第2章 2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦“两条直线的交点坐标”核心知识点，系统梳理通过解方程组求交点坐标的方法，结合方程组解的个数判断直线位置关系（相交、平行、重合），前承平面几何定性研究，后启距离公式定量学习，构建代数方法解决几何问题的学习支架。 该资料以问题导思引导学生发现交点与方程组解的关系，通过一题多解（如典例2用方程组法和斜率法判断位置关系）提升数学运算与逻辑推理素养，直线系过定点探究（任务三）培养创新意识。课中典例与对点练结合助力教师高效授课，课后分层评价帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

单元学习七　直线的交点坐标与距离公式 　　［单元整体设计］　在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．建立直线方程后，就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量的研究．如利用两条直线方程成方程组解的数量，来判断两条直线的位置关系．若相交还能求出交点位置，若平行还能求出两条平行直线间的距离．就距离这个基本几何量来说，在本单元中，还要学习两点间的距离公式、点到直线的距离公式．学习计划3课时． 　　本单元内容重点是两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式．难点是点到直线的距离公式的推导．在研究的过程中，体会数形结合的思想，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2.3.1　两条直线的交点坐标 学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升数学运算、逻辑推理的核心素养． 2.会根据方程解的个数判断两条直线的位置关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 任务一　两条直线的交点坐标 (阅读教材P70－71，完成探究问题1、2) 问题1.已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系． 提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标是方程组的解． 问题2.两条直线方程组成的方程组 的解有什么几何意义？ 提示：方程组的解即两直线交点的坐标． 两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解．解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． ［微提醒］　(1)解方程组时需注意，消元法的使用，可用加减消元或代入消元． (2)图象可以大致判断交点位置解方程组更为准确． (1)(链教材P70例1)直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是　　　　． (2)(一题多解)若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为(　　 ) A．－24　　 B.6　　 C．±6　　 D.24 答案：(1)(0，2)　(2)C 解析：(1)由即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0，2)． (2)法一：联立方程得消去y得x＝＝0，解得k＝±6.故选C． 法二：显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝，在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝，解得k＝±6.故选C． 1.求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． 2.当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线． 对点练1.(1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　 ) A．(4，3)　　 B．(－4，3) C．(－4，－3)　　 D．(4，－3) (2)已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为　　　　． 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)由所以交点为(－4，3)．故选B． (2)解方程组所以这两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)在直线mx＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得4m＋2×(－2)＋7＝0，解得m＝－． 学生用书⬇第66页 任务二　利用直线的交点判断两直线的位置关系 (阅读教材P70－71，完成探究问题3) 问题3.设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0①，l2：A2x＋B2y＋C2＝0②．由①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＝－(C1B2－C2B1)③．当A1B2－A2B1≠0时，方程③的解为x＝－，l1与l2相交，还有其他情况吗？ 提示：当A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0时，方程③无解，l1∥l2；当A1B2－A2B1＝C1B2－C2B1＝0时，方程③有无数个解，l1与l2重合． 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示． 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 ［微提醒］　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (链教材P71例2)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 解：(1)解方程组 所以l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾，这个方程组无解， 所以直线l1与l2无公共点，l1∥l2． (3)解方程组 ①×2得2x－2y＋2＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 两条直线相交的判断方法 1.联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 2.两直线斜率都存在且斜率不相等． 3.两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 注意：虽然利用方程组解的个数可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 对点练2.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：(1)解方程组 因此直线l1和l2相交，交点坐标为． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 学生用书⬇第67页 任务三　直线系过定点问题 问题4.在直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，如果k为变量，则该直线恒过定点吗？ 提示：恒过点(x0，y0)． 问题5.方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0代表直线吗？它有什么特征？ 提示：化成(A1＋λA2)x＋(B1＋λB2)y＋(C1＋λC2)＝0，即为直线方程；表示恒过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点． 1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0． 3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． ［微提醒］　一般情况下，若直线方程中含有一个参数，则该直线过定点． 角度1　定点的求解 (一题多解)求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点． 证明：法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4； 取m＝时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)， 将点P的坐标代入原方程，左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5＝右边． 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)． 法二：原方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立， 则 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)． 解含参数的直线恒过定点问题的三个策略 1.赋值法：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 2.分离参数法：含有参数的直线方程若能整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则该直线必过定点(x0，y0)． 3.直线系法：含有参数的直线方程若能整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，则该直线必过定点，其定点可由方程组解得． 对点练3.(一题多解)无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 解：法一：因为(m＋1)x－y－7m－4＝0， 所以m(x－7)＋(x－y－4)＝0， 所以 所以点P的坐标为(7，3)． 法二：令m＋1＝0，即m＝－1时，有－y＋7－4＝0，所以y＝3，令m＝0时，有x－y－4＝0， 由 所以过定点(7，3)，即P(7，3)． 角度2　过定点的直线系问题 (一题多解)求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程． 解：法一：解方程组 所以直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为 ，即2x－y＝0. 法二：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， 因为直线过原点(0，0)，所以8－λ＝0，解得λ＝8， 所以直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0. 学生用书⬇第68页 ［变式探究］ (变条件)将本例“经过原点”改为“与3x－4y＋5＝0垂直”，求直线方程． 解：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋(8－λ)＝0. 因为该直线与3x－4y＋5＝0垂直， 所以3(2＋λ)－4×(3－λ)＝0， 解得λ＝，所以所求直线方程为4x＋3y＋10＝0. 求与已知两直线的交点有关的问题的解法 1.常规法(方程组法)：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依据其他条件求解． 2.特殊法(直线系法)：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 对点练4.已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P．求： (1)过点P与Q(1，4)的直线方程； (2)过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程． 解：(1)设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0①． 把点Q(1，4)代入方程①，化简得3－5m＝0，解得m＝， 所以过点P与Q的直线方程为＝0，即2x＋y－6＝0. (2)由两直线平行，得－3(m＋1)＝2－2m，得m＝－5， 所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 任务再现 1.两条直线的交点坐标.2.利用直线的交点判断两直线的位置关系.3.直线系过定点问题 方法提炼 消元法、直线系法、方程思想、待定系数法 易错警示 对两直线相交条件理解不清楚；容易混淆直线交点与对应方程解的关系 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　 ) A．(3，2)　　 B．(2，3) C．(－2，－3)　　 D．(－3，－2) 答案：B 解析：解方程组故选B． 2.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　 ) A．恒过定点(－2，3) B．恒过定点(2，3) C．恒过点(－2，3)和点(2，3) D．都是平行直线 答案：A 解析：(a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由故选A． 3.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为　　　　． 答案：－1 解析：由所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋8＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1. 4.(一题多解)经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程是　　　　　　． 答案：x－4y＋10＝0 解析：法一：联立直线方程，解方程组故l1，l2的交点坐标为(－2，2)，由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10＝0. 法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程，设所求直线方程为x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)，将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0. 课时分层评价17　两条直线的交点坐标 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　 ) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 答案：D 解析：直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，由 因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D． 2.下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是(　　) A．2ax－ay＋6＝0(a≠0)　　 B．y＝2x C．2x－y＋5＝0　　 D．2x＋y－3＝0 答案：D 解析：选项B，C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0平行或重合，只有选项D中直线与2x－y－3＝0相交．故选D． 3.直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：C 解析：易知直线2x＋y＋2＝0的斜率为－2，由两直线垂直条件得直线ax＋4y－2＝0的斜率－＝，解得a＝－2.联立.故选C. 4.(2025·山东淄博高二质量检测)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝的直线方程为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：D 解析：由，因为直线的一个方向向量v＝，所以直线方程为y－1＝，即.故选D. 5.直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则(　　) A．m≠－1且m≠3　　 B．m≠－1且m≠－3 C．m≠1且m≠3　　 D．m≠1且m≠－1 答案：A 解析：因为直线l1：x＋my－6＝0与直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，所以两条直线不平行也不重合，所以m(m－2)≠3，解得m≠－1，且m≠3，所以m的取值范围是m≠－1且m≠3.故选A． 6.(多选)若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则m的值可以是(　　 ) A．2　　 B．－2　　 C．　　 D．－ 答案：ABC 解析：三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况：l1∥l2，则有－ ，解得m＝－2；l1∥l3，则有－ ＝－6，解得m＝ ；l1，l2，l3相交于同一个点，由 代入3x＋my－1＝0，可得3－m－1＝0，解得m＝2.故选ABC． 7.已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围为　　　　． 答案： 解析：由.因为交点在第四象限，所以解得－1＜m＜，所以实数m的取值范围是. 8.若关于x，y的方程组 (m，n∈R)有无穷多组解，则mn的值为　　　　． 答案：4 解析：若方程组 ，所以m＝－2，n＝－2，则mn＝(－2)×(－2)＝4. 9.(一题多解)过直线2x－y＋4＝0与x＋y＋2＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为　　　　　　　 　． 答案：2x＋y＋4＝0 解析：法一：联立 即交点坐标为(－2，0)．设垂直于直线x－2y＋1＝0的直线为2x＋y＋m＝0，代入(－2，0)得－4＋m＝0，解得m＝4，所以所求直线方程为2x＋y＋4＝0. 法二：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋4＋2λ＝0(*)，因为所求直线与x－2y＋1＝0垂直，所以(2＋λ)×1－2(λ－1)＝0，所以λ＝4，代入(*)式得2x＋y＋4＝0. 10.(13分)(一题多解)求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程： (1)与直线2x＋y＋5＝0平行； (2)与直线2x＋y＋5＝0垂直． 解：法一：由 所以交点M的坐标为(－1，2)． (1)斜率k＝－2，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0. (2)斜率k＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 法二：设直线方程为(3x＋4y－5)＋λ(2x－3y＋8)＝0，即(3＋2λ)x＋(4－3λ)y＋(－5＋8λ)＝0(*)． (1)因为与直线2x＋y＋5＝0平行， 所以(3＋2λ)×1－(4－3λ)×2＝0，解得λ＝． 经检验λ＝符合题意． 代入(*)式化简得2x＋y＝0. (2)因为与直线2x＋y＋5＝0垂直， 所以2×(3＋2λ)＋1×(4－3λ)＝0，解得λ＝－10. 代入(*)式化简得x－2y＋5＝0. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l：(m＋3)x＋(m－2)y－m－2＝0，点A(－2，－1)，B(2，－2)，若直线l与线段AB相交，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(－∞，－4］⋃［4，＋∞) B．(－2，2) C．［－ ，8］ D．(4，＋∞) 答案：C 解析：由直线l的方程变形得，(x＋y－1)m＋(3x－2y－2)＝0.由 得 所以直线l恒过点C( ，)，kAC＝ ＝ ，kBC＝ ＝－ ，由图可知直线l的斜率k的取值范围为k≤－ 或k≥ ，又k＝－ ，所以－ ≤－ 或－ ≥ ，即2＜m≤8或－ ≤m＜2，又m＝2时直线的方程为x＝ ，仍与线段AB相交，所以实数m的取值范围是[－ ，8].故选C. 12.(多选)已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：x＋ky＋k＝0，则下列结论正确的是(　　) A．存在实数k，使得直线l2的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点 C．对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合 D．对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直 答案：ABD 解析：对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，此时直线l2的倾斜角为，故A正确；对于B，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－1＝0，与l1重合，此时两直线有公共点；当k≠－时，有1×k－×＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点，故B正确；对于C，由B可知，当k＝－时，直线l2与l1重合，故C错误；对于D，要使直线l1与直线l2垂直，则应有k＋1－k＝0，该方程无解，所以对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直，故D正确.故选ABD. 13.已知三条直线ax＋2y－1＝0、3x＋y＋1＝0、2x－y＋1＝0不能围成一个三角形，则实数a的值为　　　　． 答案：6或－4或－ 解析：由题意知，当直线ax＋2y－1＝0与3x＋y＋1＝0平行，即a＝6时，三条直线无法围成三角形；当ax＋2y－1＝0与2x－y＋1＝0平行，即a＝－4时，三条直线无法围成三角形； 由当直线ax＋2y－1＝0过点(－，)，即－＋－1＝0，即a＝－时，三条直线无法围成三角形.综上，当a＝6或a＝－4或a＝－时，三条直线无法围成三角形. 14.(15分)已知直线m：x＋y＋4－3a＝0. (1)求证：直线m过定点M； (2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程． 解：(1)证明：方程x＋y＋4－3a＝0化为a＝0， 由 故直线m恒过定点M． (2)设直线n：， 则由题意得 所以直线n：＝1，即2x＋y＋4＝0. 15.(5分)(新角度)若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点和所确定的直线方程为(　　) A．2x－3y＋1＝0　　 B．3x－2y＋1＝0 C．2x－3y－1＝0　　 D．3x－2y－1＝0 答案：A 解析：因为A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，所以2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0，所以两点都在同一条直线2x－3y＋1＝0上，故两点所确定的直线方程为2x－3y＋1＝0.故选A． 16.(17分)已知△ABC的顶点A，AB边上的高所在直线为x－y－3＝0，D为AC的中点，且BD所在直线方程为3x＋y－7＝0. (1)求顶点B的坐标； (2)求BC边所在的直线方程． 解：(1)由A及AB边上的高所在直线为x－y－3＝0， 得AB所在直线方程的斜率为－1， 则直线AB的方程为y－3＝－，即x＋y－7＝0. 又BD所在直线方程为3x＋y－7＝0， 由． (2)设C，D为AC的中点， 则D()． 由已知得 解得C． 又B， 化简得直线BC的方程为19x＋y－7＝0. 学生用书⬇第69页 学科网（北京）股份有限公司 $