1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦共线向量与共面向量，通过回顾平面向量共线条件引出空间向量共线，再以“空间三个向量是否共面”问题过渡到共面向量，构建从平面到空间的知识迁移支架。 其亮点在于以问题链驱动探究培养数学眼光，结合正方体模型例题（如E、F、B三点共线证明）强化逻辑推理（数学思维），规范向量表达式书写（数学语言）。采用转化化归方法，帮助学生抽象空间关系，随堂演练巩固重难点，提升学生空间观念与教师教学效率。

第2课时 第一章 <<< 共线向量与共面向量 1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的条件和向量共面的条件(重点). 3.会证明空间三点共线、四点共面(难点). 学习目标 空间向量共线 提示　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 两个平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 问题1 1.共线向量及其判断 共线(平行)向量：(定义1)若干有向线段所在直线互相平行或重合的空间向量； (定义2)若干方向相同或相反的空间向量； 向量共线的充要条件：对于任意两个空间向量 ， ①作用：判定两个向量是否共线(找λ). ②推论：判定三点是否共线(同起点&系数和为1;或转化为向量共线). 2.直线的方向向量 说明一条直线有无数个方向向量，它们互为共线向量。 O是直线l上一点，在直线l上取非零向量， 则对于直线上任意一点P，由向量共线的充要条件知，， 故把与平行的非零向量称为直线l的方向向量。 直线l可以由其上一点和它的方向向量确定. 例1 若向量a与b不共线且m=a+b,n=a-b,p=a,则(　　) A.向量m,n,p共线 B.向量m与向量p共线 C.向量n与向量p共线 D.向量m,n,p共面 D 解析 因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,则p=m+n.又向量m与向量n不共线,所以向量m,n,p共面,故A错误,D正确;因为m≠λp,n≠μp,λ,μ∈R,所以向量m与向量p不共线,向量n与向量p不共线,故B,C错误. 证明 设=a,=b,=c. 因为=2,所以, 所以b,)=)=a+b-c. 所以a-b-c=. 又 =- =-b-c+a=a-b-c, 所以. 因为有公共点E,所以E,F,B三点共线. 例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P为棱B1C1的中点. 求证:MN∥BP. (1)判断两向量a，b(b≠0)是否共线，就是判断是否存在实数λ，使a＝λb成立. (2)证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立. 反 思 感 悟 12 空间向量共面 提示　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个 向量是否共面？ 问题2 提示　如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b共面.反过来，向量p与向量a，b共面时，p＝xa＋yb. 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb? 问题3 1：共面向量的定义 向量与平面平行：若表示向量的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，则称向量平行于平面α. 共面向量：平行于同一个平面的向量. ②任意两个空间向量必共面. ③任意三个空间向量可能共面，也可能不共面. 注：①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面. 2：向量共面的判定 任意三个空间向量可能共面，也可能不共面. 回顾平面向量基本定理： 共面 思考：什么情况下三个空间向量共面？ 任意两个空间向量一定共面. 可平移到 同一平面内 3：向量共面的判定 向量共面的充要条件： 作用: 判定三个向量是否共面(找x,y). 推论: 判定四点是否共面(同起点/系数和为1，或转化为三个向量共面). 例4 (2026·河南省郑州外国语学校月考)已知为空间任意一点，,,, 满足任意 三点不共线，但四点共面，且，则 的值为( ) B A. B. C. D.1 【解析】 （共面向量定理） 因为,,, 满足任意三点不共线，但四点共面， 所以存在,，使得 ，（【思路引导】将该表达式转化为与题 目中的式子相同的形式） 因为，， ， 所以 ， 19 即 ， 因为 ， 所以解得 . （推论）,,,任意三点不共线，根据四点共面的充要条件，若， ， ，四点共面，则，则 ，解 得 . 20 解 (1)共面.证明如下: 因为, 所以6=3+2, 所以3-3=(2-2)+(), 因此3=2=-2. 故向量共面. (2)在.证明如下: 由(1)知向量共面,三个向量又有公共点M, 故M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内. 例6　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1.求证:共面. 证明 因为 ), 所以 )- )+, 所以共面. (1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明. 向量共面的判定及应用 反 思 感 悟 24 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)空间向量共线的条件. (3)空间向量共面的条件. (4)三点共线、四点共面的证明方法. 2.方法归纳：转化化归、类比. 3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线. 课堂小结 随堂演练 题型一 向量共线问题 1.（2025湖南永州期中）下列条件中,能说明空间中不重合的三点,, 共线的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 无论,,三点是否共线， 都成立； 若,则,而,所以,即点, 重合,与 题干条件矛盾； ,共线,且，有公共点,所以,, 三点共线； 由只能得到,不能得到,, 三点共线. 27 2.（2026天津武清区检测）设向量,,不共面,已知 , ,,若,,三点共线,则 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 利用三点共线可以构造出平行向量.已知且向量表达式复杂,保持不动, 中 含参数且表达式较简单，故构造 . 【解析】 因为,,三点共线,所以,则存在实数 ,使得 （共线向量定 理）,由已知得, , 则解得 ,因为向量,,不共面,所以由 ， 可得向量表达式中,,的系数对应成比例,即,解得 . . . 28 题型二 向量共面问题 3. （多选/2025四川绵阳检测）下列命题中为真命题的是( ) CD A.若,都是直线的方向向量,则必有 B.为空间任意一点,若,且,,,四点共面,则 C.若,为不共线的向量,,,则 D.若向量,,是三个不共面的向量,且满足等式 ,则 29 【解析】 一条直线的方向向量有多个,它们是平行向量,方向相同或相反,模长可以 不同； 注意【大招2】共面向量定理的推论（2）中四个向量共起点,需利用向量减法转化: ,则,所以 , （本题易误认为,解得 ）； 因为,所以 ； 假设存在不全为零的实数,,,使得,不妨设 ，则 ,此时，，共面，与,, 不共面矛盾,所以只有 时, . . . 30 4.（2026陕西宝鸡金台区期中）已知，，，是空间不共面的四点，点 满足 ，则( ) C A.，，，四点共面 B.，，， 四点共面 C.，，，四点共面 D.，，， 四点共面 【解析】 因为，所以 ，即 ，故，所以，，， 四点 共面，且其中任意三点不共线(注意不共线,且,所以 三点 不共线)，故选项C正确；由上可知，点不在平面 内，故选项A，B，D错误. 31 5. （2025陕西铜川检测）如图,在四面体中,,,,分别是,,, 的中点. （1） 求证：,,, 四点共面; 32 【答案】 方法一：用综合法证明（1）. 因为,分别是,的中点,所以是 的中位线,则 . 同理可得,所以,故,,, 四点共面（两条平行直 线确定一个平面）. 方法二：用共线向量证明（1）. 因为,分别是,的中点,所以是的中位线,所以.同理 , 所以,且,,,四点不共线，故四边形为平行四边形,即,,, 四点共面. 方法三：用共面向量证明（1）. . . 33 易知是的中位线,所以.连接,因为, 分别是 , 的中点,所以 , 由向量共面的充要条件知,,共面.又这三个向量过同一点 , 从而,,, 四点共面. （2） 求证：平面 ； 【答案】 方法一：用综合法证明（1）. 因为,分别为,的中点,所以为 的中位线,所以 . 因为 平面, 平面,所以平面 ． 方法二：用共线向量证明（1）. 同方法一. 方法三：用共面向量证明（1）. 同方法一. 35 （3） 设是和的交点,求证：对空间任意一点 ,都有 ． 36 【答案】 方法一：用综合法证明（1）. 由（1）知且,所以四边形 为平行四 边形,所以为 中点. 连接，，因为,分别是, 的中点, 方法二：用共线向量证明（1）. 由（1）知四边形为平行四边形,所以为 的中点.下同方法一. 方法三：用共面向量证明（1）. 易知是的中位线,所以.由（1）知, 所以 ,故四边 形为平行四边形,所以为 的中点. 下同方法一. 所以 ,即证. 37 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且.求证:E,F,B三点共线. 思路分析 可通过证明共线来证明E,F,B三点共线. 证明 .因为BM=BA1,B1N=B1D1, 所以=-=-)+) =. 又因为P为B1C1的中点, 所以=, 从而为共线向量. 因为直线MN与BP不重合,所以MN∥BP. 例5 已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,点M满足 . (1)判断三个向量是否共面; (2)判断点M是否在平面ABC内. 思路分析 要证明三个向量共面,只需证明存在实数x,y,使=x+y,证明了三个向量共面,即可说明点M就在平面内. ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1). (2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x ＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量， 用待定系数法求出参数. $