为G为△BC1D的重心，所以＝＝－)＝＋－)＝＋－， 所以＝＋＝＋＋－＝＝， 所以∥，且有公共点C，即A1，G，C三点共线. (变条件，变结论)将本例条件改为：如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝ 1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c， 由＝＝，所以＝， 则＝＋＝＋＝＋＋)＝－＋××＋)＝－a＋(b－a＋c－a)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋＋)＝－a＋b＋c＝. 所以∥且有公共点B，即B，G，N三点共线. 变式探究 规律方法 向量共线的判定及应用 1.判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． 2.判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ． 注意：对空间任意一点O，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线．　　 对点练1.(1)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？_______(填“是”或“否”)． 是 解析：法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋①.又因为＝＋＋＋＝－＋－－②，①＋②得2＝，所以∥，即共线. 法二：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，所以＝－＝＋)－＝＋)－＋)＝－)＝－)＝.所以∥，即共线. (2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝_____． 1 由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1. 返回 任务二　共面向量 返回 (阅读教材P4，完成探究问题2) 问题2.(1)空间中任意三个向量是否共面？ 提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面． (2)平行于同一平面的两直线的位置关系如何？ 提示：平行于同一平面的两直线的位置关系可能相交、平行或异面． 问题导思 1.向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线OA____________或__________，那么称向量a平行于平面α． 2.共面向量 新知构建 定义 平行于同一个______的向量 三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝_______ 平行于平面α 在平面α内 平面 唯一 xa＋yb 向量p与向量a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 微提醒 角度1　证明向量共面 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面． 证明：因为＝k＝kb＋kc， ＝＋＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb， 所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 由共面向量定理可知，，a，c共面. 典例 2 规律方法  向量法证明空间三向量共面 　　设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．　　 对点练2.已知向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由． 解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y＝a＋(x－3y)b＋c， 因为向量a，b，c不共面，故 解得故r＝3p－5q， 由空间向量共面定理得向量p，q，r共面. 角度2　证明空间中四点共面 (链教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， 因为M为线段DD1的中点，所以＝c－a， 又因为AN∶NC＝2∶1， 所以＝＝(b＋c)， 典例 2 所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋＝， 所以，，为共面向量. 又因为三向量有相同的起点A1， 所以A1，B，N，M四点共面． 规律方法 　　四点共面问题，需利用共面向量的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．一般来说，证明点P在平面ABC内，有如下三种方法： 1.若，则点P在平面ABC内． 2.若对空间任意一点O，有，则点P在平面ABC内． 3.若对空间任意一点O，有(其中x＋y＋z＝1)，则点P在平面ABC内． 注意：上述中的x，y，z均为实数． 对点练3.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； 证明：因为＝－＝)－＝－， ＝＝－)＋＝－， 所以＝，即，，共面，又，，过同一点E， 所以E，F，G，H四点共面. (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有)． 证明：由题意可知四边形EFGH为平行四边形，M为EG的中点， 故)＝(2＋2)＝)＝×2×＝. 返回 任务三　由共线向量、共面向量求参数 返回 (1)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝－a＋2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝_____． 典例 4 －3 因为＝＋，已知＝－2a－b，＝－a＋2b，所以＝ (－2a－b)＋(－a＋2b)＝－3a＋b.因为A，B，D三点共线，所以共线，即存在实数λ，使得＝λ.已知＝9a＋mb，＝－3a＋b，则9a＋mb＝λ(－3a＋b).根据向量相等的性质，可得 (2)已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若＝ －＋t，且A，B，C，P四点共面，则t＝_____． 　 因为A，B，C，P四点共面，则＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，又＝－＋＋t，即－＝－＋＋t，即＝＋＋t.所以＋＋t＝1，解得t＝. (3)已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j ＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝______． 因为a，b，c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.因为i，j，k是不共面向量，所以所以λ. 规律方法 1.若已知A，B，C三点共线，则＝λ(λ∈R)，然后利用指定向量表示出，根据对应的指定向量的系数相等列出方程组，从而求出参数． 2.若已知点P在平面ABC内，则有(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．　　 对点练4.(1)已知e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，向量a＝e1＋μe2＋4e3，b＝3e1＋9e2＋λe3，若a与b共线，则λ＋μ＝ A．－3　　 B．3　　 C．－15　　 D．15 √ 若a与b共线，设a＝kb(k∈R)，所以e1＋μe2＋4e3＝k(3e1＋9e2＋λe3)，因为e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，所以(1－3k)e1＋(μ－9k)e2＋(4－kλ)e3＝0，可得故λ＋μ＝15.故选D. (2)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为 A．0　　 B．2　　 C．－1　　 D．－2 √ 因为＝－2＋5－m，动点Q在△ABC所在平面内运动，所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 1.直线的方向向量．2.空间向量共线的充要条件.3.空间向量共面的充要条件.4.证明三点共线、四点共面以及由共线、共面求参数 方法提炼 类比法、转化法、数形结合思想 易错警示 混淆向量共线与线段共线、点共线 随堂评价 返回 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是 A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 √ 由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量． 2.(2025·安徽合肥检测)已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足λ，则λ＝ A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 因为点M在平面ABC内，且λ，所以λ＋1，解得λ.故选D. 3.(多选)下列命题中是真命题的是 A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C．若x＋y，则P，M，A，B四点共面 D．若P，M，A，B四点共面，则x＋y √ √ 由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则x＋y不成立，D是假命题.故选AC. 4.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知2e1＋ke2，e1＋3e2，2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为______． －8 因为e1＋3e2，2e1－e2，可得(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2.又因为A，B，D三点共线，故可设λ，即2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2).因为e1，e2不共线，所以解得k＝－8，所以实数k的值为－8. 返回 课时分层评价 返回 1.(概念辨析)下列命题中正确的是 A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行 B．若向量a，b，c共面，则它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb √ 对于A，若a∥b，b∥c，当b＝0时a与c所在直线可以不平行，故A不正确；对于B，向量a，b，c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，故B不正确；对于C，根据向量共面定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确；对于D，若a∥b且b≠0，则存在唯一的实数λ，使a＝λb，故D不正确．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知非零向量a，b，且a＋2b，－5a＋6b，7a－2b，则一定共线的三点是 A．A，B，D　　 B．A，B，C C．B，C，D　　 D．A，C，D √ 因为＝＋＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2025·安徽合肥六校检测)在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 A.＝－2－ B.＋3＋5＝0 C.＝＋＋ D.＋＋＋＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，－2－，由于1－2－1＝－2≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，故A不符合题意；对于B，由于－3－5，则，，为共面向量，所以M，A，B，C共面，故B符合题意；对于C，，由于≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，故C不符合题意；对于D，由0得－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，故D不符合题意.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.与共线是直线AB∥CD的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 根据向量共线的定义，可知若共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则共线.根据充分条件和必要条件的概念，可知共线是直线AB∥CD的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在四面体ABCD中，点E满足λ，F为BE的中点，且，则实数λ＝ A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由F为BE的中点，得，又，所以.由λ，得－λ(－)，即λ＋(1－λ)，所以λ.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足λ＋μ，λ，μ∈，则下列说法正确的是 A．当λ＝0时，点P在棱BB1上 B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当λ＝0时，μ，所以∥，又μ∈， 则点P在棱BB1上，故A正确；当λ＝μ时，λ( )＝λ，λ∈，所以点P在线段BC1上， 故B错误；当μ＝1时，λ，所以 λλ，所以∥，又λ∈，所以点P在棱B1C1上，故C正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以λ＋(1－λ)，λ∈，即λ，所以点P在线段B1C上，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设向量e1，e2，e3不共面，已知e1＋e2＋e3，e1＋λe2＋e3，4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝______. 3 因为e1＋e2＋e3，e1＋λe2＋e3，4e1＋8e2＋4e3，所以2e1＋e2＋2e3，因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数x使得x，所以，所以λ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＋x＋y，2x＋y，则x＋3y＝_____. 由点A，B，C，D共面，得＋x＋y＝1①.又由点B，C，D，E共面，得2x＋＋y＝1②.联立①②，解得x，y，所以x＋3y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，2，λ， 若D1，E，F，G四点共面，则λ的值为_____． 如图所示，由题意，EF⊂平面ABB1A1，D1G⊂平面CDD1C1， 平面ABB1A1∥平面CDD1C1.由D1，E，F，G四点共面，所以 EF∥D1G.取M，M1分别满足，. 取N，N1分别为BB1，CC1的中点.知EF∥MN∥M1N1，所以只 需D1G∥M1N1即可，所以2，所以CGCC1，所以λ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE． 求证：向量，，共面． 证明：因为M在BD上，且BMBD， 所以. 同理，. 所以. 又不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2025·浙江金华十校调研)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点，2，λ，D，E，F，G四点共面，则 λ＝ A．1　　 B．　　 C．　　 D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，根据题意可得. 因为2，所以，且， ，，所以 .因为 λ，所以，，所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面 的性质，有x＋y，所以 x＋y() ＋(，所以所以λ＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在以下命题中，不正确的命题是 A．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 C．若与共线，则AB与CD所在直线平行 D．若Q为△ABC的重心，则 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在三棱柱ABC-A1B1C1中，令a，b，c，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故A不正确；若a，b同向共线，则｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜，故B不正确；由向量平行知C不正确；若Q为△ABC的重心，则0，所以33，所以3，即，故D正确.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M，N，P三点的平面α交棱BC于 Q，设λ，则λ＝_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a，b，c，则a －c，－c＋a－b＋c＝a－b， λb－c，由题意可知，，， 共面，设m＋n，即λb－c＝m＋na－nb－mc，所以m＋n＝0，λ＝－n，－m＝－，解得m＝1，n＝－，λ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面． 证明：如图所示，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH． 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R分别为所在边的中点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有 ，，，. 因为四边形MNQR为平行四边形， 所以－－)－)＋－)××. 所以，，为共面向量， 又因为三向量有相同的起点E， 所以E，F，G，H四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面及其内部的点，若点P满足m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点P满足m＋n＋k，其中m，n，k∈ R，且m＋n＋k＝1，所以A，M，N，P四点共面，又因 为点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，所以 CN＝B1N，AM＝MC，连接MN，AB1，则MN∥AB1，所 以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上及其围成的三角形内部的点.所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，－，则三棱锥A-MBC的体积是____． 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 因为－，则15－＋3 ＋4，即15－－＋3＋3＋4＋4， 即9－＋3＋4，所以－ ，因为－1，则在平面ABC内存在一点D，如图所示，使得－成立，即，所以，即，则，又三棱锥P-ABC的体积为15，则VA-MBCVP-ABC×15＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 $