第5章 5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

5.2.3　简单复合函数的导数

任务一　复合函数的概念

(阅读教材P78－79，完成探究问题1)

问题1.函数y＝ln(2x－1)和y＝(2x－1)ln x分别是如何构成的？

提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数.而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思.

复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).

[微提醒]　内、外层函数通常为基本初等函数.

指出下列函数是怎样复合而成的：

(1)y＝(3＋5x)2；

(2)y＝log3(x2－2x＋5)；

(3)y＝cos 3x；

(4)y＝102x＋3.

解：(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.

(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.

(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.

(4)y＝102x＋3是由函数y＝10u，u＝2x＋3复合而成的.

判断复合函数的复合关系的一般方法

　　从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数.

对点练1.(1)函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(　　)

A.φ(x)＝2x B.φ(x)＝sin x

C.φ(x)＝2x－1 D.φ(x)＝sin(2x－1)

(2)(多选)下列哪些函数是复合函数(　　)

A.y＝log2(2x＋1) B.y＝2x2－

C.y＝2ln x D.y＝cos

答案：(1)C　(2)ACD

解析：(1)y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C.

(2)根据复合函数的定义，选ACD.

任务二　复合函数的导数

(阅读教材P79－80，完成探究问题2)

问题2.如何求函数y＝sin 2x的导数？

提示：y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y'＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u'＝2，发现y'x＝y'u·u'x.

复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

[微提醒]　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构.(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则.(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.

(链教材P79例6)求下列函数的导数：

(1)y＝；

(2)y＝sin；

(3)y＝log2(2x－1)；

(4)y＝e3x＋2.

解：(1)y＝可以看作函数y＝ u－4和u＝1－3x的复合函数.

根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(u－4)'·(1－3x)'＝－4u－5(－3)＝.

(2)y＝sin可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋的复合函数.

根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(sin u)'·'＝2cos u＝2cos .

(3)y＝log2(2x－1)可以看作函数y＝log2u和u＝2x－1的复合函数.

根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(log2u)'·(2x－1)'＝·2＝＝.

(4)y＝e3x＋2可以看作函数y＝eu和u＝3x＋2的复合函数.