第1章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦共线向量与共面向量核心知识点，从平面向量共线充要条件类比迁移至空间向量，明确方向向量定义，再延伸共面向量充要条件，通过证明三点共线、四点共面及参数求解构建完整学习支架。 资料以问题导思培养数学抽象，典例及变式探究提升逻辑推理，对点练强化数学运算。采用类比、转化、数形结合教学法，课中助力教师高效授课，课后分层评价与随堂练习帮助学生巩固，有效弥补知识盲点。

第2课时　共线向量与共面向量 学习目标 1.理解共线向量、共面向量的定义，培养数学抽象的核心素养． 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，提升逻辑推理的核心素养． 3.会证明空间三点共线、四点共面，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 任务一　共线向量 (阅读教材P4，完成探究问题1) 问题1.平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 1.向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2.直线的方向向量 (1)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于 学生用书⬇第6页 直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． (2)我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (3)空间直线可以由直线上一点和它的方向向量确定． ［微提醒］　(1)0与空间任意向量a都是共线向量．(2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一．(3)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线． 证明：设BD的中点为O，连接GB，GD，GC1，GO，OC，如图所示， ＝＋＋＝＋＋. 因为G为△BC1D的重心，所以＝＝－)＝＋－)＝＋－， 所以＝＋＝＋＋－＝＝， 所以∥，且有公共点C，即A1，G，C三点共线. ［变式探究］ 　(变条件，变结论)将本例条件改为：如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c， 由＝＝，所以＝， 则＝＋＝＋＝＋＋)＝－＋××＋)＝－a＋(b－a＋c－a)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋＋)＝－a＋b＋c＝. 所以∥且有公共点B，即B，G，N三点共线. 向量共线的判定及应用 1.判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． 2.判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ． 注意：对空间任意一点O，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线．　　 对点练1.(1)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？　　　　(填“是”或“否”)． (2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝　　　　． 答案：(1)是　(2)1 解析：(1)法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋①.又因为＝＋＋＋＝－＋－ －②，①＋②得2＝，所以∥，即共线. 法二：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，所以＝－＝＋)－＝＋)－＋)＝－)＝－)＝.所以∥，即共线. (2)由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1. 任务二　共面向量 (阅读教材P4，完成探究问题2) 问题2.(1)空间中任意三个向量是否共面？ (2)平行于同一平面的两直线的位置关系如何？ 提示：(1)不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面． (2)平行于同一平面的两直线的位置关系可能相交、平行或异面． 1.向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2.共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb ［微提醒］　向量p与向量a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 学生用书⬇第7页 角度1　证明向量共面 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面． 证明：因为＝k＝kb＋kc， ＝＋＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb， 所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 由共面向量定理可知，，a，c共面. 向量法证明空间三向量共面 　　设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．　　 对点练2.已知向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由． 解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y＝a＋(x－3y)b＋c， 因为向量a，b，c不共面，故 解得故r＝3p－5q， 由空间向量共面定理得向量p，q，r共面. 角度2　证明空间中四点共面 (链教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， 因为M为线段DD1的中点，所以＝c－a， 又因为AN∶NC＝2∶1， 所以＝＝(b＋c)， 所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋＝＋， 所以，，为共面向量. 又因为三向量有相同的起点A1， 所以A1，B，N，M四点共面． 　　四点共面问题，需利用共面向量的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．一般来说，证明点P在平面ABC内，有如下三种方法： 1.若，则点P在平面ABC内． 2.若对空间任意一点O，有，则点P在平面ABC内． 3.若对空间任意一点O，有(其中x＋y＋z＝1)，则点P在平面ABC内． 注意：上述中的x，y，z均为实数． 对点练3.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＋＋＋)． 证明：(1)因为＝－＝＋)－＝－＋＋， ＋＝＋＝－)＋＝－＋＋， 所以＝＋，即，，共面，又，，过同一点E， 所以E，F，G，H四点共面. (2)由题意可知四边形EFGH为平行四边形，M为EG的中点， 故＋＋＋)＝(2＋2)＝＋)＝×2×＝. 学生用书⬇第8页 任务三　由共线向量、共面向量求参数 (1)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝－a＋2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝　　　　． (2)已知t∈R，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点．若＝－＋＋t，且A，B，C，P四点共面，则t＝　　　　． (3)已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝　　　　． 答案：(1)－3　(2)　(3) 解析：(1)因为＝＋，已知＝－2a－b，＝－a＋2b，所以＝(－2a－b)＋(－a＋2b)＝－3a＋b.因为A，B，D三点共线，所以共线，即存在实数λ，使得＝λ.已知＝9a＋mb，＝－3a＋b，则9a＋mb＝λ(－3a＋b).根据向量相等的性质，可得 (2)因为A，B，C，P四点共面，则＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，又＝－＋＋t，即－＝－＋＋t，即＝＋＋t.所以＋＋t＝1，解得t＝. (3)因为a，b，c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.因为i，j，k是不共面向量，所以所以λ＝. 1.若已知A，B，C三点共线，则＝λ(λ∈R)，然后利用指定向量表示出，根据对应的指定向量的系数相等列出方程组，从而求出参数． 2.若已知点P在平面ABC内，则有(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．　　 对点练4.(1)已知e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，向量a＝e1＋μe2＋4e3，b＝3e1＋9e2＋λe3，若a与b共线，则λ＋μ＝(　　) A．－3　　 B．3　　 C．－15　　 D．15 (2)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　) A．0　　 B．2　　 C．－1　　 D．－2 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)若a与b共线，设a＝kb(k∈R)，所以e1＋μe2＋4e3＝k(3e1＋9e2＋λe3)，因为e1，e2，e3为空间三个不共面的向量，所以(1－3k)e1＋(μ－9k)e2＋(4－kλ)e3＝0，可得故λ＋μ＝15.故选D． (2)因为＝－2＋5－m，动点Q在△ABC所在平面内运动，所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.故选B． 任务再现 1.直线的方向向量．2.空间向量共线的充要条件.3.空间向量共面的充要条件.4.证明三点共线、四点共面以及由共线、共面求参数 方法提炼 类比法、转化法、数形结合思想 易错警示 混淆向量共线与线段共线、点共线 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 答案：A 解析：由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量． 2.(2025·安徽合肥检测)已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足＝λ＋＋，则λ＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：D 解析：因为点M在平面ABC内，且＝λ＋＋，所以λ＋＋＝1，解得λ＝.故选D． 3.(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb C．若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面 D．若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y 答案：AC 解析：由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题.故选AC． 4.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为　　　　． 答案：－8 解析：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，可得＝＋＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2.又因为A，B，D三点共线，故可设＝λ，即2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2).因为e1，e2不共线，所以解得k＝－8，所以实数k的值为－8. 课时分层评价2　共线向量与共面向量 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(概念辨析)下列命题中正确的是(　　) A．若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行 B．若向量a，b，c共面，则它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 答案：C 解析：对于A，若a∥b，b∥c，当b＝0时a与c所在直线可以不平行，故A不正确；对于B，向量a，b，c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，故B不正确；对于C，根据向量共面定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确；对于D，若a∥b且b≠0，则存在唯一的实数λ，使a＝λb，故D不正确．故选C． 2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　 ) A．A，B，D　　 B．A，B，C C．B，C，D　　 D．A，C，D 答案：A 解析：因为＝＋＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线.故选A． 3.(2025·安徽合肥六校检测)在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A．＝－2－ B．＋3＋5＝0 C．＝＋＋ D．＋＋＋＝0 答案：B 解析：对于A，＝－2－，由于1－2－1＝－2≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，故A不符合题意；对于B，由于＝－3－5，则，，为共面向量，所以M，A，B，C共面，故B符合题意；对于C，＝＋＋，由于＋＋≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，故C不符合题意；对于D，由＋＋＋＝0得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面，故D不符合题意.故选B． 4.与共线是直线AB∥CD的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B 解析：根据向量共线的定义，可知若共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则共线.根据充分条件和必要条件的概念，可知共线是直线AB∥CD的必要不充分条件.故选B． 5.