第5章 5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数的导数，涵盖复合函数概念、求导法则及切线问题、实际应用等内容。通过问题思考导入，衔接基本初等函数导数知识，以“概念辨析—法则推导—应用实践”为支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其亮点在于以问题驱动探究，结合典例分析和分层练习，培养逻辑推理与数学运算核心素养。如通过潮水高度模型应用体现数学建模，采用任务式结构与规律方法总结，学生能系统掌握知识，教师可利用分层评价实施精准教学，提升教学效率。

5.2.3　简单复合函数的导数 　 第五章　单元学习六　导数的运算 学习目标 1. 了解复合函数的概念，理解函数复合的过程，掌握复合函数的求导法则，培养逻辑推理的核心素养． 2．利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则能求简单的复合函数(限于形如y＝f(ax＋b))的导数，提升数学运算的核心素养． 3．能利用复合函数的导数解决与切线有关的问题和实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养． 内容索引 任务一　复合函数的概念 1 任务二　复合函数的导数 2 任务三　复合函数导数的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　复合函数的概念 返回 (阅读教材P78－79，完成探究问题1) 问题1.函数y＝ln(2x－1)和y＝(2x－1)ln x分别是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数. 而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思. 问题导思 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝_________. 新知构建 f(g(x)) 内、外层函数通常为基本初等函数. 微提醒 指出下列函数是怎样复合而成的: (1)y＝(3＋5x)2； 典例 1 解：y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的. (2)y＝log3(x2－2x＋5)； 解：y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的. (3)y＝cos 3x； 解：y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的. (4)y＝102x＋3. 解：y＝102x＋3是由函数y＝10u，u＝2x＋3复合而成的. 判断复合函数的复合关系的一般方法 　　从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系. 这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数. 规律方法 对点练1.(1)函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是 A.φ(x)＝2x B.φ(x)＝sin x C.φ(x)＝2x－1 D.φ(x)＝sin(2x－1) y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1. 故选C. √ (2)(多选)下列哪些函数是复合函数 A.y＝log2(2x＋1) B.y＝2x2－ C.y＝2ln x D.y＝cos 根据复合函数的定义，选ACD. √ √ √ 返回 任务二　复合函数的导数 返回 (阅读教材P79－80，完成探究问题2) 问题2.如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y'＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u'＝2，发现y'x＝y'u·u'x. 问题导思 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝_________，即y对x的导数等于______________________________. 新知构建 y'u·u'x y对u的导数与u对x的导数的乘积 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构. (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则. (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 微提醒 (链教材P79例6)求下列函数的导数： (1)y＝； 解：y＝可以看作函数y＝ u－4和u＝1－3x的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(u－4)'·(1－3x)'＝－4u－5(－3)＝. 典例 2 (2)y＝sin； 解：y＝sin可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(sin u)'·'＝2cos u＝2cos . (3)y＝log2(2x－1)； 解：y＝log2(2x－1)可以看作函数y＝log2u和u＝2x－1的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(log2u)'·(2x－1)'＝·2＝＝. (4)y＝e3x＋2. 解：y＝e3x＋2可以看作函数y＝eu和u＝3x＋2的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝(eu)'·(3x＋2)'＝3eu＝3e3x＋2. 1．求复合函数导数的步骤 规律方法 2．求复合函数导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数． (2)求导时分清是对哪个变量求导． (3)计算结果尽量简洁． 规律方法 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝； 解：因为y＝， 所以y'＝＝. (2)y＝e－xsin 2x； 解：y'＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x ＝e－x(2cos 2x－sin 2x). (3)y＝ln －1； 解：因为y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1， 所以y'＝××(2x＋1)'＝. (4)y＝cos(－2x)＋32x＋1. 解：y'＝2sin(－2x)＋(2x＋1)'32x＋1ln 3 ＝－2sin 2x＋2·32x＋1ln 3. 返回 任务三　复合函数导数的应用 返回 角度1　与切线有关的问题 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为 A. B.2 C.3 D.0 √ 典例 3 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.因为y'＝，所以y'＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0).所以切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为. 故选A. (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值. 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f’(0).又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f'(0)＝2. 因为f(x)＝eax，所以f'(x)＝(eax)'＝eax·(ax)'＝aeax， 所以f'(0)＝ae0＝a，故a＝2. 变式探究(变条件，变设问)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求m的值. 解：设切点P(x0，y0)，则y'＝＝2， 所以x0＝1，即切点P(1，0)， 所以＝2，解得m＝8或－12(舍). 即实数m的值为8. 角度2　复合函数导数的实际应用 (链教材P80例7)在一天24小时内某港口的潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义. 解：s'(t)＝3cos(t＋)·(t＋)'＝cos(t＋)，将t＝18代入s'(t)，得s'(18)＝cos(×18＋)＝. s'(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 典例 4 1.求复合函数图象的切线的方法 (1)先判断已知点是否为切点，若不为切点，需先设切点的坐标. (2)再求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切线的点斜式方程，进一步求解. 2.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 规律方法 对点练3.质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为_______m/s. 20 因为s(t)＝(2t＋1)2，所以s'(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s'(2)＝8×2＋4＝20(m/s). 对点练4.已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f'(x)是f(x)的导函数，且a＝f'，求曲线y＝e3x在x＝a处的切线方程. 解：由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f'(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则a＝f'＝3－2sin ＋2cos ＝1. 由y＝e3x得y'＝3e3x，所以k＝y'｜x＝1＝3e3. 又x＝1时，y＝e3， 所以所求切线方程为y－e3＝3e3(x－1)， 即3e3x－y－2e3＝0. 返回 课堂小结 任务 再现 1.复合函数的概念. 2.复合函数的求导法则. 3.复合函数导数的应用 方法 提炼 公式法、转化法 易错 警示 求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化 随堂评价 返回 1.对于函数y＝log2，下列说法正确的是 A.不是复合函数 B.是复合函数，可以看成由y＝log2和u＝x这两个基本初等函数复合而成 C.是复合函数，可以看成由y＝和u＝log2x这两个基本初等函数复合而成 D.是复合函数，可以看成由y＝log2u和u＝这两个基本初等函数复合而成 √ 根据复合函数的概念可知D正确. 2.已知函数f(x)的导数为f'(x)，则f(3x)的导数为 A.f'(3x) B.3f'(3x) C.3f'(x) D.3＋f'(x) √ 由复合函数的求导公式得，f(3x)的导数为3f'(3x). 故选B. 3.曲线y＝cos(2x＋)在x＝处的切线的斜率为 A.2 B.－2 C.1 D.－1 √ 由题意得y'＝－2sin(2x＋)，所以当x＝时，y'＝－2，即曲线y＝cos(2x＋)在x＝处的切线的斜率为－2. 故选B. 4.某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为 A.20 mm/min B.400 mm/min C. mm/min D. mm/min √ 由f(t)＝，得f'(t)＝·(10t)'＝，所以f'(40)＝＝. 返回 课时分层评价 返回 1．函数y＝(2 026－8x)3的导数y′等于 A．3(2 026－8x)2 B．－24x C．－24(2 026－8x)2 D．24(2 026－8x)2 √ y′＝3(2 026－8x)2×(2 026－8x)′＝3(2 026－8x)2×(－8)＝－24(2 026－8x)2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若f(x)＝ex ln 2x，则f'(x)＝ A.exln 2x＋ B.ex ln 2x－ C.ex ln 2x＋ D. √ f'(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋. 故选C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f'(0)等于 A.1 B. C.－1 D.－2 √ f'(x)＝－6x，故f'(0)＝－0＝. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2026·陕西西安月考)函数f(x)＝的图象在点(3，f(3))处的切线方程为 A.x－y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x－y－4＝0 D.4x－y－10＝0 √ 因为f'(x)＝×2＝，所以f'(3)＝＝.又f(3)＝＝2，所以所求切线方程为y－2＝(x－3)，即x－2y＋1＝0. 故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米．假设在该海湾某一固定点，大海水深d(单位：m)与午夜后的时间t(单位：h)之间的关系为d(t)＝10＋4cos t，则下午5∶00时该固定点的水位变化的速度为 A. m/h B． m/h C．－ m/h D．－ m/h √ 由d(t)＝10＋4cos t，得d′(t)＝－sin t，所以下午5∶00时该固定点的水位变化的速度为d′(17)＝－sin ＝－sin ＝－＝.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)下列结论中不正确的是 A.若y＝cos ，则y'＝－sin B.若y＝sin x2，则y'＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y'＝－sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y'＝xsin 2x √ 对于A，y＝cos ，则y'＝sin ，故A错误；对于B，y＝sin x2，则y'＝2xcos x2，故B正确；对于C，y＝cos 5x，则y'＝－5sin 5x，故C错误；对于D，y＝xsin 2x，则y'＝sin 2x＋xcos 2x，故D错误. 故选ACD. √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(双空题)已知函数f(x)＝(2x－1)2＋5x，则f‘(x)＝_______；曲线y＝f(x)在点(2，19)处的切线方程为_______________. f‘(x)＝4(2x－1)＋5＝8x＋1. 