天津市南开中学2027届高三数学统练1试题

2027届天津市南开中学高三统练(1) 数学 2026年9月7日 第I卷 一，选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 集合B={xx(x-3)<0},则AnB= (A)(0,2) (B[-2,3) (c)[0,2) (D)[-2,0) (2)已知直线1垂直于平面a,直线m,n在平面B内，则“m⊥1且n⊥1”是 “x∥B”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)函数f(x)=(e-e)sim2刘的图象可能是 10 (A) (B) (0) (D) (4)已知sin日-cos0= ,则sin20= (C) (D) 4 (5)下列结论中，正确的选项个数是 ①统计某大型超市连续高温天数x与当日瓶装矿泉水闭店剩余库存y,得到相关系数 r=0.91,说明连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关； ②某电商平台分析广告投入x（万元)与销停额y(万元)的关系，根据历史数据由最 小二乘法求得回归方程为)=3.2x+10,则当广告投入为5万元时，该平台当月的销售 额一淀是26万元： ③对有线性相关关系的变搬x,y,且回归方程为)=0.3x-m,若样本点的中心为 (m,2.8),则实数m的值是-4； ④设具有相关关系的两个变留x,y的相关系数为r,越接近于1，说明两个变量之 间的线性相关性越强. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 (6j已知函数∫(x)=cos4x-sin4x,则 (A)f(x)在区 [-,哥引上单调递碱 (B)在区间[0]上单调递增 (C)f(x)在区 []上单满递 (D)∫(x)在区间 2π4π 上单调递增 33 (7)若实数x,y,z满足√乐=2'=-1og2z,则x,y,z的大小关系不可能是 (A)z>x>y (B)z>y>x (C)y>x>z (D)y>z>x (8)已知M(x,)是函数f(x)=4图象上的点，N(x2y2)是函数g(x)=2-2图象上 的点，且MN∥x轴，则x2-x的最小值为 (A)1 B®) (C)2 (9)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有f(1-x)=f1+x),且 当x∈[0,1]时，f(x)=2-l,若方程f(x)=loga+2)(a>0且a≠1)恰有3个不同的 实数根，则实数a的取值范围是 (A) B)(G0,) c（0,) D)(667) 第Ⅱ卷 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个 的给3分，全部答对的给5分. (10)i是虚数单位，复数z=1+2i,则zz= (11)(x-2y+3)的展开式中xy的系数为 (12)盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红 球，现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止 时取出的球的个数为随机变量X,则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球 的概率为 X的数学期望为 13)已知函数f因=sm2x-引若方程∫(-号在(@司的解为，与 (<为)，则名+为2= sin(x)= (14)已知定义在R上的偶函数f(x)在（∞，0]上单调递增，>且f(-1)=-1若 ∫(x-1)+1≥0，则x的取值范围是」 设通数g)=丘+2-a-山之0 2+x-a+1,x≤0， 若方程f(g(x)+1=0有且只有两个实数解，则实数a的取值范围为 (15)(本小题全部答对的给5分，部分答对的给2分，答错的给0分)已知函数f(x) 定义域为R,且对于任意x有f(x+2)=∫()，当-1≤x×1时，f()=州.若 y=f(x)的图象与函数g(x)= (-2027≤x≤2027)的图象的交点依次为 ()(2),(x,y)(其中[x)表示不超过x的最大整数).则下列说法： ①g(问是偶函数：@n=2027:®2x=0:@之y=2104-20d 其中，正确的序号为 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (16)(本小题满分14分) 已知函数f(x)=2N3 sin.xcosx+2cos2x· (I)求∫(x)的最小正周期及单调递增区间： ()求f(y)在区间元，5n】 上的最大值、最小值及相应的x的值： L612 (IⅢ)已知&∈ 2且 5 求sina的值. (17)(本小题满分15分) 已知在直四棱柱ABCD-AB,CD中，AB∥CD,DA⊥DC,AB=2,AD=3, DC=4. (I)证明：直线AB∥平面DCCD: (I)若直四棱柱ABCD-AB,CD的体积为36，求平面ABD和平面ABD夹角的 余弦值. D (18)(本小题满分15分) 己知抛物线C:y=3x的焦点为F,斜率为2的直线1与C的交点为A,B,与x轴 的交点为P, (I)若AF+BF=4,求1的方程： (Ⅱ)若A=3PB,求|AB: (19)(本小题满分15分) 已知椭圆千+1(0<h<2)的左、右顶点分别为A,B,椭两T经过点 点O为坐标原点。 (1)求椭圆T的标准方程： (1)已知过椭圆右焦点F的直线交椭圆了于不同的两点M,N,且直线MN不与坐 标轴垂直，设直线MA,NB的斜率分别为k1,k2,试探究： 女是否为一个定值？