第5章 5.2.2 导数的四则运算法则-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，通过问题导思引导学生从导数定义出发，结合具体函数实例探究和差、乘积、商的导数关系，搭建从定义到法则的过渡支架，衔接已学导数公式。 其亮点在于采用问题驱动的探究式学习，通过典例与分层练习巩固数学运算能力，应用环节结合切线问题和净化费用等实际情境培养逻辑推理与数学建模素养。学生能提升运算技能和实际应用能力，教师可利用系统资源实施差异化教学。

5.2.2　导数的四则运算法则 　 第五章　单元学习六　导数的运算 学习目标 1.理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，培养数学运算的核心素养. 2.能利用导数公式和导数的四则运算法则解决简单的切线问题和实际问题，培养数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　f(x)±g(x)的导数 1 任务二　f(x)g(x)和的导数 2 任务三　导数四则运算法则的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　f(x)±g(x)的导数 返回 (阅读教材P76，完成探究问题1、2) 问题1.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么？ 提示：第一步：求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步：求平均变化率＝；第三步：取极限，得导数y'＝f'(x)＝. 问题导思 问题2. 设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？ 提示：设y＝f(x)＋g(x)＝x3＋x， Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx， ＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2， y′＝＝3x2＋1， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1， 所以[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)． 设y＝f(x)－g(x)＝x3－x， Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx， ＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2， y′＝＝3x2－1， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1， 所以[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． 新知构建 两个函数和(或差)的导数 1．符号表达：[f(x)±g(x)]′＝___________． 2．语言叙述：两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)． f′(x)±g′(x) 推广式[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'＝f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x). 微提醒 (链教材P76例3)求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5； 解：y'＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)'＝(x4)'＋(x3)'＋(cos x)'－(ln 5)'＝4x3＋3x2－sin x. (2)y＝ln x－sin x； 解： y'＝(ln x－sin x)'＝(ln x)'－(sin x)'＝－cos x. (3)y＝5x＋log2x－3； 解：y'＝(5x＋log2x－3)'＝(5x)'＋(log2x)'－(3)'＝5xln 5＋. (4)y＝(＋1). 解：因为y＝－＋，所以y'＝(－＋)'＝(－)'＋()'＝－－＝－. 典例 1 应用加法、减法运算法则求导时的注意点 1.熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提. 2.判断函数的解析式是不是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式，进而选择正确的公式和运算法则. 规律方法 对点练1.求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； 解：y'＝(x5－x3＋cos x)'＝(x5)'－(x3)'＋(cos x)'＝5x4－3x2－sin x. (2)y＝x7＋； 解：y'＝(x7＋)'＝(x7)'＋()'＝7x6＋. (3)y＝lg x－ex； 解：y'＝(lg x－ex)'＝(lg x)'－(ex)'＝－ex. (4)y＝x2－sincos. 解：因为y＝x2－sin cos＝x2－sin x，所以y'＝(x2－sin x)'＝2x－cos x. 返回 任务二　f(x)g(x)和的导数 返回 (阅读教材P77，完成探究问题3、4) 问题导思 问题3. 设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？′与是否相等？ 提示：因为[f(x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，f′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2， ′＝(x2)′＝2x，＝＝3x2， 所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠. 问题4. '，'与f'(x)，g'(x)之间有什么关系呢？ 提示：'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)，'＝(g(x)≠0). 两个函数乘积(或商)的导数 1.符号表达：(1)[f(x)g(x)]'＝________________________. (2)'＝(g(x)≠0). 2.语言叙述：(1)两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数. (2)两个函数商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方. 新知构建 f'(x)g(x)＋f(x)g'(x) 如果f(x)的导数为f'(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是 什么？ 提示：由于常数函数的导数为0，即(c)'＝0，由导数的乘法法则，得[cf(x)]'＝cf'(x). 微思考 (链教材P77例4)求下列函数的导数： (1)y＝xnex； 解：y'＝'ex＋xn'＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex. 典例 2 (2)f(x)＝； 解：因为f(x)＝，所以f'(x)＝＝. (3) (一题多解) y＝(2x2－1)·(3x＋1)； 解：法一：y'＝[(2x2－1)(3x＋1)]'＝(2x2－1)'(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)' ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y'＝(6x3＋2x2－3x－1)'＝(6x3)'＋(2x2)'－(3x)'－(1)'＝18x2＋4x－3. (4)y＝x2sin x＋. 解：因为y＝x2sin x＋， 所以y'＝2xsin x＋x2cos x＋＝2xsin x＋x2cos x－. 利用导数运算法则的策略 1.分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. 2.如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. 3.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 规律方法 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝； 解：因为y＝＝x3－9x－3x＋＝x3－12x＋， 所以y'＝3x2－12－. (2)y＝sin x·(cos x＋1)； 解：因为y＝sin x·(cos x＋1)＝sin xcos x＋sin x， 所以y'＝cos x·cos x＋sin x·＋cos x＝cos 2x＋cos x. (3)y＝； 解：y'＝'＝＝. (4)y＝. 解：y'＝ ＝ ＝. 返回 任务三　导数四则运算法则的应用 返回 角度1　与切线有关的问题 已知f＝aln x－. (1)当a＝1时，求f'； 解：当a＝1时，f＝ln x－，f'＝＋. 典例 3 (2)当f'＝1时，求a的值； 解：由题意知f'＝＋，因为f'＝1， 所以f'＝＋＝1，解得a＝， 所以a＝. (3)f在处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值. 解：由(2)知f'＝＋， 因为f处的切线与直线2x－y＝0平行， 所以f'＝a＋1＝2，解得a＝1. 此时f＝－1，所以切线方程为y＋1＝2，即y＝2x－3满足与直线2x－y＝0平行，所以a＝1. 角度2　导数四则运算法则的实际应用 (链教材P77例5)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知1吨水净化到纯净度为x％时所需费用(单位：元)为c(x)＝. 那么净化到纯净度为90％时所需净化费用的瞬时变化率是 A.－40元/吨 B.－10元/吨 C.10元/吨 D.40元/吨 √ 典例 4 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝(80＜x＜100)，所以c'(x)＝'＝.又因为c'(90)＝＝40，所以净化到纯净度为90％时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨. 故选D. 1.解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”切线的不同. 2.解决导数四则运算法则的实际应用问题时，需要根据题意理解函数导数在该问题中的实际意义，特别是导数的物理意义. 规律方法 对点练3.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________m/s. 由题意得s＝t2＋，可得瞬时速度v＝s'＝2t－，故它在第4 s末的瞬时速度为2×4－＝ m/s. 对点练4.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； 解：f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f'(x)＝3x2＋a. 由题意可得f'(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程. 解：因为切线与直线l：y＝－x＋3垂直， 所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)， 由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，则f'(x0)＝3＋1＝4，所以x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18， 即切点坐标为(1，－14)，或(－1，－18). 所以切线方程为y＝4(x－1)－14，或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18，或y＝4x－14. 返回 课堂小结 任务再现 1.导数的四则运算法则. 2.综合运用导数公式和导数四则运算法则求函数的导数、求切线方程和解决实际应用问题 方法提炼 公式法、转化思想、方程思想 易错警示 对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则 随堂评价 返回 1.设函数y＝－2exsin x，则y'等于 A.－2excos x B.－2exsin x C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x) √ y'＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x). 故选D. 2.(多选)下列求导运算正确的是 A.'＝1＋ B.'＝ln x＋1 C.'＝－2xsin x D.'＝ √ 对于A，'＝x'＋'＝1－，故A错误；对于B，'＝ln x＋1，故B正确；对于C，'＝'cos x＋x2'＝2xcos x－x2sin x，故C错误；对于D，'＝＝，故D正确. 故选BD. √ 3.(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为 A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ √ 设曲线y＝处的切线方程为y－＝k(x－1). 因为y＝，所以y'＝＝，所以k＝y'＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝处的切线方程为y＝x＋. 故选C. 4.球的体积V(单位：cm3)与半径R(单位：cm)的关系为V＝πR3，当R＝ 4 cm时，体积关于半径的瞬时变化率为______cm2. 64π 由V＝πR3，得V'＝4πR2，所以R＝4 cm时，体积关于半径的瞬时变化率为V'＝4π×42＝64π cm2. 返回 课时分层评价 返回 1.函数f＝x－sin x的导数为 A.f'＝x－cos x B.f'＝1－cos x C.f'＝x＋cos x D.f'＝1＋cos x √ f'＝1－cos x. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．函数y＝的导数y′＝ A． B． C． D． √ y′＝′＝＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．已知某种赛车的位移和时间的关系满足S(t)＝t3＋9t2＋10t－5，则t＝4时赛车的瞬时速度是 A．81 B．90 C．120 D．180 √ 由S(t)＝t3＋9t2＋10t－5，则S′(t)＝t2＋18t＋10，即S′(4)＝×42＋18×4＋10＝90.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.曲线f＝x6＋3x－1在处的切线与坐标轴围成的面积为 A. B. C. D. √ f'＝6x5＋3，所以f'＝3，故切线方程为y＝3(x－0)－1＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为×1×＝. 故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选)下列求导运算正确的是 A.'＝1＋ B.'＝ln x＋1 C.'＝－2xsin x D.'＝ √ 对于A，'＝x'＋'＝1－，故A错误；对于B，'＝ln x＋1，故B正确；对于C，'＝'cos x＋x2'＝2xcos x－x2sin x，故C错误；对于D，'＝＝，故D正确. 故选BD. √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)若函数f的导函数为奇函数，则f的解析式可能是 A.f＝x4＋2 B.f＝x3－2x C.f＝x－x2 D.f＝xsin x √ 对于A，因为f＝x4＋2，所以f'＝4x3是奇函数，故A正确；对于B，因为f＝x3－2x，所以f'＝3x2－2是偶函数，故B错误；对于C，因为f＝x－x2，所以f'＝1－2x不是奇函数，故C错误；对于D， 因为f＝xsin x，所以f'＝sin x＋xcos x是奇函数，故D正确. 故选AD. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(开放题)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＝sin x，则函数f(x)的解析式可能是_______________________，也可能是_______________________ ______. 由于(cos x)'＝－sin x，所以f(x)的解析式可能是f(x)＝－cos x，或f(x)＝－cos x＋1. (注：其他满足题意的解析式均可. ) f(x)＝－cos x(答案不唯一) f(x)＝－cos x＋1(答案不 唯一) 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________. 1 因为f′(x)＝－f′sin x＋cos x，所以f′＝－f′，得f′＝－1.所以f(x)＝(－1)cos x＋sin x，所以f＝1. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝__________． 设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y′＝ex＋1，所以y′|x＝＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. 4 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)求下列函数的导数： (1)y＝x4＋5x－e5； 解：y'＝(x4＋5x－e5)'＝4x3＋5xln 5. (2) (一题多解)y＝(2x2＋3)(3x－2)； 解：法一：y'＝(2x2＋3)'(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)'＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9. 法二：y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，则y'＝18x2－8x＋9. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)y＝＋； 解：因为y＝＋＝＝， 所以y'＝()'＝－＝. (4)y＝3x2ln x＋2tan x. 解：y'＝(3x2ln x＋)'＝3(2xln x＋x)＋＝3x(2ln x＋1)＋. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知函数y＝f(x)是可导函数.如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在点(3，1)处的切线，令g(x)＝，g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)＝ A.－ B.－ C.－ D.0 √ 由题意得f(3)＝1，又直线y＝kx＋2过点(3，1)，即3k＋2＝1，解得k＝－，所以f'(3)＝k＝－，由g(x)＝，得g'(x)＝，则g'(3)＝＝＝－. 故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知函数f(x)是偶函数，当x＜0时，f(x)＝－xln(－x)＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为 A.y＝－x B.y＝－x＋2 C.y＝x D.y＝x－2 √ 因为x＞0时，f(x)＝f(－x)＝xln x＋1，f(1)＝1，f'(x)＝ln x＋1，f'(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x. 故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)已知f(x)＝xex，则f'(1)＝______；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与曲线y＝f(x)相切，则实数a的取值范围是__________. 2e (－4，0) f'(x)＝(x＋1)ex，所以f'(1)＝2e，设点B(x0，x0)为曲线y＝f(x)上任意一点. 因为y'＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线y＝f(x)在点B处的切线方程为y－x0＝(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0＝(a－x0)，即－ax0－a＝0无实数根，所以Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围； 解：由题意得f'(x)＝x2－4x＋3， 则f'(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[－1，＋∞). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 解：设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由条件和(1)中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0，或x2－4x＋3≥1， 解得x≤2－或1<x<3或x≥2＋. 所以切点的横坐标的取值范围是(－∞，2－]∪(1，3)∪[2＋，＋∞)． 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果. 设函数f在区间内的导函数为f'，f'在区间内的导函数为f″，在区间内f″＜0恒成立，则称函数f在区间内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是 A.f＝x＋2sin x B.f＝x－ex C.f＝x－ln x D.f＝ √ 对于A，f'(x)＝1＋2cos x，则f″(x)＝－2sin x，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是“凸函数”；对于B，f'(x)＝1－ex，则f″(x)＝－ex＜0，故是“凸函数”；对于C，f'(x)＝1－，则f″(x)＝＞0，故不是“凸函数”；对于D，f'(x)＝，则f″(x)＝，显然定义域内f″(x)有正有负，故不是“凸函数”. 故选B. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)记函数f(x)，g(x)的导函数分别为f'(x)，g'(x). 把同时满足f(x0)＝g(x0)，f'(x0)＝g'(x0)的x0叫做f(x)与g(x)的“Q点”. (1)求f(x)＝2x与g(x)＝(x－1)2＋3的“Q点”； 解：因为f(x)＝2x，g(x)＝x2－2x＋4， 所以f'(x)＝2，g'(x)＝2x－2. 设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q点”, 由f(x0)＝g(x0)且f'(x0)＝g'(x0)得解得x0＝2. 所以函数f(x)与g(x)的“Q点”是2. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)函数f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x是否存在“Q点”？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由. 解：存在.设函数f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x的“Q点”为x0，由题知f'(x)＝2ax，g'(x)＝. 由f(x0)＝g(x0)且f'(x0)＝g'(x0)得由②得a＝，代入①得ln x0＝1，所以x0＝e，所以a＝＝满足题意. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 5.2.2　导数的四则运算法则 返回 $