第2章 2.1.1 倾斜角与斜率-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，前承平面几何中直线的图形认知，后续为直线方程、位置关系等解析几何内容奠基。涵盖倾斜角定义与范围，斜率概念、公式及与方向向量关系，通过三点共线、范围问题等应用形成完整学习支架。 该资料以问题导思激活认知，如从日常坡度引入斜率培养数学抽象，结合图形分析倾斜角范围发展直观想象。典例与分层练习提升数学运算，任务驱动教学助教师高效授课，课后评价帮助学生查漏补缺，体现学科特色教学方法。

单元学习五　直线的倾斜角与斜率 　　［单元整体设计］　直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点．本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离．在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想．基于以上内容，本章共分五个单元整体设计：直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系，学习计划16课时(含习题课、复习课)． 　　本单元内容是本章的基础，主要内容是直线的倾斜角与斜率的概念、关系；过两点的斜率公式；以及运用直线的斜率判断直线平行、垂直的位置关系，学习计划2课时． 　　本单元内容重点是直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式．难点是用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系．在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，培养直观想象的核心素养． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，提升数学抽象的核心素养． 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，发展数学运算的核心素养． 任务一　直线的倾斜角 (阅读教材P51－52，完成探究问题1、2) 问题1.在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2.在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 直线的倾斜角 倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特例 当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0° 倾斜角α的范围 0°≤α＜180° 具体如下： 倾斜角 α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 直线 与x轴平行(重合) 由左向右上升 与x轴垂直 由左向右下降 学生用书⬇第50页 ［微提醒］　(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等． ［微思考］　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． (1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　 ) A．α＋45°　　 B．α－135° C．135°－α　　 D．α－45° 答案：(1)AC　(2)AB 解析：(1)《》(2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．故选AB． 求直线倾斜角的关键及两点注意 1.关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角． 2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．(2)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．　　 对点练1.(1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　) A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180° (2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　． 答案：(1)C　(2)60°或120° 解析：(1)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°．故选C． (2)有两种情况：如图①所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°． 如图②所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°． 任务二　直线的斜率和方向向量 (阅读教材P52－54，完成探究问题3) 问题3.日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞．在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度． 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2.斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3.直线的方向向量与斜率的关系 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． (1)直线P1P2的方向向量＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率． (2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1)． ［微提醒］　(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；当y1＝y2时，直线的斜率为0，直线与x轴平行或重合．(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．(4)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线不存在斜率．(5)斜率从“代数”的角度刻画了直线相对于x轴正方向的倾斜程度，它的取值范围是(－∞，＋∞)．(6)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． 学生用书⬇第51页 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　． (2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　． (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为　　　 　． 答案：(1)－　(2)1　(3) 解析：(1)k＝tan 120°＝－ ． (2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. (3)设直线l的斜率为k，则k＝． 求直线的斜率的3种方法 1.利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α． 2.利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 3.利用直线的方向向量：已知直线的一个方向向量为(x，y)，则k＝． 对点练2.(1)(2025·广东佛山质量检测)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在斜率为的直线上，则y2－y1＝(　　) A．－　　 B．－　　 C．　　 D． (2)已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为(　　) A．－3　　 B.3 C．－　　 D． (3)已知直线l过A，B两点且倾斜角为，则m的值为　　　　． 答案：(1)D　(2)C　(3)1 解析：(1)因为点A(1，y1)，B(2，y2)在斜率为＝y2－y1＝．故选D． (2) 因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C. (3)由直线l过点A，B，可得AB的斜率为k＝＝m，因为直线l的倾斜角为，可得k＝tan ＝1，所以m＝1. 任务三　直线倾斜角与斜率的应用 (阅读教材P53－54，完成探究问题4) 问题4.当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？ 提示：由正切函数图象及单调性，当倾斜角为锐角时，斜率为正，且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且斜率随着倾斜角的增大而增大． 1.设直线的倾斜角为α，斜率为k． α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 － 随α的增大而增大 － 随α的增大而增大 2.下面特殊角的正切值要熟记 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － ［微提醒］　(1)根据正切函数在上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况．(2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率． 角度1　三点共线问题 (1)斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，求a＋b的值． (2)证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上． 解：(1)由题意，得2＝， 所以a＝4，b＝－3，所以a＋b＝1. (2)证明：易知直线AB，AC的斜率都存在， 因为kAB＝＝－3， 所以kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A， 所以A，B，C三点共线． 学生用书⬇第52页 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练3.(多选)下列选项中所给的三点共线的是(　　) A．A(1，2)，B(2，3)，C(3，4) B．E(－1，2)，F(2，－3)，G(－3，4) C．M(－1，2)，N(2，－4)，P(－3，6) D．X(－3，2)，Y(－2，3)，Z(3，6) 答案：AC 解析：计算斜率，得kAB＝＝1，kAC＝＝1，因为kAB＝kAC，所以A，B，C三点共线，故A正确；kEF＝＝－，kEG＝＝－1，因为kEF≠kEG，所以E，F，G三点不共线，故B错误；同理，kMN＝kMP＝－2，所以M，N，P三点共线，故C正确；kXY≠kYZ，所以X，Y，Z三点不共线，故D错误.故选AC. 对点练4.已知A，B，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围． 解：因为A，B，C， 所以kAC＝， 当a＋2＝1，即a＝－1，此时A，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在， 此时A，B，C三点能构成一个三角形， 当a＋2≠1，即a≠－1时，kAB＝，要使A，B，C三点能构成一个三角形，则kAB≠kAC， 即， 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，，＋∞)． 角度2　倾斜角和斜率的范围问题 已知点A，B，P，点Q是线段AB上的动点．求： (1)直线PQ的斜率的范围； (2)直线PQ的倾斜角的范围． 解：(1)如图所示，kPA＝， 则直线PQ的斜率范围为(－∞，－1］⋃［，＋∞)． (2)令直线PQ的倾斜角为θ∈［0，π)，而直线PA，PB对应的倾斜角分别为， 则直线PQ的倾斜角的范围是［］． 1.倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． 2.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 3.代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率．　　 对点练5.已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2 ，4)为端点的线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围． 解：设点P(0，－2)，由题意作出图形，如图所示， 因为kPA＝ ＝1， kPB＝ ， 若要使直线l与线段AB相交， 则kl≥kPA或kl≤kPB， 所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ ］⋃［1，＋∞)． 任务再现 1.直线的倾斜角及其范围.2.直线的斜率的定义和斜率公式.3.直线的方向向量．4.三点共线问题.5.倾斜角和斜率的范围问题 方法提炼 公式法、数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 忽视倾斜角的范围、图形理解不清、忽视斜率公式的使用条件 1.如图，直线l的倾斜角为(　　 ) A．30°　　 B．60°　　 C．135°　　 D．150° 答案：D 解析：根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为105°＋45°＝150°．故选D． 2.下列可作为斜率k＝－的直线的方向向量的是(　　) A．(2，3)　　 B．(3，2) C．(－3，－2)　　 D．(－3，2) 答案：D 解析：斜率为k＝－的直线的一个方向向量为a＝，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线.故选D. 3.(双空题)已知A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x＝　　　　，直线AB的倾斜角为　　　　． 答案：3　 解析：因为A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB＝kBC，即，解得x＝3.设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝． 4.直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角α的范围是　　　　　　． 答案：⋃ 解析：因为k＝tan α，又斜率k的取值范围是≤tan α≤．又α∈，tan α＝时，α＝，tan α＝－时，α＝，由图可得，α∈． 课时分层评价12　倾斜角与斜率 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线x＝2 026的倾斜角是(　　) A.0°　　 B.45°　　 C.90°　　 D．不存在 答案：C 解析：直线x＝2 026与x轴垂直，故倾斜角为90°．故选C． 2.(概念辨析)(多选)下列命题正确的是(　　 ) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案：ABC 解析：由倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误．故选ABC． 3.(2025·河南豫南名校高二联考)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(　　 ) A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1 答案：C 解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，如图所示，直线l3对应的倾斜角为钝角， 则k3＜0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3.故选C． 4.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α　　 D．90°＋α或90°－α 答案：D 解析：如图①，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图②，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．故选D． 5.已知直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　 ) A．(－2，0］　　 B．(－∞，－2］⋃［0，＋∞) C．［1，2］　　 D．［－2，0］ 答案：D 解析：因为直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，所以kOA≤k≤0，又kOA＝ ＝－2，所以－2≤k≤0.故选D． 6.直线l1的方向向量为m＝，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．－ 答案：D 解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的方向向量为m＝， 所以直线l1的斜率为tan α＝，所以α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝tan ．故选D． 7.若直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为　　　　． 答案：60°或120° 解析：k＝时，α＝60°；k＝－时，α＝120°． 8.已知斜率为的直线逆时针旋转150°得到另一条直线，则其斜率为　　　　． 答案： 解析：斜率为的直线倾斜角为60°，则另一条直线的倾斜角为30°，其斜率为． 9.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为　　　　． 答案： 解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，即ab＝2a＋2b.两边同除以ab，得1＝＋，即＋＝. 10.(13分)(一题多问)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)； (4)直线的倾斜角为45°？ (5)直线的倾斜角为锐角？ 解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝＝0，所以m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1. (3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝． (4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0. (5)由题意可知，直线l的斜率k＞0，即＞0，解得－1＜m＜1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2025·江苏南京高二期中)若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 答案：A 解析：设A是直线l上任意一点，则平移后得点A'，于是直线l的斜率k＝kAA'＝＝－.故选A. 12.(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是(　　) A．k1＜k2＜k3　　 B．k3＜k2＜k1 C．k3＜k1＜k2　　 D．k2＜k3＜k1 答案：ACD 解析：由k＝tan x在时，k＜0，若0≤θ1＜θ2＜θ3＜＜θ1＜θ2＜θ3＜π，则k1＜k2＜k3，故A正确；若0≤θ1＜θ2＜＜θ3＜π，则k3＜k1＜k2，故C 正确；若0≤θ1＜＜θ2＜θ3＜π，则k2＜k3＜k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立．故选ACD． 13.已知直线l的方向向量n＝且与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为　　　　． 答案：－ 解析：设直线l，l'的倾斜角分别为α，β，由直线l的方向向量n＝可得直线l的斜率为2，即tan α＝2＞0，α为锐角，又因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，所以直线l'的斜率为k＝tan β＝tan＝＝＝－. 14.(15分)已知A，B，C三点． (1)若直线BC的倾斜角为135°，求m的值； (2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为B，C，直线BC的倾斜角为135°， 所以kBC＝－1＝，解得m＝4，故m的值为4. (2)因为A三点， 所以当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即． 所以存在m使得A，B，C三点共线，此时m＝． 15.(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间［a，b］上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝…＝，则n的取值集合为(　　) A．{3，4}　　 B．{2，3，4} C．{3，4，5}　　 D．{2，3} 答案：B 解析：如图，的几何意义是：曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B． 16.(17分)已知点M在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 解：(1)因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈，记点A，B． 由题意可知点M， 则的直线的斜率，如图所示， 又因为kNA＝－，kNB＝， 由于－1∈，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以． (2)因为， 则的直线的斜率，如图所示， 又因为kPA＝－，kPB＝－． 学生用书⬇第53页 学科网（北京）股份有限公司 $