第2章 圆与方程（4大知识点+7大易错点+易错训练）（知识清单）数学苏教版选择性必修第一册

第2章 圆与方程 知识点1：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 知识点2：点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3：直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4：圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 易错点1 圆的方程形式 易错提醒 一般式，忽略条件，直接默认表示圆． 【对点训练】1．（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为方程表示圆，所以，解得或． 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为． 综上，圆心坐标为． 易错点2 点与圆位置 易错提醒 判断时混淆半径平方，把点代入方程后符号搞反． 【对点训练】2．（2026·高二·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆化成标准方程，可得， 由，解得． 因为点在圆的外部， 所以，解得． 综上可得． 易错点3 直线与圆位置关系 易错提醒 用判别式、圆心到直线距离d，混淆d与r大小关系；忽略直线斜率不存在的情况． 【对点训练】3．（2026·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离． 易错点4 弦长计算 易错提醒 弦长公式，忘记开平方，错用当作弦长． 【对点训练】4．（2026·高一·北京延庆·期末）已知点，圆． （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【解析】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或． （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为． 易错点5 切线问题 易错提醒 过圆外一点两条切线，漏掉斜率不存在切线；过圆上一点切线方程记错． 【对点训练】5．（2026·高一·重庆·期中）已知圆． （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【解析】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即． 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即． 综上，切线的方程为或． （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为． 易错点6 两圆位置关系 易错提醒 分不清圆心距与两半径和、差的关系；相交、内切、外切、内含条件混淆；公共弦方程直接相减，不检验两圆是否相交． 【对点训练】6．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知点，圆的方程为． （1）若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； （2）若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 【解析】（1）圆心，则， ， 所以，故点在圆外，点在圆内， ，即的取值范围为； （2）∵线段AB的中点在圆上， ，即． 又， ，故圆与圆是相交关系． 易错点7 圆上动点最值 易错提醒 圆上点到定点距离，错直接用点到点距离，忘记 ± 半径． 【对点训练】7．（2026·高二·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【解析】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 1．（2026·高二·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得． 2．（2026·高二·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5． 3．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 4．（2026·高二·江西南昌·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．6 B．4 C．36 D．16 【答案】D 【解析】，圆的半径为， ，圆的半径为， 圆与圆有且仅有三条公切线， 圆与圆外切， ，，． 故选：D． 5．（2026·高二·江西南昌·期中）已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可知圆心为， 半径为， 设原点为，则， 设，对称轴为，开口向上， 则在处取得最小值，即在处的最小值， 此时圆的半径为， 圆的面积为． 故选：B． 6．（2026·高二·浙江温州·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】，，，， 直线恒过点，在圆的内部， ，圆心，半径， 要使最小，则圆心到直线的距离最大， 当直线与直线垂直时， 圆心到直线的距离最大， ，，， 则的最小值为． 故选：A． 7．（2026·高二·辽宁朝阳·期中）圆心在轴上，则过点和点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心在轴上，设圆心为，设圆的半径为， 圆过点和点，， ，圆的方程为． 故选：A 8．（2026·高三·北京平谷·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或． 故选：D． 9．（多选题）（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，则（    ） A．与圆一定相交 B．圆与圆的公共弦的方程为 C．若，，则在上存在两个点使得 D．过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 【答案】ABD 【解析】的圆心为，半径为， 选项A，，整理得到， 则，解得，故直线恒过定点， ，与圆相交，故选项A正确； 选项B，圆整理得到， 和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程， 即公共弦的方程为，故选项B正确； 选项C，设，，，， 在以为圆心，半径为的圆上，两个圆心间的距离为， ，两圆相切，上存在一个点使得，故选项C不正确； 选项D，如图，切线长，要使切线长的最小值，需要最小， 的最小值为到的距离， 切线长的最小值为，故选项D正确． 故选：ABD． 10．（多选题）（2026·高二·福建·期中）下列说法错误的是（    ） A．是直线与直线互相垂直的充要条件 B．经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于，当，两直线方程分别为和， 此时两直线平行，并不垂直，故错误； 对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误； 对于，直线的斜率，则，即， 则，故正确； 对于，方程可化为， 故曲线 表示圆心为，半径 的圆， 方程可化为， 因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为 ， 半径 同时两圆的位置关系为外离，有 ， 即 ，解得，故错误． 故选：． 11．（多选题）（2026·高二·辽宁朝阳·期中）已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为， 直线方程为与圆相切，， ，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点， 的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设， 过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N， 直线MN的方程为， 即， 整理得， ，解得，则直线MN过定点，故选项D正确． 故选：ACD． 12．（2026·高二·四川南充·期中）圆：关于直线：对称后的方程为________． 【答案】 【解析】圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立，解得， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为． 故答案为：． 13．（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____． 【答案】 【解析】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 14．（2026·高二·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为______．    【答案】 【解析】由题意，圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上． 若直线的斜率，则可设，则． 圆心，都在直线上，可设，，， 则：，：， 因为交点在第一象限内， 所以，即 所以m，n是方程的两根，于是． 由，得，则，所以，则直线的方程为． 故答案为：． 15．（2026·高二·云南昆明·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 【答案】 【解析】圆：可化为， ，， ，是圆的两条切线，则，， 、、、四点共圆，且，， ， ， 当最小，即时，取得最小值， 此时方程为， 联立，解得，，即， 以为直径的圆的方程为， 即， 圆：，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程． 故答案为：． 16．（2026·高二·山东临沂·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． （1）求的外接圆的方程； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【解析】（1）设圆M的方程为，将，，三点代入得： ，所以圆的方程为， 标准方程为． （2）由光的反射性质知，经轴反射后的光线所在直线过点， 点关于轴的对称点， 由（1）知圆的标准方程为：． 当斜率不存在时，直线方程为与圆不相切， 设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得， 所以反射光线所在的直线方程为或． 17．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆的方程为． （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）设是直线上的动点，证明：以为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标． 【解析】（1）的方程为即， 可知圆心，半径为， 当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为， 则直线截圆所得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 此时到直线的距离为， 依题意得，解得， 此时直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或； （2）是直线上的动点，设， ，以为直径的圆的圆心为， 半径为， 以为直径的圆的方程为， 整理得， 即， 由 ，解得或， 即以为直径的圆必过两定点，定点的坐标为或． 18．（2026·高二·湖北·期中）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【解析】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，① 因为圆经过点，所以，② 因为圆与直线相切，所以，③ 联立①②③解得，，， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知，故， 在Rt中，，，解得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为， 又因为在直线上， 联列方程组，解得或， 所以点的坐标为或． 19．（2026·高二·山东青岛·期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为． （1）求外接圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程． 【解析】（1）设，，的中点为， 线段的垂直平分线方程为， 的中点为在直线上， ，， ，的斜率为，直线和直线垂直， ，，联立，解得， ，设外接圆的标准方程为， ，，， ，， 外接圆的标准方程为； （2）当直线不存在斜率时，直线的方程为， 圆的标准方程为，则圆心，， 圆心到直线的方程的距离为，， 此时弦长为，符合题意； 当直线存在斜率时，直线的方程为，即， 圆心到直线的方程的距离为， 直线与圆相交截得弦长为，， 直线的方程为，即． 综上可知，直线的方程为或． 20．（2026·高二·安徽芜湖·期中）已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2． （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且与圆交于两点，，求的方程和的值． 【解析】（1）过点作圆的切线，设切点为，连接， 因为， 所以， 所以圆． （2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为， 设圆心到直线的距离为， 所以，解得， 又因为，整理得，， 解得或， 所以的方程为或； 在中，， 所以． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆与方程 知识点1：圆的定义和圆的方程 1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 知识点2：点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点3：直线与圆的位置关系 1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 知识点4：圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 易错点1 圆的方程形式 易错提醒 一般式，忽略条件，直接默认表示圆． 【对点训练】1．（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 易错点2 点与圆位置 易错提醒 判断时混淆半径平方，把点代入方程后符号搞反． 【对点训练】2．（2026·高二·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点3 直线与圆位置关系 易错提醒 用判别式、圆心到直线距离d，混淆d与r大小关系；忽略直线斜率不存在的情况． 【对点训练】3．（2026·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 易错点4 弦长计算 易错提醒 弦长公式，忘记开平方，错用当作弦长． 【对点训练】4．（2026·高一·北京延庆·期末）已知点，圆． （1）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 易错点5 切线问题 易错提醒 过圆外一点两条切线，漏掉斜率不存在切线；过圆上一点切线方程记错． 【对点训练】5．（2026·高一·重庆·期中）已知圆． （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 易错点6 两圆位置关系 易错提醒 分不清圆心距与两半径和、差的关系；相交、内切、外切、内含条件混淆；公共弦方程直接相减，不检验两圆是否相交． 【对点训练】6．（2026·高二·河南洛阳·期末）已知点，圆的方程为． （1）若A，B中有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围； （2）若线段AB的中点在圆上，判断圆与圆的位置关系． 易错点7 圆上动点最值 易错提醒 圆上点到定点距离，错直接用点到点距离，忘记 ± 半径． 【对点训练】7．（2026·高二·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 1．（2026·高二·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 2．（2026·高二·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 4．（2026·高二·江西南昌·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．6 B．4 C．36 D．16 5．（2026·高二·江西南昌·期中）已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·浙江温州·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 7．（2026·高二·辽宁朝阳·期中）圆心在轴上，则过点和点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高三·北京平谷·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 9．（多选题）（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，则（    ） A．与圆一定相交 B．圆与圆的公共弦的方程为 C．若，，则在上存在两个点使得 D．过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 10．（多选题）（2026·高二·福建·期中）下列说法错误的是（    ） A．是直线与直线互相垂直的充要条件 B．经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 11．（多选题）（2026·高二·辽宁朝阳·期中）已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 12．（2026·高二·四川南充·期中）圆：关于直线：对称后的方程为________． 13．（2026·高二·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____． 14．（2026·高二·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为______．    15．（2026·高二·云南昆明·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 16．（2026·高二·山东临沂·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． （1）求的外接圆的方程； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 17．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆的方程为． （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）设是直线上的动点，证明：以为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标． 18．（2026·高二·湖北·期中）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 19．（2026·高二·山东青岛·期中）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为． （1）求外接圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程． 20．（2026·高二·安徽芜湖·期中）已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2． （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且与圆交于两点，，求的方程和的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $