第二章 一元二次方程单元卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，全面覆盖方程定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过现实情境与文化素材融合，适配核心素养培养，助力单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判断、解法选择|结合表格数据估算方程解，体现数学眼光中的几何直观| |填空题|6/18|根的应用、韦达定理、黄金分割、《九章算术》古题|融入黄金分割几何情境与古代数学问题，培养数学语言的应用意识| |解答题|8/72|解方程、根的判别式、几何与利润应用题、赵爽解题思想|设计济南大雪清扫通道、农产品电商销售等现实模型，通过阅读理解题渗透数形结合思想，发展数学思维的推理能力与创新意识|

第二章 一元二次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，方程含有两个未知数，故此选项错误，不符合题意； B．，方程符合一元二次方程的定义，故此选项正确，符合题意； C．该方程左边不是整式，故不是一元二次方程； D．，方程是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意． 2、一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【详解】将原方程化为一般形式：． A、当时，左边，成立，选项A正确； B、一次项系数为，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； D、当时，左边，成立，选项D正确． 3、观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 4、若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：将代入得， ， ． 5、用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 6、关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 7、解方程最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【详解】解：方程可化为， 因此因式分解法最为合适． 8、2025年12月某日，济南迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意列方程为： ， 9、某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 10、对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】 C 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 正确的是：①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【详解】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 12、用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 13、已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：由得：， 解得：； 若三角形的三边长分别为：， ∵， ∴不能构成三角形； 若三角形的三边长分别为：， 则这个三角形的周长， 故答案为： 14、若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2024 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 故答案为：． 15、如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 即， 整理得， 故答案为：． 16、小赵同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小赵同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ， 或， 所以，； （2）解： 或 ∴，． （3） 解： 方程化为一般式为， ，，． ． ， 即， 所以，． 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见详解 (2)，方程的另一个根为 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 【答案】(1)且； (2)的值为． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即， 解得， ∴且； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 20、如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 【答案】(1)（米） (2)不能，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意，，则（米）， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴，即（米）； （2）解：不能，理由如下， 根据题意，，整理得，， ∴， ∴方程无解， 不能围成面积为平方米的花圃． 21、如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 22、某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 23、阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想   B．数形结合思想      C．整体代换思想 (2)【实践】小刘根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 【答案】(1)B (2)图见详解，，，，， (3) 【详解】（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故答案为：B； （2）第一步：将原方程变形为， 第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即， 第三步：得新方程，因为表示边长，解得； 故答案为：，，，，； 画出示意图如下： （3） ， ， 根据题意可得，， ， 该方程为， ， 解得方程的正根为， 故答案为：． 24、某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元 (3)不能，理由见详解 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价元，且不高于元/销售， ∴， ∴每天的销售利润为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为元/时，每天的销售利润为元． （3）解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2、一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 3、观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 4、若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　） A． B． C． D．0 5、用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 6、关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7、解方程最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 8、2025年12月某日，济南迎来这个冬天的第一场大雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块面积均为的积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，若设通道的宽为，则根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 9、某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 10、对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 12、用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 13、已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为 ． 14、若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 15、如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是 ． 16、小赵同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小赵同学通过计算，算出了甲走了 步． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题12分，18-21，每题8分, 22-23，每题9分，24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： (1)； (2)． (3)． 18、已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 20、如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 21、如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 22、某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 23、阅读材料，并解决问题： 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为． (1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ． A．分类讨论思想   B．数形结合思想      C．整体代换思想 (2)【实践】小刘根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 ； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可） 第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ． (3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ． 24、某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $