专题04 等腰三角形压轴八大题型突破 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形分类讨论与动态问题，构建"性质应用-分类策略-辅助线技巧"三阶突破体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础分类|1-12题|腰底/顶底角分类、三线位置讨论|从静态性质到不确定因素分析，培养分类思想| |动态探究|13-20题|动点轨迹分析、全等判定|结合运动变化，发展空间观念与抽象能力| |等边综合|21-32题|截长补短法、平行线构造|从特殊三角形拓展，提升复杂问题解决能力|

专题04 等腰三角形压轴八大题型突破 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题需分两种情况讨论，分别讨论为腰长和为底边长的情况，计算后根据三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况讨论：情况1：当为腰长时 ∵等腰三角形周长为 ∴底边长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为； 情况2：当为底边长时， ∵等腰三角形周长为 ∴腰长为 ∵，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时腰长为， 综上，腰长为或． 2．已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 3．用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰和底边，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为或． 4．已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 5．已知等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键 【详解】解：若是等腰三角形的底角，则顶角为：； 也可是等腰三角形的顶角 故选：B 6．若一等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形，分两种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，分别画出图形，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ， 由题意得：，， ； 如图，当为钝角三角形时， ， 由题意得：，， ， ； 综上所述，等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 7．等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为(   ) A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可分为顶角和底角进行求解． 【详解】解：由题意可知：当等腰三角形的一个内角为顶角时，当等腰三角形的一个内角为底角时，则其顶角为； 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．若等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是__度． 【答案】140 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，是基础题，等腰三角形的钝角能是顶角．根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是， 与这个外角相邻的内角为，且不能为底角，要不然不满足三角形内角和定理， 该等腰三角形的顶角是140度． 故答案为：140． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为； 如图2，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 即顶角的度数为； 综上分析可知，顶角的度数是或． 故选：C． 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，进行分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图， 高与左边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当为钝角三角形时，如图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为． 故选D． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分顶角为锐角和顶角为钝角两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为，则顶角为； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为； 综上：顶角为或； 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键．在没有图的情况下，要注意分类讨论． 12．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 13．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 14．如图，在4×4方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（    ）    A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】如图所示，分别以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点即为第三个顶点的位置；作线段的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点．    故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 15．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 16．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为， ∵D是中点，， ∴，， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 17．如图，在中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用；设运动的时间为秒，则有，，由，列方程即可求解；根据等腰三角形的定义得到方程是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有，， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：； 故选：B． 18．如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，一元一次方程的应用． 设运动时间为，表示出，的长，由得到，从而，即可得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则 ，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 19．如图，在中，，点D从B出发以每秒2个单位的长度的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A运动，连接，设D，E两点的运动时间为 (1)运动 s时，； (2)运动多少秒时，能成立，并说明理由； (3)若，求（用含α的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)运动4秒时，能成立． (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点的综合运用等知识点，利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键． （1）依据，可得，再根据列方程即可求得t的值； （2）当成立时，，可得方程即可求得t的值； （3）依据 ，即可得到，再根据 ，即可得出． 【详解】（1）解：由题可得，， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：6． （2）解：当成立时，， ∴，解得， ∴运动4秒时，能成立． （3）解：当时，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 20．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，是以为顶角顶点的等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3）分三种等腰三角形的情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上，根据垂直平分线性质， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵是以为顶角顶点的等腰三角形， ∴， ∴， 解得， 所以，经过秒后，是以为顶角顶点的等腰三角形． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 21．如图，点P、Q是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A出发沿线段运动，点Q从顶点B出发沿线段运动，它们的速度都为，其中一点到达终点后停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为（　　） A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、含角的直角三角形性质和解一元一次方程．假设运动时间为t秒，则，分两种情况讨论和，利用含角的直角三角形性质列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：假设运动时间为t秒，则， ∵是等边三角形， ∴， 当时，则， ∴，即， 解得； 当时，则， ∴，得， 解得， ∴当t为6秒或3秒时，为直角三角形． 故选：D． 22．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（   ）s后，可得到等边． A．1 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 设点M、N运动后，可得到等边，求出，由等边三角形的性质得到，当时，是等边三角形，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：设点M、N运动后，可得到等边， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴时，是等边三角形， ∴， ∴， ∴点M、N运动后，可得到等边 故选：C． 23．在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 【答案】(1)3 (2)6 (3)a的值为或 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解．能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可； （3）由，全等可得或两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由题意可知：，则， ∴， 解得：， ∴当t的值为3时，； （2）解：如图，①当点Q在边上时，    此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形； （3）解：由题意可知：，，， ∴， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 若， 则，， ∴，， 解得：，， 综上所述：当，全等时，a的值为或． 24．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 25．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 证明：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 （3）略 26．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段长度：________，________； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）假设存在点M为线段中点的情况．过点P作交于点D．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，； 故答案为：，； （2）解：，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， ． ． 解得； 情况2：当时，， ． ， 解得． 因为点到点停止运动，所以的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； （3）解：假设存在点为线段中点的情况． 过点作交于点． 是等边三角形，， 是等边三角形． ， ． ， ，． 是中点， ． ， ，． ，， ， 解得． 当时，． ， ． 经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意． 【点睛】本题主要考查了动点问题，等边三角形的性质，列代数式，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 27．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点在运动过程中，线段的长不发生变化， 【分析】（1）由路程、速度和时间的关系表示的长，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等边三角形的性质及判定，平行线的判定及性质，全等三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 28．如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，线段DE的长度为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）由题意，得，，根据为等腰三角形可得，进而列方程求解即可； （2）线段的长度是定值，过点M作交于点F，证明，得到，从而求出 【详解】（1）解：由题意，得．                 等边的边长为4， ． 当为等腰三角形时，， ． ．                   ． 即．                解得． （2）解：线段的长度为定值．如图，过点M作交于点F．        ． ， 为等边三角形．      ． ， ．              在和中，， ．          ．                    ．即线段的长度为． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 29．（一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； (2)如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)不成立，见解析； (3)线段的长为10． 【分析】（1）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明，可得结论； （3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：不成立，应为， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：在上取一点，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为10． 30．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明： 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ； (2)①1； ②或或，理由： 分类讨论：ⅰ当点E在下方时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知、、之间的等量关系为：或或． 【分析】（1）由等边三角形的性质结合平行线的性质证明，即可得出结论； （2）①在上作，连接，易证是等边三角形，结合平行线的性质可证，即得出，判断出为等边三角形，即说明当最短时，周长最小．过点作于点E，根据垂线段最短可知此时最短，由全等三角形的性质又可证，得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时和ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，分别作出辅助线构造全等三角形解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，在上作，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ， ∴为等边三角形， ∴当最短时，周长最小． 如图，过点作于点E，即此时最短， ∵， ∴此时， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理，正确作出辅助线构造全等三角形． 31．在等边中，D为上一点，E为上一点，过B作，连接，，且． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由． (3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使，易得为等边三角形，证明，得到，利用求出的长即可． （2）延长至点，使，易得为等边三角形，证明，得到，根据，即可得到； （3）在上截取，易得为等边三角形，证明，得到，设，求出，即可得解． 【详解】（1）解：延长至点，使， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 延长至点，使， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上截取， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 32．已知在等边中，点是边上一定点，点是射线上一动点，以为边作等边，连接．探究线段、、之间的数量关系． (1)观察猜想： 如图1，当点与点重合，直接写出线段、、之间的数量关系； (2)类比探究： 如图2，当点在边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系并证明；（提示：在上截取，连接） (3)解决问题： 当点在边的延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1); (2)当点在边上，上述关系不成立，他们之间的关系是，证明： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, ∴当点在边上，上述关系不成立，此时； (3)1 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到条件证明，则，得到，即可得到结论； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，则，即可得到； （3）当点在边的延长线上，延长至点P，使得，先证明，则，即可得到，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）略 （3）如图所示，当点在边的延长线上，延长至点P，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形压轴八大题型突破 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．等腰三角形的周长为，其中一边长，则其腰长为（     ） A．或 B． C． D．以上都不对 2．已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 3．用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 4．已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 5．已知等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．若一等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 7．等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为(   ) A． B．或 C．或 D． 8．若等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是__度． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为，则顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 12．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 13．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．如图，在4×4方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（    ）    A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 15．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 16．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 17．如图，在中，，，点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C同时出发以的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（   ） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4.2秒 18．如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，点D从B出发以每秒2个单位的长度的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A运动，连接，设D，E两点的运动时间为 (1)运动 s时，； (2)运动多少秒时，能成立，并说明理由； (3)若，求（用含α的式子表示）． 20．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，是以为顶角顶点的等腰三角形． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 21．如图，点P、Q是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A出发沿线段运动，点Q从顶点B出发沿线段运动，它们的速度都为，其中一点到达终点后停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为（　　） A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6 22．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（   ）s后，可得到等边． A．1 B． C．4 D．2 23．在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 24．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 25．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 26．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段长度：________，________； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 27．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 28．如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 29．（一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； (2)如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 30．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 31．在等边中，D为上一点，E为上一点，过B作，连接，，且． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若D为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由． (3)如图3，若D为延长线上一点，E为延长线上一点，，请直接写出的比值． 32．已知在等边中，点是边上一定点，点是射线上一动点，以为边作等边，连接．探究线段、、之间的数量关系． (1)观察猜想： 如图1，当点与点重合，直接写出线段、、之间的数量关系； (2)类比探究： 如图2，当点在边上，上述关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系并证明；（提示：在上截取，连接） (3)解决问题： 当点在边的延长线上，若，，请直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $