第1章 1.3.1 空间直角坐标系-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦空间直角坐标系这一核心知识点，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系的建立规则，系统梳理点的坐标确定方法、对称点坐标规律及空间向量坐标表示，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料通过问题导思激活类比思维，结合正四棱锥建系等典例培养直观想象与数学运算素养，分层练习与易错警示助力逻辑推理能力提升。课中辅助教师引导学生建立空间观念，课后帮助学生通过对点练查漏补缺，强化知识应用。

单元学习三　空间向量及其运算的坐标表示 　　［单元整体设计］　本单元主要内容包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示．其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础．通过本单元的学习，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量及其运算的坐标表示，并会用这些知识解决简单的立体几何问题．学习计划2课时． 　　本单元内容重点是空间直角坐标系的建立和空间向量运算的坐标表示，难点是空间向量运算的坐标表示及其应用．在研究的过程中，发展数学运算、逻辑推理的核心素养． 1.3.1　空间直角坐标系 学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，提升数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养． 2.掌握空间向量的坐标表示，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 任务一　空间直角坐标系及点的坐标 (阅读教材P16－17，完成探究问题1) 问题1.利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 提示：在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系． 1.建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． 2.有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 3.建系的常用规则 (1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． (2)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 4.点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． ［微思考］　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 学生用书⬇第18页 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 所以正四棱锥的高为． 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2)． 答案不唯一． 1.建立空间直角坐标系的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． (2)充分利用几何图形的对称性． (3)一般用右手直角坐标系． 2.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)．　　 对点练1.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1， 可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为1， 所以OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. 因为A，B，C均在坐标轴上， 所以A，B，C. 因为点A1与C1在Oyz平面内， 所以A1，C1. 因为点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， 所以B1， 即该三棱柱各顶点的坐标为A，B(，0，0)，C，A1，B1，C1.答案不唯一. 任务二　空间点的对称问题 (链教材P22习题T2)在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P2(－2，1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3． 空间点对称问题的解题策略 1.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． 2.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．　　 对点练2.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　　　． 答案：(2，－3，1) 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)． 任务三　空间向量的坐标 (阅读教材P17－18，完成探究问题2) 问题2.在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，如何确定它们的坐标？ 提示：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D．所以在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，，，且＝＋＋.设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A(向量)的坐标为(x，y，z). 　向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 学生用书⬇第19页 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k， ＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0). ＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4). ＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4). 答案不唯一. ［变式探究］ (变结论)本例条件不变，若D为B1C1的中点，则的坐标为　　　　． 答案：(－2，－2，－4) 解析：在典例建立的坐标系中，因为＝－＝－＋)，所以＝－[(＋)＋(＋)]＝－[(4，0，4)＋(0，4，4)]＝－(4，4，8)＝(－2，－2，－4).答案不唯一. 用坐标表示空间向量的步骤 注意：起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得．　　 对点练3.(2025·安徽合肥六校检测)如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则C1的坐标是(　　) A．(0，3，2)　　 B．(0，4，2) C．(4，0，2)　　 D．(2，3，4) 答案：A 解析：由，D为坐标原点，所以B1，所以＝4，＝3，＝2，所以C1的坐标为.故选A． 任务再现 1.空间直角坐标系的概念.2.空间点的坐标(含对称点的坐标).3.空间向量的坐标 方法提炼 数形结合、类比联想、转化法 易错警示 混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同 1.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3，5，4) B． C． D． 答案：C 解析：由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是.故选C． 2.已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　) A．(－3，－2，3)　　 B．(－3，2，－3) C．(－3，2，3)　　 D．(－3，－2，－3) 答案：C 解析：点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3)．故选C． 3.(概念辨析)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D．在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c) 答案：BCD 解析：空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B、C、D正确．故选BCD． 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若点D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则向量AC1 的坐标为　　　　． 答案：(－4，2，3) 解析：＝－4i＋2j＋3k＝(－4，2，3)． 课时分层评价5　空间直角坐标系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，则点C1的坐标为(　　) A．(3，3，2) B．(3，2，2) C．(3，2，3) D．(2，2，3) 答案：B 解析：因为点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，所以AB＝3，AD＝2，AA1＝2，所以点C1的坐标为(3，2，2)．故选B． 2.已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是(　　) A．(3，0，－4)　　 B．(－3，0，4) C．(－4，0，－3)　　 D．(3，0，4) 答案：D 解析：因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(－x，－y，－z)，所以点A(－3，0，－4)关于原点的对称点B的坐标是(3，0，4)．故选D． 3.在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，3)，B(－3，0，1)，则线段AB的中点坐标是(　　) A．(－1，－1，2)　　 B．(1，1，－2) C．(2，2，－4)　　 D．(－2，－2，4) 答案：A 解析：设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，所以x＝＝－1，y＝＝－1，z＝＝2，故线段AB的中点坐标是(－1，－1，2)．故选A． 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 答案：C 解析：由题图知，B(1，1，0)，E(1，，1)，所以．故选C． 5.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　) A．(－1，1，－1)　　 B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1)　　 D．不确定 答案：D 解析：由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1).而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定.故选D． 6.(多选)下列各命题正确的是(　　) A．点(1，－2，3)关于平面Oxz的对称点为(1，2，3) B．点关于y轴的对称点为 C．点(2，－1，3)到平面Oyz的距离为1 D．设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4) 答案：ABD 解析：对于A，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则(1，－2，3)的对称点为(1，2，3)，故A正确；对于B，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则，故B正确；对于C，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则(2，－1，3)到平面Oyz的距离为2，故C错误；对于D，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝(3，－2，4)，故D正确.故选ABD． 7.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为　　　　　　　　． 答案：(2，－4，5)，(1，2，－3) 解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4，5)，b＝(1，2，－3)． 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，点M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q在平面Oxy内的射影的坐标是　　　　　　． 答案：(1，1，0) 解析：因为M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，所以Q(1，1，－1)，所以点Q在平面Oxy内的射影的坐标是(1，1，0)． 9.在空间直角坐标系Oxyz中，点A的坐标为(1，2，3)，则A到平面Oxy的距离为　　　　． 答案：3 解析：由题意可知，点A(1，2，3)到平面Oxy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3. 10.(13分)如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 解：因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以，，是两两垂直的单位向量. 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示. 法一：因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＋)＝－＋＋＋＋) ＝＋＝e2＋e3. 所以＝. 法二：如图所示，连接AC，BD交于点O，则O为AC，BD的中点，连接MO，ON. 则＝＝，＝， 故＝＋＝＋＝e2＋e3. 所以＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.点P(3，0，2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　) A．y轴上　　 B．Oxy面上 C．Ozx面上　　 D．Oyz面上 答案：C 解析：因为P点的y轴坐标为0，其他坐标不为0，故点P(3，0，2)在Ozx面上．故选C． 12.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案：ACD 解析：依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确；设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确．故选ACD． 13.已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，设点A，B在Oyz平面上的射影分别为A1，B1，则向量的坐标为　　　　　　． 答案：(0，－1，10) 解析：点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在Oyz平面上的射影分别为A1(0，5，－7)，B1(0，4，3)，所以A1B1＝OB1－OA1＝4j＋3k－5j＋7k＝－j＋10k，所以向量A1B1的坐标为(0，－1，10)． 14.(15分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的空间直角坐标系并写出向量，的坐标． 解：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB， 所以可设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz. 因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＋)＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)＝－e1＋e3， ＝＝e2， 所以＝，＝(0，1，0). 15.(5分)(双空题) 已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为　　　　；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为　　　　． 答案：(1，1，1)　 解析：由题意知，p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又因为p＝2a＋b－c，所以解得x＝，y＝，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 16.(17分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，建立如图所示的空间直角坐标系，求点E的坐标． 解：由题意得，D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0). 设点E的坐标为(x，y，0)，过E分别作AD，DC的垂线，垂足为M，N，如图. 因为AD·CD＝AC·DE，所以DE＝＝. 因为cos ∠EDA＝，所以sin ∠EDA＝，EM＝DE·sin ∠EDA＝，EN＝DE·cos ∠EDA＝， 所以E. 学生用书⬇第20页 学科网（北京）股份有限公司 $