又f’(2)＝17，故切线方程为y－19＝17(x－2)，即17x－y－15＝0. 8x＋1 17x－y－15＝0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.一个小球做简谐振动，其运动方程为x＝2sin(πt＋)，其中x(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s)为运动时间，则小球在t＝2 s时的瞬时速度为_____cm/s. 因为x'＝2πcos，所以x'＝2πcos＝2πcos＝π，即小球在t＝2 s时的瞬时速度为π cm/s. π 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为____. 因为y‘＝，所以曲线y＝在点(4，e2)处的切线的斜率为e2，于是切线方程为y－e2＝e2(x－4).令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2.所以所求三角形的面积S＝×e2×2＝e2. e2 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)求下列函数的导数： (1)y＝a2x－3； 解：因为y＝a2x－3， 所以y'＝a2x－3ln a·(2x－3)'＝2a2x－3ln a. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)y＝x2cos ； 解：因为y＝x2cos ， 所以y'＝2x cos ＋x2' ＝2x cos －x2sin ·' ＝2x cos －2x2sin . 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)y＝e－xln x； 解：因为y＝e－xln x， 所以y'＝(e－x)'ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝. (4)y＝. 解：因为y＝＝， 所以y'＝－×(－2)＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.若f(x)＝x2e1－mx＋mx，曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为2，则m＝ A.1 B.1或2 C.－1或2 D.2 √ f'(x)＝2xe1－mx＋x2·e1－mx·(－m)＋m＝2xe1－mx－mx2e1－mx＋m，根据导数的几何意义可得f'(1)＝2e1－m－me1－m＋m＝2，所以(e1－m－1)(2－m)＝0，所以e1－m－1＝0，或2－m＝0，所以m＝1，或m＝2. 故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12．设f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f(1＋n)(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 026(x)＝ A．22 025(cos 2x－sin 2x) B．22 026(－cos 2x－sin 2x) C．22 025(cos 2x＋sin 2x) D．22 026(－cos 2x＋sin 2x) √ 因为f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，所以f1(x)＝f′0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，f4(x)＝f′3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x)．故f2 026(x)＝f506×4＋2(x)＝22 026(－cos 2x－sin 2x)．故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π). 若f(x)＋f'(x)是奇函数，则φ＝______；若f(x)＋f'(x)是偶函数，则φ＝______. f'(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f'(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin(x＋φ＋). 若f(x)＋f'(x)为奇函数，则φ＋＝kπ(k∈Z)，又φ∈(0，π)，所以φ＝. 若f(x)＋f'(x)是偶函数，则φ＋＝kπ＋(k∈Z).又φ∈(0，π)，所以φ＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(17分)已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1. (1)分别求出f(x)和g(x)的导数； 解：由导数的四则运算法则得f'(x)＝－3x2＋1，由复合函数求导法则得g'(x)＝－2e－2x＋1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值. 解：由f'(x)＝－3x2＋1，可得曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线的斜率k＝f'(1)＝－3＋1＝－2， 所以曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋3. 由g'(x)＝－2e－2x＋1，可得曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)＝ －2e－2t＋1， 由题意可得－2e－2t＋1＝－2，所以t＝， 此时切点坐标为(，1)，曲线y＝g(x)在x＝处的切线方程为y－1＝－2(x－)，即y＝－2x＋2，故符合题意. 综上，t＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(开放题)写出一个同时具有性质①②的函数f＝__________________. (f(x)不是常值函数). ①f'为偶函数；② f'(x＋π)＝f'. sin 2x(答案不唯一) 由f'＝f'知函数f'的周期为π，则f'＝cos 2x，同时满足f'为偶函数，所以f＝sin 2x满足条件. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(新定义)(2026·广东普宁调研)当f(x)＞0时，函数y＝(f(x))g(x)在求导时可运用对数法：将解析式两边同时取对数，得到ln y＝g(x)ln f(x)，然后两边同时求导得＝g'(x)ln f(x)＋g(x)·，于是y'＝(f(x))g(x)·［g'(x)lnf(x)＋g(x)·］.用此法可得曲线y＝(x＋1(x＞－1)在x＝－1处的切线斜率为_______. 2e2－e 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 返回 令f(x)＝x＋1(x＞－1)，g(x)＝(x＞－1)，则f‘(x)＝1，g’(x)＝－.由题中所给公式得y‘＝(x＋1［－ln(x＋1)＋·］＝(x＋1，当x＝－1时，y'＝2e2－e，即曲线y＝(x＋1(x＞－1)在x＝－1处的切线斜率为2e2－e. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 5.2.3　简单复合函数的导数 返回 $