第1章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量运算的坐标表示核心知识点，从平面向量坐标运算类比迁移，系统梳理空间向量线性运算、数量积的坐标公式，平行垂直的充要条件，以及模、夹角、距离公式，通过问题导思、新知构建表格、典例解析和对点练搭建学习支架。 该资料以类比迁移与问题驱动为特色，通过平面到空间的类比培养数学思维，问题导思引导主动探究形成逻辑推理能力。结合正方体、直三棱柱等几何模型的典例，提升数学运算素养，课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，提升数学运算的核心素养． 2.会判断两个向量是否平行或垂直，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 任务一　空间向量运算的坐标表示 (阅读教材P19，完成探究问题1、2) 问题1.设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2. 问题2.有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 提示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示． 设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k， 所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)． 利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的． 1.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ［微提醒］　(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致．(2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； (2)求； (3)若点P在AC上，且，求点P的坐标． 解：(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z). 因为＝(4，1，2)， 所以 所以点B的坐标为(6，－4，5). 因为＝(3，－2，5)， 所以 所以点C的坐标为(9，－6，10). (2)因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. (3)设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以 故点P的坐标为. 空间向量坐标运算的规律及注意点 1.由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． 2.直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． 3.由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．　　 对点练1.已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q； (2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q). 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2 ＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. 学生用书⬇第21页 任务二　空间向量平行、垂直的坐标表示 (阅读教材P19，完成探究问题3) 问题3.如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？ 提示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)，即a1b2－a2b1＝0，a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＝0(a≠0，b≠0)．上述充要条件在空间中仍成立，设空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb，λ∈R，可以用坐标表示为(a1，a2，a3)＝λ(b1，b2，b3)，得到方程组(λ∈R)，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示． a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； 垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ［微思考］　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有成立吗？ 提示：当b1，b2，b3均不为0时，成立． 角度1　平行或垂直的证明 (链教材P20例2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF． 证明：(1)如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为，(0，0，1). 所以＝. 又点A，M的坐标分别是(，，0)，， 所以＝. 所以＝.又NE与AM不共线， 所以NE∥AM. 又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝. 因为D(，0，0)，F(，，1)， 所以＝(0，，1)， 所以·＝0， 所以⊥，即AM⊥DF. 同理，⊥，即AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，所以AM⊥平面BDF. 1.判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件． 2.利用坐标法证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用空间向量平行、垂直的坐标表示的充要条件进行证明．　　 对点练2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， 所以DA1＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)， 设＝(a，b，c)， 则 于是＝(a，a，－a)， 易知BD1＝(－1，－1，1)，所以＝－aBD1， 所以∥BD1，又PQ与BD1无公共点， 所以PQ∥BD1. 角度2　由平行或垂直求参数 若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)． (1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值． 解：因为a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)， 所以ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，a－2b＝(5，－4，－9)． (1)因为(ka＋b)∥(a－2b)， 所以＝＝，解得k＝－. (2)因为(ka＋b)⊥(a－2b)， 所以(ka＋b)·(a－2b)＝0，即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，解得k＝． 　　已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．　　 对点练3. 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若λ＜0，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a． 解：(1)因为a∥b， 所以(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)， 所以 所以λ＝，m＝3. (2)因为a⊥c， 所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0， 化简得2－2λ2＝0，解得λ＝±1， 又λ＜0，所以λ＝－1. 所以a＝(0，1，－2)． 学生用书⬇第22页 任务三　空间向量夹角与距离的坐标表示 (阅读教材P19－20，完成探究问题4) 问题4.你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是｜｜＝＝，所以P1P2＝｜｜＝. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝ 夹角公式 cos 〈a，b〉＝＝ 两点间的 距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；P1P2＝|P1P2|＝． ［微提醒］　(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则|． (链教材P21例3)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N. (1)因为＝(1，－1，1)，＝， 所以｜｜＝＝， ｜｜＝＝. 故BM的长为，BN的长为. (2)因为cos∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， 所以sin∠MBN＝＝， S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN＝×××＝.即△BMN的面积为. 利用空间向量的坐标运算解决 夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题．　　 对点练4.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值． 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系． 因为∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， 所以A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得 ∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， 所以∠PAD＝60°． 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2， 所以P(0，0，2)． 所以BP＝|| ＝ ＝4. (2)由(1)得，＝(2，0，－2)，＝(－2，－3，0)，所以cos＜，＞＝ ＝＝－， 所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为. ［教材拓展1］　向量概念的推广与应用(源于教材P23阅读与思考) 给定空间一个单位基底，任意一个空间向量，都可用三元有序实数组(a1，a2，a3)表示，则由三元有序实数组(a1，a2，a3)表示的空间向量又称为三维向量，一般地，n元有序实数组(a1，a2，…，an)称为n维向量．n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维向量空间．定义n维向量空间中 学生用书⬇第23页 A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的“距离”dAB＝．某校服公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一男生的四种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如表所示： 型号 身高/cm 胸围/cm 腰围/cm 肩宽/cm L 170 92 78 42 XL 175 96 82 44 XXL 180 100 86 46 XXXL 185 104 90 48 为了给某中学新高一的男生制作校服，该校服公司测量了每名男生的身高a1、胸围a2、腰围a3、肩宽a4，我们把测量得到的数据按照身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生的身材可以用四维向量(a1，a2，a3，a4)表示，并且可以把它看做四维向量空间中的一个点．依据“距离”来选择衣服型号是一种常用的方法，即计算每个向量与标准点的距离，与哪个标准点的距离最近，就选择哪种型号．若某同学的身材点为P(172，95，80，43)，则该同学应该订的校服的最佳型号为(　　) A．L　　 B．XL　　 C．XXL　　 D．XXXL 答案：B 解析：依题意dPL＝＝＝3， dPXL＝＝， dPXXL＝＝， dPXXXL＝＝， 因为＜＜＜，所以该同学应该订的校服的最佳型号为XL.故选B． 任务再现 1.空间向量运算的坐标表示.2.空间向量平行、垂直的坐标表示.3.空间向量夹角与距离的坐标表示 方法提炼 类比法、数形结合思想、转化法 易错警示 1.由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.2.求异面直线所成的角时忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况 1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16，0，4)　　 B．(8，－16，4) C．(8，16，4)　　 D．(8，0，4) 答案：D 解析：4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．故选D． 2.(2025·浙江金华十校调研)已知向量a＝，b＝，若a⊥b，则＝(　　) A．2　　 B．2　　 C．2　　 D．2 答案：C 解析：根据题设a·b＝－4＋2＋x＝0，可得x＝2，即b＝，所以＝＝2.故选C． 3.(多选)已知a＝，b＝，c＝，则下列结论错误的是(　　) A．b∥c B．a∥b C．a⊥b D．a⊥c 答案：ABD 解析：对于A，因为≠≠，所以向量b与c不共线，故A不正确；对于B，因为≠≠，所以向量a与b不共线，故B不正确；对于C，因为a·b＝2×2＋3×0＋(－1)×4＝0，所以a⊥b，故C正确；对于D，因为a·c＝2×(－4)＋3×(－6)＋(－1)×2≠0，所以向量a与c不垂直，故D不正确.故选ABD． 4.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为　　　　. 答案： 解析：因为＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，所以｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，所以cos〈，〉＝＝＝，又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 课时分层评价6　空间向量运算的坐标表示 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　) A．(2，－4，2)　　 B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2)　　 D．(2，1，－3) 答案：A 解析：b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．故选A． 2.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．5　　 B．　　 C．2　　 D．3 答案：D 解析：因为a－b＋2c＝(9，3，0)，所以|a－b＋2c|＝．故选D． 3.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为(　　) A．0　　 B．－1　　 C．1　　 D．－2 答案：A 解析：由题意得，＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，因为A，B，C三点共线，所以∥，所以＝＝，所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.故选A． 4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：因为＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，＝(5，1，－7)，所以·＝10－3－7＝0，所以BC⊥AC，而｜｜＝，｜｜＝5，所以△ABC是直角三角形.故选C． 5.(2025·四川广安高二摸底)已知空间向量a＝(3，0，1)，b＝(－2，1，n)，c＝(1，2，3)，且(a－c)·b＝2，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：由题意知，a－c＝(3，0，1)－(1，2，3)＝(2，－2，－2).因为(a－c)·b＝－4－2－2n＝2，解得n＝－4，即b＝(－2，1，－4)，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.故选B． 6.(多选)在空间直角坐标系中，向量a＝，b＝，则下列结论正确的是(　　) A.(2a＋b)∥a B．5＝ C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为 答案：BC 解析：由题意知，2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A错误；＝，＝5，所以5＝，故B正确；a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；a·b＝－5，cos〈a，b〉＝＝－，故D错误.故选BC． 7.若向量a＝(－1，x，5)与b＝(2x，－8，y)共线，且方向相同，则x＝　　　　. 答案：－2 解析：因为向量a与b共线，且方向相同，所以a＝λb，且λ＞0，从而有(－1，x，5)＝λ(2x，－8，y)，所以经检验符合题意. 8.(2025·广东八校高二调研)已知向量a＝，b＝的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　　　　　　. 答案：∪ 解析：由a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3t＝－10＋3t＜0，得t＜，当a∥b时，b＝λa，即＝λ，得解得t＝－6，所以当向量a，b的夹角为钝角时，实数t的取值范围为∪. 9.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝　　　　. 答案： 解析：由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC．又⊥，所以解得x＝，y＝－，z＝4，所以x＋y＝－＝. 10.(13分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长． 解：建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G. 所以＝，＝， ＝，＝. (1)证明：因为·＝×＋×＋×0＝0， 所以⊥，即EF⊥CF. (2)因为·＝×1＋×0＋×＝，｜｜＝＝， ｜｜＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. (3)CE＝｜｜＝＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　　 B．平行 C．异面　　 D．相交但不垂直 答案：B 解析：因为A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，所以＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，可得＝－3，所以∥.又＝(2，0，－2)，所以AB与AC不共线，所以直线AB与CD的位置关系是平行.故选B． 12. (多选)(2025·浙江金华十校调研)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，N为CC1的中点，以下结论正确的是(　　) A．＋＋ B． C．AN⊥平面A1BD D．＝2 答案：AD 解析：如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1，B，D，C，N.对于A，＝＋＝＋＋，故A正确；对于B，因为＝，所以＝＝，故B错误；对于C，因为＝，＝，由·＝1－＝≠0，则AN和A1B不垂直，所以AN不垂直平面A1BD，故C错误；对于D，因为＝，＝，则·＝1×1＋1×1＋×0＝2，故D正确.故选AD． 13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，点M，N分别在直线D1E，CD上，则线段MN的最小值为　　　　． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，E，＝(2，1，－2).由题意，＝λ＝(2λ，λ，－2λ)，则M(2λ，λ，2－2λ).又设N(0，n，0)，所以＝ ＝.当λ＝n＝时，MN取得最小值，最小值为. 14.(15分)(新情境)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 解：因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD． 因为AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直． 所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz． 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD． 在Rt△CDE中，因为∠CDA＝45°，CD＝， 所以DE＝CE＝1. 设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)． 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t， 所以E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)． 假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(t，－m，0)． 由||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m①． 由||，得(4－t－m)2＝m2＋t2②． 由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0③． 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 15.(5分)(新定义)(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　) A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z＞0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D．已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ 答案：BC 解析：a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，因为0＜θ＜π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4×，故D错误．故选BC． 16.(17分)(创新题)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)． (1)求证：AP⊥底面ABCD； (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义． 解：(1)证明：因为＝－2－2＋4＝0， 所以AP⊥AB． 又因为＝－4＋4＋0＝0， 所以AP⊥AD． 因为AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线， 所以AP⊥底面ABCD． (2)设的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， V＝｜｜·｜｜·sin θ·｜｜＝··＝16. (3)｜(×)·｜＝｜－4－32－4－8｜＝48，它是四棱锥P-ABCD体积的3倍. 猜测：｜(×)·｜在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积. 学生用书⬇第24页 学科网（北京）股份有限公司 $