5.2.2 导数的四则运算法则(7大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

5.2.2 导数的四则运算法则 题型一 导数四则运算法则的辨析 1．（25-26高二上·江苏·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用运算法则求导数 1．（24-25高三上·贵州·月考）若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）火车开出车站一段时间内，速度（单位：）与行驶时间（单位：）的关系是，问火车开出2时的加速度是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 4．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 5．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； 题型三 利用运算法则求极限值 1．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型四 利用运算法则求切线斜率或倾斜角 1．（25-26高三上·福建龙岩·期中）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型五 利用运算法则求切线方程 1．（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为 . 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 题型六 利用运算法则求参数的值 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ． 3（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 4．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 题型七 利用运算法则研究公切线问题 1．（25-26高三上·贵州·月考）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 2．（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 3．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线（为实数）为曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（其中是的导函数），则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）设函数，若曲线在处的切线方程为，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高三上·江西·月考）在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 7．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川内江·一模）已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 10．（24-25高二下·广东中山·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 12.(2025湖南长沙长郡中学高二上期末)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围; (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 1．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知是图象上任意一点，在处的切线与的图象交于两点，过点作图象的切线，交图象于点（与不在同一象限），连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．直线与图象共有两个交点 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的通项公式为，函数，求 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2 导数的四则运算法则 题型一 导数四则运算法则的辨析 1．（25-26高二上·江苏·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 2．(多选)（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 3．（24-25高二下·安徽·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，易得，故A错误， 对于B，由对数运算性质得， 则，故B正确， 对于C，由同角三角函数的基本关系得， 则，故C正确， 对于D，由幂函数求导法则得，故D错误. 故选：BC 题型二 利用运算法则求导数 1．（24-25高三上·贵州·月考）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，故. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）火车开出车站一段时间内，速度（单位：）与行驶时间（单位：）的关系是，问火车开出2时的加速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 则，即火车开出2时的加速度是. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解析】由函数，可得，则，即该质点的瞬时速度为.故选：A. 4．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 【答案】B 【解析】由，得， ，得. 故选：B. 5．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) . 【解析】（1）由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）由函数， 可得. 题型三 利用运算法则求极限值 1．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故， 所以， 可得，解得. 故选：A. 2．（25-26高三上·河北·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以， 所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 而，则，即. 故选：B 题型四 利用运算法则求切线斜率或倾斜角 1．（25-26高三上·福建龙岩·期中）曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 2．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 4．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，则，即直线的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：D 题型五 利用运算法则求切线方程 1．（2025·安徽·二模）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 3．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为， ， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以切点坐标为，切线的斜率， 所以切线方程为：，即. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由点在的图象上，得， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1， 得，解得， 所以的值为. 题型六 利用运算法则求参数的值 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【解析】函数，求导得， 则，解得或． 故选：D 2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 又直线的斜率为，所以，解得. 3（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【解析】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 4．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 题型七 利用运算法则研究公切线问题 1．（25-26高三上·贵州·月考）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【解析】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 2．（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 3．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 【答案】3 【解析】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线（为实数）为曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故A错误； 对于B，易知，可知使得，故B正确； 对于C，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故C错误； 对于D，易知，则上不存在某点处的切线斜率为， 故D错误. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（其中是的导函数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，令得， 解得，则 所以，又得，， 故，所以， 即． 故选：B． 4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）设函数，若曲线在处的切线方程为，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由知，理由：当时，， 此时函数图象在处为尖锐点，不存在导数， 当时，在上，，此时，矛盾． 当时，在上，，此时，而， 故曲线在处的切线方程为， 即，故，由得， 故选：B． 5．（25-26高三上·江西·月考）在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 6．（25-26高二上·江苏·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 7．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意的几何意义为抛物线上一点到直线距离的5倍， 如图，把直线平移至与抛物线相切时，切点即为到直线距离最小的点， 设切点，，令，得，把代入抛物线得， 即切点，此时， 所以的最小值为. 故选：C    8．（2025·四川内江·一模）已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 由题意可得， 所以，， 即，解得或， 当时，，此时切线方程为， 当时，，此时切线方程为， 所以，，，， ，，，. 故选：A 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 10．（24-25高二下·广东中山·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由求导，得， 设切点为，则切线方程， 由切线过，得，整理得， 令，依题意方程有两个不同的解， 函数的对称轴为， 且当时，，当时，.作出函数的图象. 由图知，方程有两个不同的解等价于. 即的范围为. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 【答案】和 【解析】由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：， 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：， 与联立得， 化简得，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得，， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 12.(2025湖南长沙长郡中学高二上期末)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C. (1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围; (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 【答案】（1）[-1,+∞)；（2）x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞). 【解析】(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3, 则f'(x)=(x-2)2-1≥-1, 即曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, 解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞). 1．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知是图象上任意一点，在处的切线与的图象交于两点，过点作图象的切线，交图象于点（与不在同一象限），连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．直线与图象共有两个交点 【答案】D 【解析】根据图象的对称性不妨取点在第一象限，在第二象限，在第四象限，在第三象限， 求导得，， 函数图象在处切线的方程，即， 函数图象在B处切线的方程，即， 对于AB，切线与图象相交于点， 由，得， ， ，AB正确； 对于C，由，得， 而点在第三象限， 解得， 即与关于原点对称， 由，得是AB的中点， 因此，C正确； 对于D，点， 直线斜率， ，即直线与相切， 则直线与图象只有1交点，D错误. 故选：D 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）过点的直线l与抛物线交于两点M，N，点M，N处的切线交于点P，则点P到圆的距离的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题可知直线l的斜率存在， 故可设过点的直线的方程为，即． 联立抛物线方程，得：， 设的横坐标为，∵，故由韦达定理得：， 对于函数，其导数，在处切线斜率为， 切线方程为，即． 故抛物线在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为． 联立两切线方程：， 解得交点的横坐标为， 代入切线方程得纵坐标为． 因此，点坐标为， 消去参数得P的轨迹方程为，即． 圆的圆心为，半径． 圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 故P到圆的最小距离为圆心到直线距离减去圆半径：． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的通项公式为，函数，求 . 【答案】 【解析】因为，， 所以 所以 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $