第2章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中两条直线平行和垂直的判定核心知识点，基于直线倾斜角与斜率，系统梳理平行（斜率相等或均不存在）和垂直（斜率之积为-1或一斜率不存在一为0）的判定条件，为后续直线方程及几何应用搭建学习支架。 资料以问题导思衔接平面几何与向量旧知，通过分类讨论构建新知，结合典例（如用点坐标判断平行垂直）和对点练提升逻辑推理与数学运算素养，课中辅助教师系统教学，课后分层评价与易错警示助力学生查漏补缺，培养几何直观与理性思维。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标 1.理解两条直线平行、垂直的条件，培养直观想象的核心素养． 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 3.运用两直线平行或垂直时的斜率关系解决相应的几何问题，提升数学运算和逻辑推理的核心素养． 任务一　两条直线平行的判定 (阅读教材P55－56，完成探究问题1、2) 问题1.在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 问题2.平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等． 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 ［微提醒］　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论．(2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件：①l1与l2是不重合的两条直线；②斜率都存在． (链教材P58T5)判断直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A，B，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E，F，l2经过点G(3，4)，H(2，3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M，N； (4)l1平行于y轴，l2经过点P，Q. 解：(1)由题意知，k1＝，k2＝， 所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kBC＝，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合． 又kFG＝＝1， 故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan 60°＝，则k1＝k2， 所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. 1.判定两条直线是否平行的步骤 2.已知两直线平行求某参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解． 对点练1.判断直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)． 解：(1)k1＝＝1，k2＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1， 则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M三点不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 学生用书⬇第54页 任务二　两条直线垂直的判定 (阅读教材P56－57，完成探究问题3、4) 问题3.在平面中，若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则它们垂直的充要条件是什么？ 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 问题4.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 图示 ［微思考］　“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充要条件吗？ 提示：不是．当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2．故“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充分不必要条件．即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (链教材P58T6)根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否垂直： (1)l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，－)； (2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)； (3)l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－1，0)，S(－1，3)． 解：(1)因为l2经过点A(1，1)，B(0，－)， 所以l2的斜率为． 又因为l1的斜率为－)＝－1， 所以l1与l2垂直． (2)因为l1的倾斜角为45°，所以l1的斜率为1. 因为l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，所以l2的斜率为＝－1， 而1×＝－1，所以l1与l2垂直． (3)因为l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，所以l1的斜率为． 因为l2经过点R(－1，0)，S(－1，3)， 所以l2的斜率不存在，倾斜角为90°， 而l1的斜率不是0，所以l1与l2不垂直． 判断两条直线是否垂直的步骤 一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步； 二代：将点的坐标代入斜率公式； 三求值：计算斜率的值，进行判断． 注意：若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 对点练2.判断直线l1与l2是否垂直： (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (2)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)； (3)l1经过点A(－1，2)，B(5，－1)，l2经过点C(1，0)，D(4，6)． 解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1＝－10，k2＝ ． 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (2)由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． 设直线l2的斜率为k2，则k2＝ ＝0，所以l2∥x轴．故l1⊥l2. (3)法一：直线l1的斜率k1＝ ，直线l2的斜率k2＝ ＝2， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. 法二：直线l1的方向向量 ＝(3，6)． 因为 ＝0， 所以 ⊥ ，所以l1⊥l2. 学生用书⬇第55页 任务三　两条直线平行与垂直关系的综合应用 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD． 解：设D(x，y)， 由题意得kAB＝＝3，kCD＝＝，kBC＝＝－2，kAD＝. 因为直线CD⊥AB，且BC∥AD， 所以kAB·kCD＝3·＝－1， kBC＝kAD，即＝－2. 联立解得即D(0，1). ［变式探究］(变结论)本例条件不变，求点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形． 解：设D(x，y)，若四边形ABCD是平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kAD． 由例题可知＝－2， 联立方程组，解得即D(2，－3)． 1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 2.关于直线平行与垂直的综合应用的注意点 (1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)求解． (2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论． 对点练3.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－， 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD． 由kAD≠kBC，可知AD与BC不平行， 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD．故四边形ABCD为直角梯形． 任务再现 1.两条直线平行的判定.2.两条直线垂直的判定.3.两条直线平行与垂直关系的综合应用 方法提炼 分类讨论思想、数形结合思想 易错警示 研究两直线平行、垂直关系时容易忽略直线的斜率为0或斜率不存在的情况 1.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　 ) A．　　 B．－ C．2　　 D．－2 答案：B 解析：由题意知，直线PQ的斜率存在，由kPQ＝kMN，即＝，得m＝－.经检验知，m＝－符合题意.故选B. 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　 ) A．　　 B．－　　 C．a　　 D．不存在 答案：BD 解析：当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在．故选BD． 3.已知两点M(2，2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为　　　　． 答案：(1，0)或(6，0) 解析：设P点坐标为(x0，0)，则kPM＝，kPN＝，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即·＝－1，解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为(1，0)或(6，0). 4.(易错题)若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是　　　　． 答案：平行或重合 解析：直线l1的倾斜角为135°，故斜率kl1＝tan 135°＝－1.由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，得kl2＝＝－1，所以kl1＝kl2，所以直线l1与l2平行或重合． 课时分层评价13　两条直线平行和垂直的判定 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(概念辨析)下列说法正确的是(　　) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两条直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行 答案：B 解析：因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为－1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确．故选B． 2.两直线的斜率分别是方程x2＋2 026x－1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是(　　) A．垂直　　 B．斜交　　 C．平行　　 D．重合 答案：A 解析：不妨设两直线的斜率分别为k1，k2，则由题意有k1·k2＝－1，所以两直线互相垂直．故选A． 3.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(1，－2)，C(－2，4)，则BC边上的高的斜率为(　　 ) A．2　　 B．－2　　 C．　　 D．－ 答案：C 解析：因为B(1，－2)，C(－2，4)，所以kBC＝＝－2.设BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1，所以k＝.故选C. 4.已知直线l1经过A，B两点，且直线l2∥l1，则直线l2的倾斜角为(　　) A．30°　　 B．45°　　 C．135°　　 D．150° 答案：C 解析：设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率kl1＝＝－1，由l2∥l1，所以kl2＝－1，即tan α＝－1.又0°≤α＜180°，则α＝135°，所以直线l2的倾斜角为135°．故选C． 5.(多选)设平面内四点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是(　　 ) A．PQ∥SR　　 B．PQ⊥PS　　 C．PS∥QS　　 D．PR⊥QS 答案：ABD 解析：由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故A、B、D正确.故选ABD. 6.(多选)已知点A，B，下列结论正确的是(　　) A．若直线AB的方向向量为，则k＝ B．若直线l的斜率为－，则l⊥AB C．若C，则△ABC为直角三角形 D．若C，D，则四边形ABCD是平行四边形 答案：BC 解析：对于A，k＝kAB＝＝2，所以直线AB的方向向量为，故A错误；对于B，因为－kAB＝－1，所以l⊥AB，故B正确；对于C，因为kBC＝＝－，kBCkAB＝－1，所以AB⊥BC，故C正确；对于D，因为kCD＝＝2＝kAB，kAD＝，kBC＝－，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，故D错误.故选BC. 7.直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l1∥l2，则直线l2的斜率为　　　　． 答案： 解析：直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1∥l2，则l2的倾斜角也等于30°，所以l2的斜率为tan 30°＝． 8.已知l1，l2不重合，过点A和点B的直线l1与直线l2平行，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l2⊥l3，则实数m＋n的值为　　　　． 答案：－10 解析：由题意可得，直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－2，直线l3的斜率k3＝－，因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝－2，解得m＝－8；又l2⊥l3，所以k2·k3＝－1，即＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10. 9.(开放题)已知点A(1，2)，B(2，3)，点C在x轴上，△ABC为直角三角形，请写出C的一个坐标：　　　　． 答案：(3，0)(答案不唯一，(3，0)，(5，0)任意一个都可以) 解析：设C(x，0)，易知当x＝1或x＝2时，不合题意，因此当x≠1且x≠2时，可得kAB＝ ＝1，kAC＝－ ，kBC＝－ ，当A为直角时，kAB·kAC＝1· ＝－1，得x＝3，即C的坐标为(3，0).当B为直角时，kAB·kBC＝1· ＝－1，得x＝5，即C的坐标为(5，0).当C为直角时，kAC·kBC＝ · ＝－1，化简得x2－3x＋8＝0，该方程无解. 10.(13分)已知A(m，4)，B(－2，m)，C(1，1)，D(m＋2，3)四点． (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°． 解：(1)①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C(1，1)，D(0，3)，则直线CD的斜率存在， 故直线AB与直线CD不平行，故m≠－2； 同理可得m≠－1，所以直线AB与直线CD的斜率都存在. ②直线AB的斜率为kAB＝，直线CD的斜率为kCD＝. 因为直线AB与直线CD平行，所以kAB＝kCD，即＝， 整理可得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1， 检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1. (2)证明：＝(1－m，－3)，＝(3，1－m)， 则·＝3(1－m)－3(1－m)＝0，⊥， 所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(　　) A．19　　 B．　　 C．5　　 D．4 答案：B 解析：由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补.又由题意得∠COA＝90°，所以∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得y＝.故选B. 12.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，则点A的坐标可以为(　　) A．(1，－1)　　 B． C．　　 D． 答案：AC 解析：若∠A＝∠D＝90°，如图①，由题可知AB∥DC，AD⊥CD.又kCD＝0，所以A(1，－1).若∠A＝∠B＝90°，如图②.设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.由AD∥BC，得kAD＝kBC，即＝－3.由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1，解得故A(，－).综上所述，点A的坐标为(1，－1)或(，－).故选AC. 13.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝　　　　． 答案：4＋ 解析：如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.所以直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.所以＝＝－，解得m＝4＋. 14.(17分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 解：(1)设点D的坐标为(a，b)， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以所以D(－1，6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(新情境)将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则a－b＝　　　　． 答案：1 解析：设点为点A，点为点B，所以线段AB的中点为E．设点(－1，2)为点C，点为点D，所以线段CD的中点为F，由题意可知kAB＝kCD，kEF·kAB＝－1，于是有： 所以a－b＝1. 16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为　　　　． 答案：6 解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B(a，－2)，C(b，3)．因为AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，所以＝－1，则ab－6＝0，ab＝6，b＝．所以Rt△ABC的面积S＝|AB|·|AC|＝＝6(当且仅当a2＝4时取等号)． 学生用书⬇第56页 学科网（北京）股份有限公司 $