在四面体ABCD中，点E满足＝λ，F为BE的中点，且＋＋，则实数λ＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：D 解析：由F为BE的中点，得＝＋，又＝＋＋，所以＝＋.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，所以λ＝.故选D． 6.(多选) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈，则下列说法正确的是(　　) A．当λ＝0时，点P在棱BB1上 B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 答案：ACD 解析：当λ＝0时，＝μ，所以∥，又μ∈，则点P在棱BB1上，故A正确；当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，λ∈，所以点P在线段BC1上，故B错误；当μ＝1时，＝λ＋，所以＝λ＝λ，所以∥，又λ∈，所以点P在棱B1C1上，故C正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，λ∈，即＝λ，所以点P在线段B1C上，故D正确.故选ACD． 7.设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝　　　　　. 答案：3 解析：因为＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，所以＝＋＝2e1＋e2＋2e3，因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数x使得＝x，所以，所以λ＝3. 8.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝　　　　. 答案： 解析：由点A，B，C，D共面，得＋x＋y＝1①.又由点B，C，D，E共面，得2x＋＋y＝1②.联立①②，解得x＝，y＝，所以x＋3y＝. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，＝2，＝λ，若D1，E，F，G四点共面，则λ的值为　　　　． 答案： 解析：如图所示，由题意，EF⊂平面ABB1A1，D1G⊂平面CDD1C1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1.由D1，E，F，G四点共面，所以EF∥D1G.取M，M1分别满足＝，＝.取N，N1分别为BB1，CC1的中点.知EF∥MN∥M1N1，所以只需D1G∥M1N1即可，所以＝2，所以CG＝CC1，所以λ＝. 10.(13分)如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE． 求证：向量，，共面． 证明：因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理，＝＋. 所以＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝＋. 又不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2025·浙江金华十校调研)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点，＝2，＝λ，D，E，F，G四点共面，则λ＝(　　) A．1　　 B．　　 C．　　 D． 答案：A 解析：如图所示，根据题意可得＝＋＝＋.因为＝2，所以＝＋，且＝，＝＋，＝＋＝＋，所以＝＋＝＋＋.因为＝λ，所以＝，＝＋，所以＝＋＝＋.因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有＝x＋y，所以＋＝x＋y(＋＋)＝＋＋(＋，所以所以λ＝1.故选A． 12.(多选)在以下命题中，不正确的命题是(　　) A．非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 C．若与共线，则AB与CD所在直线平行 D．若Q为△ABC的重心，则＋＋ 答案：ABC 解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，令＝a，＝b，＝c，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故A不正确；若a，b同向共线，则｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜，故B不正确；由向量平行知C不正确；若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，所以3＋＋＋＝3，所以3＝＋＋，即＝＋＋，故D正确.故选ABC． 13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M，N，P三点的平面α交棱BC于Q，设＝λ，则λ＝　　　　　． 答案： 解析：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝a－c，＝＋＋＝－c＋a－b＋c＝a－b，＝＋＝λb－c，由题意可知，，，共面，设＝m＋n，即λb－c＝m＋n＝a－nb－mc，所以m＋n＝0，λ＝－n，－m＝－，解得m＝1，n＝－，λ＝. 14.(17分)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．求证：E，F，G，H四点共面． 证明：如图所示，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH． 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R分别为所在边的中点． 所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝. 因为四边形MNQR为平行四边形， 所以＝－＝－＝＝＋)＝－)＋－)＝×＋×＝＋. 所以，，为共面向量， 又因为三向量有相同的起点E， 所以E，F，G，H四点共面. (15、16，每小题5分，共10分) 15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，点P为正方体表面及其内部的点，若点P满足＝m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，则满足条件的所有点P构成的图形的面积是　　　　． 答案： 解析：因为点P满足＝m＋n＋k，其中m，n，k∈R，且m＋n＋k＝1，所以A，M，N，P四点共面，又因为点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上及其围成的三角形内部的点.所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°＝. 16.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，＝－＋＋，则三棱锥A-MBC的体积是　　　　． 答案：9 解析：因为＝－＋＋，则15＝－＋3＋4，即15＝－－＋3＋3＋4＋4，即9＝－＋3＋4，所以＝－＋＋，因为－＋＋＝1，则在平面ABC内存在一点D，如图所示，使得＝－＋＋成立，即＝，所以＝，即＝，则＝，又三棱锥P-ABC的体积为15，则VA-MBC＝VP-ABC＝×15＝9. 学生用书⬇第9页 学科网（北京）股份有限公司 $