第2章 2.3.2 两点间的距离公式-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“两点间的距离公式”核心知识点，从数轴上两点距离入手，通过问题导思过渡到平面直角坐标系中平行坐标轴及一般情况，利用勾股定理推导公式，构建从一维到二维的知识支架，为公式应用及坐标法证明几何问题奠定基础。 该资料融合微课视频辅助理解，以问题链引导学生用数学眼光观察距离关系，公式推导过程培养逻辑推理（数学思维），坐标法证明几何问题强化数学语言表达。典例与对点练结合，课中助教师突破难点，课后分层练习帮学生查漏补缺，提升数学运算与直观想象核心素养。

2.3.2　两点间的距离公式 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数学运算的核心素养． 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 任务一　两点间的距离公式 (阅读教材P72－73，完成探究问题1、2) 问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|． 问题2.已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？ 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图所示，在Rt △P1QP2中， |P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2| ＝ ． 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝． 1.两点间的距离公式 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝． 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|． (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|． ［微思考］　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？ 提示：可以，原因是，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分． (1)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则＝(　　) A．2　　 B．3　　 C．　　 D． (2)已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则BC边上中线的长为　　　　． 答案：(1)A　(2)2 解析：(1)｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝2.故选A. (2)设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得所以D(4，－2)，所以｜AD｜＝＝＝2. 计算两点间距离的方法 1.对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝ ． 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 对点练1.(1)在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2　　 B．3　　 C．　　 D． (2)已知点A(2，1)，B(3，－4)，在y轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则|PA|的值为　　　　． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由中点坐标公式可得，BC边的中点D(，6).由两点间的距离公式得｜AD｜＝＝.故选C. (2)设所求点为P(0，y)，则｜PA｜＝＝，｜PB｜＝＝.由｜PA｜＝｜PB｜得y2－2y＋5＝y2＋8y＋25，解得y＝－2，所以所求点P(0，－2)，｜PA｜＝＝. 任务二　两点间距离公式的应用 角度1　利用两点间的距离公式求参数 (链教材P74练习T2)已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值． 解：因为点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5， 所以． 　　若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数． 对点练2.已知A，B，C三点，且，则a的值为(　　) A．　　 B．－　　 C．－　　 D．－ 答案：D 解析：，解得a＝－．故选D． 学生用书⬇第70页 角度2　判断三角形的形状 (一题多解)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解：法一：因为|AB|＝＝2， |AC|＝， 又|BC|＝， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 法二：因为kAC＝， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB． 又|AC|＝， |AB|＝， 所以|AC|＝|AB|． 所以△ABC是等腰直角三角形． 　　判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长，再结合三角形的性质判断． 对点练3.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)． (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 解：(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝， |BC|＝， |CA|＝． 因为()2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2， 所以△ABC是直角三角形． (2)因为B(1，2)，C(3，－4)，所以BC的中点D(2，－1)， 所以BC边上中线的长|AD|＝． 任务三　坐标法在平面几何中的应用 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点．求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|． 证明：如图所示，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)， －b＜m＜b． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， 所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， 所以|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|． 利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互 相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将对称中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 对点练4.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：． 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系．如图所示． 设正方形边长为a，则A(0，a)，C． kAP＝－①， lCQ：y＝x－a②． 联立①②可得Q(或利用三角形全等求得点Q坐标)． 因为， 所以． 任务再现 1.两点间的距离公式及应用.2.利用坐标法解决平面几何问题 方法提炼 待定系数法、坐标法 易错警示 依据距离公式求参数易漏解；坐标系建立不适当 学生用书⬇第71页 1.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．　　 B．4　　 C．5　　 D． 答案：C 解析：|MN|＝＝5.故选C． 2.已知A，B，C，则△ABC是(　　) A．直角三角形　　B．锐角三角形 C．钝角三角形　　D．等腰三角形 答案：A 解析：因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以|AB|＝＝2，|AC|＝5，|BC|＝，所以|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，所以△ABC是直角三角形．故选A． 3.已知等腰三角形ABC的顶点是A(3，0)，|BC|＝4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为　　． 答案：2 解析：|BD|＝ |BC|＝2，|AD|＝ ＝2 ． 4.已知点A(－2，－2)，B(a，2)且|AB|＝5，则a的值为　　　　． 答案：1或－5 解析：因为|AB|＝5，所以＝5，所以a＝1或a＝－5. 课时分层评价18　两点间的距离公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则＝(　　) A．　　 B．1 C．　　 D．2 答案：C 解析：由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A(0，).令y＝0，得x＝1，设B.所以＝＝.故选C. 2.到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A．3x－y－8＝0　　 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0　　 D．3x＋y＋2＝0 答案：B 解析：设P(x，y)，则，即3x＋y＋4＝0.故选B． 3.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：C 解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B(－1，．故选C． 4.已知点A，B，C，D，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A．平行四边形　　 B．菱形 C．梯形　　 D．矩形 答案：A 解析：由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，＝＝8＝＝，即lAD∥lBC，＝，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形. 故选A. 5.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确.故选BCD. 6.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标可以是(　　) A．(－4，5)　　 B．(－1，2)　　 C．(－3，4)　　 D．(1，－5) 答案：BC 解析：设所求点的坐标为(x0，y0)，则x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得所以所求点的坐标为(－1，2)或(－3，4).故选BC. 7.已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为　　　　　　． 答案：(－1，0)或(9，0) 解析：设点P的坐标为(a，0)，则|PA|＝＝13，即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0)． 8.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是　　　　． 答案：3＋6 解析：由两点间的距离公式及题意得|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|CA|＝＝3.从而△ABC的周长为3＋6. 9.若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值为　　　　． 答案： 解析：由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝≥＝. 10.(13分)如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系．证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a，0)，由题意得A(－a，0)． |AB|2＋|BC|2－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 答案：B 解析：因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以|AB| ＝ ＝ ＝时，|AB|取得最小值．故选B． 12.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则2＋2的值为(　　) A．5　　 B． C．　　 D．与m的取值有关 答案：A 解析：直线x＋my－m＝0过定点A，直线mx－y－m＋3＝0过定点B，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故2＝12＋22＝5.故选A． 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝　　　　． 答案：10 解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)．所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即＝10. 14.(15分)已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 因为正三角形ABC的边长为a， 所以B(－a)． 设P(x，y)，由两点间的距离公式， 得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋(y－a)2＋(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3(y－a)2＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为(0，a). 15.(5分)(新情境)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得y＝＋的最小值为(　　) A．4　　 B．2 C．＋　　 D．3＋ 答案：A 解析：因为y＝f(x)＝＋＝＋，则f(x)可看作x轴上一点P到点A与点B的距离之和，即＋，如图所示.则可知当A，P，B三点共线时，＋取得最小值，即(＋)min＝＝＝4.故选A. 16.(17分)(2025·江苏连云港高二期中)若不等式＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值． 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系． 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＝|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|，而|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|≥|AO|＋|BC|＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4)．故|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|的最小值为18. 因为不等式≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $