广东省汕尾市城区2026-2027上学期八年级第一次月考数学模拟练习1

**基本信息** 以三角形与多边形为核心，融合射击运动、传统窗棂等真实情境，通过折纸探究、动态变换等问题设计，考查空间观念、推理意识与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形概念、稳定性（第3题）、全等性质（第8题）|结合运动情境考查数学原理| |填空题|5/20|三角板角度计算（第11题）、多边形外角和（第15题）|融入传统建筑文化（第15题窗棂）| |解答题|8/50|全等动态应用（第21题）、折纸探究（第23题）|分层设计，综合考查推理与创新意识|

2026-2027广东省汕尾市城区八年级（上） 第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，5cm，3cm B．8cm，5cm，6cm C．5cm，2cm，8cm D．1cm，5cm，6cm 3．（3分）运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 5．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（3分）正八边形的每一个内角为（　　） A．108° B．120° C．135° D．144° 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠C＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝9，BE＝6，则DE的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 9．（3分）在探究证明“三角形的内角和是180°时，某综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　） A．过点C作EF∥AB B．延长AC到点F，过点C作CE∥AB C．过点C作CD⊥AB于点D D．过AB上一点D，作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F 10．（3分）如图，在△ABC中，BE，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BE的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．以下结论：①∠A＝2∠F，②∠BEC＝3∠F，③∠BEC＝90°∠A，④∠BEC+∠F＝180°．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为　 　 ． 12．（4分）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　 　 ． 13．（4分）如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是△ACD的高，∠ABC＝42°，∠ADC＝∠ACD，则∠DCE＝　 　 °． 14．（4分）等腰三角形的周长为15cm，若设一条腰长为x（cm），则底边长y（cm）＝　 　 ．（用含x的代数式表示，不用写出自变量的范围） 15．（4分）“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠3+∠5＝186°，则∠2+∠4+∠6＝　 　 度． 三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分） 16．（6分）如图，△ABC中， （1）画出AB边上的中线CD； （2）画出BC边上的高AE． 17．（6分）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 四．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分） 18．（8分）一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，求这个多边形的一个外角的度数． 19．（8分）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝20°，求证：BE∥DF． 21．（8分）已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 五．解答题（共2小题，满分26分） 22．（12分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，DG∥AB交BC于点G． （1）若∠ABE＝35°，求∠DGC的度数． （2）探究BE与DF有何位置关系？试说明理由． 23．【初步感知】 三角形三个内角的和等于180°，利用它们我们可以推出结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如：图1，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD＝∠A+∠B． 【深入探究】 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形． （1）如图2，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动（不含端点），把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不含边界）． ①求∠CAD的取值范围； ②直接写出∠BDM与∠BAM之间的数量关系． 【拓展运用】 （2）如图3，已知△ABC，∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∠ABC＝70°，第一次沿过点A的直线折叠△ABC，使点C落在AB延长线上的点I处，得到折痕AH，再展平纸片；第二次沿直线CI折叠△BCI，得到△JCI，延长CJ交AB的延长线于点K，求∠AKC的度数． 2026-2027广东省汕尾市城区八年级（上） 第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】观察图形可知以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABC共3个． 【解答】解：观察图形可知以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的概念，熟悉概念是解题关键． 2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，5cm，3cm B．8cm，5cm，6cm C．5cm，2cm，8cm D．1cm，5cm，6cm 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解． 【解答】解：A、1+3＜5，不能组成三角形，不符合题意； B、5+6＞8，能组成三角形，符合题意； C、2+5＜8，不能组成三角形，不符合要求； D、1+5＝6，不能组成三角形，不符合要求； 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3．（3分）运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【分析】由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【解答】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性， 故选：D． 【点评】本题考查三角形的稳定性，“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误． 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 5．（3分）在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】在△ABC中，由∠A＝∠B＝2∠C，结合三角形内角和定理，可求出各角的度数，进而可得出△ABC是锐角三角形． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴C＝36°， ∴∠A＝∠B＝2∠C＝2×36°＝72°， ∴△ABC是锐角三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 6．（3分）正八边形的每一个内角为（　　） A．108° B．120° C．135° D．144° 【分析】正n边形的一个内角度数为．根据多边形内角和公式求解即可． 【解答】解：由题意得，， 故选：C． 【点评】本题主要考查了正多边形内角和定理，熟练掌握正多边形内角和公式是解答本题的关键． 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝120°，∠C＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据折叠性质得出∠C'＝∠C＝40°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝120°﹣40°＝80°，∠2＝∠DOC﹣∠C'＝80°﹣40°＝40°． 【解答】解：如图，设C'D与AC交于点O， ∵∠C＝40°， ∴∠C'＝∠C＝40°， ∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝120°， ∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝120°﹣40°＝80°， ∵∠DOC＝∠2+∠C'， ∴∠2＝∠DOC﹣∠C'＝80°﹣40°＝40°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，折叠的性质，熟记三角形外角和折叠的性质是解题的关键． 8．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝9，BE＝6，则DE的长为（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝9， ∴BD＝AC＝9， ∵BD＝BE+DE，BE＝6， ∴DE＝3， 故选：A． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 9．（3分）在探究证明“三角形的内角和是180°时，某综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　） A．过点C作EF∥AB B．延长AC到点F，过点C作CE∥AB C．过点C作CD⊥AB于点D D．过AB上一点D，作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F 【分析】对于选项A，根据EF∥AB得∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，再根据∠ECA+∠FCB+∠ACB＝180°得∠A+∠B+∠ACB＝180°，据此可对该选项A进行判断； 对于选项B，根据CE∥AB得∠FCE＝∠A，∠ECB＝∠B，再根据∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°得∠A+∠B+∠ACB＝180°，据此可对该选项A进行判断； 对于选项C，由CD⊥AB找不到∠A，∠B，∠C之间的关系，故无法证明三角形内角和是180°，据此可对该选项A进行判断； 对于选项D，由DE∥BC得∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，再由DF∥AC得∠EDF＝∠AED，∠BDF＝∠A，进而得∠EDF＝∠C，然后根据∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°得∠A+∠B+∠ACB＝180°，据此可对该选项A进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵EF∥AB， ∴∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B， ∴∠ECA+∠FCB+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°， 故选项A中的辅助线能够证明三角形内角和是180°，不合题意； 对于选项B， ∵CE∥AB， ∴∠FCE＝∠A，∠ECB＝∠B， ∵∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°， 故选项B中的辅助线能够证明三角形内角和是180°，不合题意； 对于选项C， 由CD⊥AB找不到∠A，∠B，∠C之间的关系， 故选项C中的辅助线不能够证明三角形内角和是180°，合题意； 对于选项D， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B， ∵DF∥AC， ∴∠EDF＝∠AED，∠BDF＝∠A， ∴∠EDF＝∠C， ∴∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°， 故选项D中的辅助线能够证明三角形内角和是180°，不合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理的证明，理解三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，BE，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BE的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F．以下结论：①∠A＝2∠F，②∠BEC＝3∠F，③∠BEC＝90°∠A，④∠BEC+∠F＝180°．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【分析】依据题意，由CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，可得，∠FBC∠ABC，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解． 【解答】解：由题意，∵CF平分∠ACD，BE平分∠ABC， ∴，∠FBC∠ABC． 根据三角形外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠FCD＝∠FBC+∠F， ∴∠F＝∠FCD﹣∠FBC∠ACD∠ABC（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，即∠A＝2∠F，故①正确． 由①，根据三角形内角和定理，， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BEC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A＝90°+∠F， ∵∠F不一定是45°， ∴∠BEC≠3∠F，故②错误． ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，． 根据三角形内角和定理，∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）． 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴，故③正确． 由知，由③知∠BEC＝90°∠A． ∴∠BEC+∠F＝90°∠A∠A＝90°+∠A． ∵∠A不一定是90°， ∴∠BEC+∠F≠180°，故④错误． 综上，正确的是①③． 故选：B． 【点评】本题主要考查考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题时要熟练掌握并能结合图形列出关系式是关键． 二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11．（4分）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为　75°　 ． 【分析】根据三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：如图： 由三角形的外角的性质可得∠α＝∠1+∠2＝30°+45°＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 12．（4分）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　72°　 ． 【分析】根据全等三角形的对应角相等即可得出结论． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 13．（4分）如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是△ACD的高，∠ABC＝42°，∠ADC＝∠ACD，则∠DCE＝　16　 °． 【分析】由∠ABC＝42°，得∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝∠ADC﹣42°，由∠ADC＝∠ACD，得∠CAD＝180°﹣2∠ADC，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠ADC﹣42°＝180°﹣2∠ADC，求得∠ADC＝74°，由CE是△ACD的高，得∠CED＝90°，则∠DCE＝90°﹣∠ADC＝16°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ADC＝∠BAD+∠ABC，且∠ABC＝42°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝∠ADC﹣42°， ∵∠ADC＝∠ACD， ∴∠CAD＝180°﹣（∠ADC﹣∠ACD）＝180°﹣2∠ADC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC﹣42°＝180°﹣2∠ADC， ∴∠ADC＝74°， ∵CE是△ACD的高， ∴CE⊥AD于点E， ∴∠CED＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣74°＝16°， 故答案为：16． 【点评】此题重点考查三角形的角平分线及三角形的高的定义、三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 14．（4分）等腰三角形的周长为15cm，若设一条腰长为x（cm），则底边长y（cm）＝　15﹣2x ．（用含x的代数式表示，不用写出自变量的范围） 【分析】由题意得到2x+y＝15，于是y＝15﹣2x，即可得到答案 【解答】解：∵等腰三角形的周长为15cm， ∴2x+y＝15， ∴y＝15﹣2x， 故答案为：15﹣2x． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形当两腰相等． 15．（4分）“花影遮墙，峰峦叠窗”，是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，如图②是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠3+∠5＝186°，则∠2+∠4+∠6＝　366　 度． 【分析】先求出∠2、∠4、∠6的外角和，进而得出答案． 【解答】解：∵∠1+∠3+∠5＝186°， ∴∠2、∠4、∠6的外角和为360°﹣（∠1+∠3+∠5）＝360°﹣186°＝174°， ∴∠2+∠4+∠6＝180°×3﹣174°＝366°． 故答案为：366． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角、三角形内角和定理及三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分） 16．（6分）如图，△ABC中， （1）画出AB边上的中线CD； （2）画出BC边上的高AE． 【分析】（1）根据三角形中线的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可． 【解答】解：（1）如图1，中线CD即为所求作； （2）如图2，高AE即为所求作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形中线、高线的作法是解答此题的关键． 17．（6分）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠BAC＝50°，再根据BE是AC边上的高得∠BAC+∠ABE＝90°，由此可得∠ABE的度数； （1）先根据∠BAC＝50°及角平分线的定义得∠DAC＝1/2∠BAC＝25°，然后根据三角形的外角定理可求出∠EFD的度数． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝54°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝180°﹣（54°+76°）＝50°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAC+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°； （2）∵∠BAC＝50°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝1/2∠BAC＝25°， ∵∠EFD是△AEF的一个外角， ∴∠EFD＝∠DAC+∠AEB＝25°+90°＝115°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理和三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理是解决问题的关键． 四．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分） 18．（8分）一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，求这个多边形的一个外角的度数． 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程可推出这个多边形为八边形，再根据多边形的外角和为360度可求出答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为n，则180°•（n﹣2）＝360°+720°， 解得n＝8， ∴这个多边形为八边形， ∴一个外角的度数为． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握该知识点是关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点是关键． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝20°，求证：BE∥DF． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据邻补角的定义求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答即可； （2）根据直角三角形的性质求出∠BEC，根据平行线的判定定理证明． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°， 则∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CBD＝180°﹣40°＝140°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE∠CBD＝70°； （2）证明：在Rt△EBC中，∠ECB＝90°，∠CBE＝70°， 则∠BEC＝90°﹣70°＝20°， ∵∠F＝20°， ∴∠F＝∠BEC， ∴BE∥DF． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 21．（8分）已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形的性质求出∠ACE＝90°，就可以得出AC⊥CE； （2）如图②，根据△ABC≌△CDE可以得出∠BFC＝90°，从而得出结论； （3）根据S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，可得S△BFCS△ABC＝3，由△ABC≌△BDE，得S△BDE＝S△ABC＝12，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）AC⊥CE，理由如下： ∵AB⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE； （2）AC⊥BE，理由如下： ∵△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠EBD+∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴AC⊥BE； （3）∵S△ABC＝12，AF：CF＝3：1， ∴S△BFCS△ABC＝3， ∵△ABC≌△BDE， ∴S△BDE＝S△ABC＝12， ∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分20分） 22．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，DG∥AB交BC于点G． （1）若∠ABE＝35°，求∠DGC的度数． （2）探究BE与DF有何位置关系？试说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得∠ABC的度数，然后利用平行线性质即可求得答案； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件求得∠ABE+∠ADF的度数，然后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，∠ABE＝35°， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×35°＝70°， ∵DG∥AB， ∴∠DGC＝∠ABC＝70°； （2）BE∥DF；理由如下： ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴，， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABE+∠ADF（∠ABC+∠ADC）＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠ADF＝∠AEB， ∴BE∥DF． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质与判定，（2）中根据已知条件求得∠ABE+∠ADF的度数是解题的关键． 23．【初步感知】 三角形三个内角的和等于180°，利用它们我们可以推出结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如：图1，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD＝∠A+∠B． 【深入探究】 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形． （1）如图2，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠B：∠C＝3：5，在边BC上有一点D从B向C运动（不含端点），把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M，若点M在△ABC的内部（不含边界）． ①求∠CAD的取值范围； ②直接写出∠BDM与∠BAM之间的数量关系． 【拓展运用】 （2）如图3，已知△ABC，∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∠ABC＝70°，第一次沿过点A的直线折叠△ABC，使点C落在AB延长线上的点I处，得到折痕AH，再展平纸片；第二次沿直线CI折叠△BCI，得到△JCI，延长CJ交AB的延长线于点K，求∠AKC的度数． 【分析】（1）①由∠BAC＝100°及∠B：∠C＝3：5得∠B＝30°，∠C＝50°，折叠得∠AMD＝∠ACD，∠MAD＝∠CAD．当M在BC上时，∠ACM＝50°，∠CAM＝80°，故∠CAD＝40°；当M在AB上时，∠CAM＝100°，故∠CAD＝50°，因M在△ABC内部，故40°＜∠CAD＜50°； ②由折叠得∠ADM＝∠ADC，由平角得∠BDM＝180°﹣2∠ADC，在△ADC 中∠ADC＝130°﹣∠CAD代入得∠BDM＝2∠CAD﹣80°，又∠BAM＝100°﹣2∠CAD，两式相加得∠BDM+∠BAM＝20°； （2）由第一次折叠得∠CAI＝∠BAC＝50°，则∠ACI＝∠AIC＝65°，故∠BCI＝5°，由第二次折叠得∠JCI＝∠BCI＝5°故∠BCJ＝10°，由题意得∠ABC＝∠AKC+∠BCJ，代入得∠AKC＝60°． 【解答】解：（1）①在△ABC中，∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°， ∵∠B：∠C＝3：5， 解得∠B＝30°，∠C＝50°， 由折叠性质知：∠AMD＝∠ACD，∠MAD＝∠CAD， 当点M落在BC 边上时，∠AMD＝∠ACD＝50°， ∴∠CAM＝180°﹣2×50°＝80°， ∴； 当点M落在AB边上时，∠CAM＝∠BAC＝100°， ∴， ∵点M在△ABC 内部（不含边界）， ∴40°＜∠CAD＜50°； ②结论：∠BDM+∠BAM＝20°； 推导：由折叠知∠ADM＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠BDM＝∠ADB﹣∠ADM＝（180°﹣∠ADC）﹣∠ADC＝180°﹣2∠ADC， 在△ADC中，∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝130°﹣∠CAD， 代入得：∠BDM＝180°﹣2（130°﹣∠CAD）＝2∠CAD﹣80°①， 又∵∠BAM＝∠BAC﹣2∠CAD＝100°﹣2∠CAD②， ∴①+②得∠BDM+∠BAM＝20°； （2）解：由第一次折叠，I在AB延长线上， ∴∠CAI＝∠BAC＝50°，∠ACI＝∠AIC， ∴， ∴∠BCI＝∠ACI﹣∠ACB＝65°﹣60°＝5°， 由第二次折叠得：∠JCI＝∠BCI＝5°， ∴∠BCJ＝∠BCI+∠JCI＝10°， 由题干材料可得，∠ABC＝∠AKC+∠BCJ， ∴∠AKC＝∠ABC﹣∠BCJ＝70°﹣10°＝60°． 【点评】本题主要考查了三角形综合相关内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $