第4章 重点突破1 求数列的通项-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

技法一　 观察归纳法

根据下列数列的前几项，分别写出数列的一个通项公式：

(1)－1，7，－13，19，…；

(2)1，1，，，，…；

(3)，3， ， ，3，…；

(4)m，n，m，n，m，n，….

解：(1)观察可得该数列的奇数项为负，偶数项为正，且后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，

所以该数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).

(2)原数列可写成，，，，，…，观察发现分子为2n－1，分母为2n－1，

所以该数列的一个通项公式为an＝.

(3)原数列可写成，，，，，…，

所以该数列的一个通项公式为an＝.

(4)这个数列奇数项为m，偶数项为n，所以奇数项可写为＋ ，偶数项可写为－，

所以该数列的一个通项公式为an＝＋(－1)n＋1(答案不唯一).

观察归纳法的适合类型及关注点

1.适合类型：已知数列的前几项求数列的通项公式.

2.关注点：根据前几项的规律重点关注如下几个特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号的特征等，并对此进行归纳、联想.

对点练1.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：

(1)－1，1，3，5，…；

(2)－，，－，，…；

(3)11，102，1 003，10 004，…；

(4)1，2，2，3，3，4，4，….

解：(1)由题可得a1＝2×1－3＝－1，a2＝2×2－3＝1，a3＝2×3－3＝3，a4＝2×4－3＝5，

故an＝2×n－3＝2n－3.

(2)由题可得a1＝(－1)1×＝－，

a2＝(－1)2×＝，

a3＝(－1)3×＝－，

a4＝(－1)4×＝，

故a4＝(－1)n×＝.

(3)由题可得11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，故an＝10n＋n.

(4)奇数项为1，2，3，4，…，可得an＝，

偶数项为2，3，4，…，可得an＝.

则该数列通项公式an＝

技法二　累加、累乘法

(1)(2026·河南郑州高二月考)已知数列{an}的首项为2，且an＋1－an＝2n，则a6＝(　　)

A.255 B.63 

C.64 D.127

(2)已知a1＝2，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式是an＝(　　)

A.n B.n＋1 

C.2n D.()n

答案：(1)C　(2)C

解析：(1)因为数列{an}的首项为2，且an＋1－an＝2n，所以a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a6－a5)＝2＋21＋22＋…＋25＝2＋＝64.故选C.

(2)由an＝n(an＋1－an)，易知an≠0，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，则当n≥2时，＝，＝，＝，…，＝，由累乘法可得＝n(n≥2).因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，又a1＝2也满足上式，所以an＝2n.故选C.

1.对于an＋1＝an＋f(n)型数列，通常将an＋1＝an＋f(n)变形为an＋1－an＝f(n)，从而就有a2－a1＝f(1)，a3－a2＝f(2)，……，an－an－1＝f(n－1)(n≥2).将上述n－1个式子累加，得到an－a1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)，进而应用等差数列或等比数列的求和公式计算.

2.对于an＋1＝an·f(n)型数列，通常将an＋1＝an·f(n)变形为＝f(n)，从而就有＝f(1)，＝f(2)，＝f(3)，……，＝f(n－1)(n≥2)，将上述n－1个式子累乘，得到＝f(1)·f(2)·…·f(n－1)，进而求解.

对点练2.(1)(2026·广东深圳期末考试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝(　　)

A.43 B.46 

C.37 D.36

(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式是an＝(　　)

A. B.