如果 是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由， (20)(本小题满分16分) 己知函数f(x)=lnx-ax,其中aeR. (1)若函数g(x)=(x)+ax-ax2,求g()的单调这间： (Ⅱ)若f(x)有两个不同的零点，记两个零点分别为，x且为<· (i)求a的取值范围： （ⅱ)已知2>0，若不等式1+2<山x+lnx2恒成立，求2的取值范围.2027届天津市南开中学高三统练(1) 一、单选题 1 2 3 4 6 > 8 9 A B A c B 0 二、填空题 10 11 12 13 14 15 -120 119 25 5π，2W2 [0,2];(0,-1U3,+o) ③④ 6 3 三、解答题 16、(1)T=m,单调递增区间为-写+m,名+k,ke2 (2)x=时，fx有最大值3：x=-时，f有最小值0： 3)3-2V5 6 17、(1)由题意知，AA/DD1, 因为AA1t平面DCCD1,DD1C平面DCCD1 所以AA/平面DCC1D1, 因为AB/DC,且AB￠平面DCC1D1,DCC平面DCC1D1, 所以AB/∥平面DCC1D1, 又AA∩AB=A,AA1、ABC平面ABB1A1, 所以平面ABB1A//平面DCC1D1, 因为A1BC平面ABB1A1, 所以AB/平面DCC1D1: (2)由题意知，底面ABCD为直角梯形， 所以梯形ABCD的面积S=2+x3=9, 2 因为四棱柱ABCD一A1B1C1D1的体积为36， 所以AA=5=4, 过A作AE L BD于E,连接A1E, 因为AA1⊥平面ABCD,且BDC平面ABCD, 所以AA11BD, 又AA1∩AE=A,AA1、AEC平面AA,E, 所以BD⊥平面AA1E, 因为A1EC平面AA,E,所以BD1AE, 所以∠AEA即为二面角A1一BD-A的平面角， 在Rt△ABD中，AE·BD=AB·AD, 所以E0器gA5√A服+曾2层 BD 613 所以c0s∠A,EA=AE = 13 3√6 2 61 故二面角A,-BD-A的余弦值为3V6 611 D B D 分 18、解：设直线y=x+t,AK小Bk ()由题设得F经以，故1AF1+1BF1=x+名+号由题设可得x+x=哥 由yx+t、可得9+12北-x+4g0,52cD y2=3x 9 从而-2g-多得=-备 9 所以的方程为y-x-石 (2)由AP=3PB可得y1=-3y2: 3 由=x+t可得y2-2y+2t=0. y2=3x 所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2= 1 故/AB1=4W3 19.【详解】(1)由椭圆过点T 43 4b2 2)如图所不，设点P列由合0可将o=)亚--所以o丽亚》r=-号， 设)=号-3，自a=2,得e2小，且f0对特指1，所以在e2,e=0=3=号 Γ4 图为r-2-g--23=5ag ×2+3=3, 42 所以f(y)在x∈[-2,2]的值域为 号5]，放示驴的取值范围是 (3)由题意知椭圆右焦点F(1,0),左右顶点分别为A(-2,0),B(2,0), y=k(x-1) 设直线N的方程为y=k(x-),M(s,),N(s,为)，联立 43 新去特B女8做-卫=0，做+4=山与产。符 名受脸0色鸭架离卖号 店西+2为2瑞-++32代入 53-2 4k2-128k2 +七3区七a是，海5大2 k34k2-128k2 ,再代入=3+4专，得 3+423+4k+3-2 4k2-128R 42-6-(3+4)x k ,3斗4报3+4X+2 3+4h2 1 1 3 k4k2-128k2 、4k-6-(3+49)s 3所以为定值 3+42 20、()gx)的定义域为10，+o,化简得g)=f)+ax-ax2=lnx-ar2, g)=是-ax=1上a2。 当a≤0时，1-ax2>0恒成立，gx)>0,gx)的单调递增区间为O,+o∞，无单调递减区间； 当a>0时，令g侧=0，解得x=、√负根含去劫，xEo月时，g单调递增，xE月+o时。9树单调递减。 所以当a≤0时，gx的单调递增区间为(0，+∞，无单调递减区间； 当a>0时，g的单调递增区间为0，、，单调递减区间为月+， (2f)f)=Inx-ax的定义域为0，+∞，求导得f"=支-a。 当Q≤0时，fx)=是-a>0恒成立，fx)在0，+∞单调递增，最多存在1个零点，不符合题意： 当a>0时，令f=0,解得x=xEO,君时，f1x)>0,fx)单调递增，xE合+时，f<0,fx)单调递减， 故fx的最大值为f分=ln日-a:言-na-1。 要使f有两个不同零点，需最大值大于0，即-ha-1>0,解得0<a<日 又x→0时f似→0，x→+∞时f→0，故f在(0和合+∞各存在1个零点，符合题意。 (2jfi)由题意得lnx1-ax1,Inx2=ax2,代入不等式1+入<nx1+nx2得1+1<ax1+x2。 1>0,x>0,x>0,故+x2>0,变形得a>1+ x1+1x2 又lnx1-lnx2=a1-x2,故a= ,代入上式得 X1-x 1-x2x1+1x2 0<x12,故x1-x2<0,In1<0, X2 n兰<+2.令t=受则te01, X2 X1+1x2 代入得nt<+c- t+λ 构造函数Md=nt-+CC-卫，t∈O,1, t+λ 带满足0@成立。=片化-之 t(t+)2 t∈(0,1)，t-1<0,分母恒为正，故ht的符号由t-2决定。 ①当2≥1即入≥1(a>0时，对任意t∈(O,1,t-2<0,故h't)>0,h(t)在0,1)单调递增，h(t)<h(1=0,满足恒成 立条件： ②当0<2<1即0<1<1时，tE0时h>0,tE化，1时h)<0,放h在t=2处取得最大值)=2nM-+京 构适函数p=2n1-+京0<<1，p川=<0， 故p()在(0,1)单调递减，p()>p(1)=0,即h(2)>0,存在tE(O,1使h(t)>0,不符合条件。 故1≥1。