2026年黑龙江省大庆市中考数学试卷

**基本信息** 以大庆湿地、无人机配送等真实情境为载体，通过基础-中档-较难三级梯度设计，考查代数几何核心知识，渗透抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、对称图形、科学记数法|结合中国结文化考查对称图形，体现文化传承| |填空题|8/24|函数取值范围、因式分解、统计|引入“曼哈顿距离”新定义，考查创新应用能力| |解答题|10/66|分式方程、解直角三角形、圆综合|无人机配送行程问题（分式方程）、书架调节距离计算（解直角三角形），凸显实际应用|

2026年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。 1．（3分）·【易】2035的相反数是（　　） A． B．﹣2035 C．2035 D． 2．（3分）·【易】中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】大庆是现代宜居的生态城市，拥有湿地7470000亩．数字7470000用科学记数法表示为（　　） A．7.47×104 B．7.47×105 C．7.47×106 D．7.47×107 4．（3分）·【易】如图所示的几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）·【较易】一个圆柱的底面半径为2，高为4，则它的侧面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 6．（3分）·【较易】下列说法正确的是（　　） A．多边形的外角和都等于360° B．一组数据的方差越大，这组数据越稳定 C． D．两条边与一个角分别对应相等的两个三角形一定全等 7．（3分）·【较易】如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 8．（3分）·【较易】现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）·【中档】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△DEC，点B经过的路径为，点A经过的路径为，CE与交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）·【中档】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F在CD上，DF＝2，点E为AD上的动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′D、A′F，当A′D＝A′F时，AE的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 11．（3分）·【中档】函数y的自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）·【易】因式分解：x2+4x＝　 　 ． 13．（3分）·【较易】一次函数y＝2x+1图象上有两点A（3，y1），B（5，y2），则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 14．（3分）·【较易】不等式组的整数解有　 　 个． 15．（3分）·【较易】已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为　 　 ． 16．（3分）·【中档】如图，在菱形ABCD中，AB＝3cm，∠DAB＝60°．动点P从点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度向点D运动．点P，点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．当PQ∥BC时，PQ与BD交于点H，四边形APHD、四边形BCQH的面积分别为S1（cm2）、S2（cm2）．则的值为 　 　 ． 17．（3分）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线x＝1，x＝2，x＝3，…，x＝n（n≥1且n为整数）分别交于点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），…，An（xn，yn），则y1y2+y2y3+y3y4+…+y2025y2026＝　 　 ． 18．（3分）·【中档】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，任意两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）的“曼哈顿距离”为：d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点M（﹣1，3），点N（4，1），则点M与点N的“曼哈顿距离”为：d（M，N）＝|﹣1﹣4|+|3﹣1|＝5+2＝7． 根据以上定义，下列说法正确的序号为　 　 ． ①点A（﹣2，3），点B（﹣1，7），则d（A，B）＝5； ②点C（x，y），其中x≥0，y≥0，且d（C，O）＝3，则满足条件的所有点C组成的图形长度为； ③点D（x，y）是函数图象上的一个动点，则满足d（D，O）＝4的点D有2个； ④点E（x，y），且d（E，O）＝3，若二次函数图象与满足条件的所有点E组成的图形有交点，则m的取值范围是﹣45≤m≤4． 三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。 19．（4分）·【较易】求值：． 20．（4分）·【较易】先化简，再求值：，其中x＝5． 21．（5分）·【较易】近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为8km，若采用无人机配送，其行程只需6km，且配送时间比传统方式少10min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，求传统方式配送速度是多少km/min？ 22．（6分）·【中档】为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，BC、DE可分别绕点B、C转动，经测量知C是DE的中点，且BC＝DE＝20cm．当BC、DE转动到∠ABC＝60°，∠BCD＝75°时，求点D到AB的距离．（结果精确到1cm；参考数据：1.41，1.73） 23．（7分）·【中档】某中学为了提高学生们的消防意识，特邀某消防支队队员到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，竞赛成绩分别为6分、7分、8分、9分、10分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生竞赛成绩中随机抽取部分学生的竞赛成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为　 　 ； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的中位数为　 　 分； （2）在扇形统计图中：m＝　 　 ，得分为“8分”这一项所对应的圆心角是　 　 度； （3）已知该校共有2000名学生参加本次知识竞赛，且规定成绩为9分及以上为优秀，请估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有多少名？ 24．（7分）·【易】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．过点C作CE∥OD，过点D作DE∥OC，CE与DE相交于点E，连接BE． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求BE的长． 25．（7分）·【中档】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并写出x的取值范围； （2）求平均每天的销售利润w（元）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 26．（8分）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+6与反比例函数y（m＞0）的图象交于点D及点A（a，4），与x轴交于点B． （1）求m的值； （2）若直线AO与反比例函数y（m＞0）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及△ABC的面积； （3）在第三象限内的反比例函数y（m＞0）的图象上，是否存在点E，使得△ADE为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（9分）·【较难】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC，BC，在上取点E，使，分别连接AE和BE，BE交AC于点F．过点C作CD∥BE，交AB的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：CD2＝AD•BD； （3）若，BD＝2，求EF的长． 28．（9分）·【较难】如图，已知二次函数ybx+c图象的对称轴为直线x＝0，且过点C（4，5）．直线l：y＝﹣x+1与y轴交于点F． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线l：y＝﹣x+1下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：y＝﹣x+1的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点F的直线y＝kx+1与二次函数ybx+c图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点H（0，m），使得∠AHF＝∠BHF，请直接写出m的值． 2026年黑龙江省大庆市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。 1．（3分）·【易】2035的相反数是（　　） A． B．﹣2035 C．2035 D． 【解析】解：2035的相反数是﹣2035． 故选：B． 2．（3分）·【易】中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、图案既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、图案既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； C、图案既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； D、图案是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3．（3分）·【易】大庆是现代宜居的生态城市，拥有湿地7470000亩．数字7470000用科学记数法表示为（　　） A．7.47×104 B．7.47×105 C．7.47×106 D．7.47×107 【解析】解：7470000＝7.47×106． 故选：C． 4．（3分）·【易】如图所示的几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：几何体的主视图为：． 故选：B． 5．（3分）·【较易】一个圆柱的底面半径为2，高为4，则它的侧面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【解析】解：圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π． 故选：D． 6．（3分）·【较易】下列说法正确的是（　　） A．多边形的外角和都等于360° B．一组数据的方差越大，这组数据越稳定 C． D．两条边与一个角分别对应相等的两个三角形一定全等 【解析】解：A，多边形的外角和都等于360°，故符合题意； B，一组数据中，方差越小，这组数据越稳定，故不符合题意； C，原式＝﹣4，故不符合题意； D，两条边及其夹角对应相等的两个三角形一定全等，故不符合题意， 故选：A． 7．（3分）·【较易】如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝50°， ∴50°+2∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝65°， 由作图可知，BD＝BC，BF平分∠DBC交AC于点E， ∴∠BDC＝∠ACB＝65°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝50°， ∴∠EBC∠DBC＝25°， 故选：C． 8．（3分）·【较易】现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为， 故选：B． 9．（3分）·【中档】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△DEC，点B经过的路径为，点A经过的路径为，CE与交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题知，S阴影＝S扇形CBE﹣S△CBA﹣S扇形CAF， 过点A作AH⊥BC，H为垂足， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4， ∴∠ACH＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△DEC， ∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°， ∴AH＝2，根据勾股定理CH＝2， ∴BC＝4，S阴影4． 故选：D． 10．（3分）·【中档】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F在CD上，DF＝2，点E为AD上的动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′D、A′F，当A′D＝A′F时，AE的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：过A′作A′M⊥DC于M，A′N⊥AD于N， 延长NA′交BC于H， ∴∠A′MD＝∠A′ND＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD∥BC， ∴四边形A′MDN，四边形NHCD是矩形， ∴DM＝A′N，NH＝CD＝6， ∵A′D＝A′F， ∴DMDF， ∴A′N＝1， ∴A′H＝5， ∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE， ∴∠EA′B＝∠A＝90°，A′E＝AE，A′B＝AB＝6， ∴BH，∠A′EN+∠EA′N+∠HA′B＝90°， ∴∠A′EN＝∠HA′B， ∵∠A′NE＝∠A′HB＝90°， ∴△A′NE∽△BHA′， ∴， ∴， ∴A′E， ∴AE， 故选：C． 二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 11．（3分）·【中档】函数y的自变量x的取值范围是 x≠3　 ． 【解析】解：由题意得，x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为：x≠3． 12．（3分）·【易】因式分解：x2+4x＝x（x+4）　 ． 【解析】解：x2+4x＝x（x+4）， 故答案为：x（x+4）． 13．（3分）·【较易】一次函数y＝2x+1图象上有两点A（3，y1），B（5，y2），则y1　＜　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解析】解：由题知， 因为一次函数解析式为y＝2x+1， 所以y随x的增大而增大． 因为点A（3，y1），B（5，y2）在该一次函数图象上且3＜5， 所以y1＜y2． 故答案为：＜． 14．（3分）·【较易】不等式组的整数解有　3　 个． 【解析】解：， 解不等式①得，x≥1， 解不等式②得，x＜4， 所以不等式组的解集为1≤x＜4， 则该不等式组的整数解有1，2，3，共3个． 故答案为：3． 15．（3分）·【较易】已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为　4　 ． 【解析】解：∵数据1，2，4，5，x的平均数是3.2， ∴1+2+4+5+x＝3.2×5， 解得x＝4， 所以这组数据是1，2，4，5，4，其中4出现的次数最多，故众数是4． 故答案为：4． 16．（3分）·【中档】如图，在菱形ABCD中，AB＝3cm，∠DAB＝60°．动点P从点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度向点D运动．点P，点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．当PQ∥BC时，PQ与BD交于点H，四边形APHD、四边形BCQH的面积分别为S1（cm2）、S2（cm2）．则的值为 　　 ． 【解析】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝3cm，AB∥CD， ∵∠DAB＝60°． ∴∠C＝60°， ∴△ABD和△BCD都为等边三角形， 设点P运动的时间为ts，则AP＝2tcm，PB＝（3﹣2t）cm，CQ＝tcm，DQ＝（3﹣t）cm， ∵PQ∥BC，PB＝CQ， ∴四边形PBCQ为平行四边形， ∴PB＝CQ， 即3﹣2t＝t， 解得t＝1， ∴PB＝1，DQ＝2， ∴∠BPH＝∠DQH＝60°， ∴△PBH和△DQH都为等边三角形， ∴S1＝S△ABD﹣S△PBH3212＝2（cm2）， S2＝S△BCD﹣S△DQH3222（cm2）， ∴． 故答案为：． 17．（3分）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线x＝1，x＝2，x＝3，…，x＝n（n≥1且n为整数）分别交于点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），…，An（xn，yn），则y1y2+y2y3+y3y4+…+y2025y2026＝　　 ． 【解析】解：∵直线x＝1，x＝2，x＝3，…，x＝n（n＞1且n为整数）与反比例函数图象分别交于点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），…，An（xn，yn）， ∴y12，y21，y3，y4，…，y2026， ∴y1y2+y2y3+…+y2025y2026 ＝4（ ＝4（1） ＝4×（1） ． 故答案为：． 18．（3分）·【中档】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，任意两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）的“曼哈顿距离”为：d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点M（﹣1，3），点N（4，1），则点M与点N的“曼哈顿距离”为：d（M，N）＝|﹣1﹣4|+|3﹣1|＝5+2＝7． 根据以上定义，下列说法正确的序号为　①②④　 ． ①点A（﹣2，3），点B（﹣1，7），则d（A，B）＝5； ②点C（x，y），其中x≥0，y≥0，且d（C，O）＝3，则满足条件的所有点C组成的图形长度为； ③点D（x，y）是函数图象上的一个动点，则满足d（D，O）＝4的点D有2个； ④点E（x，y），且d（E，O）＝3，若二次函数图象与满足条件的所有点E组成的图形有交点，则m的取值范围是﹣45≤m≤4． 【解析】解：①d（A，B）＝|﹣2+1|+|3﹣7|＝5， 故①正确； ②∵x≥0，y≥0， ∴d（C，O）＝x+y＝3， ∴C点在直线y＝﹣x+3上， ∵x≥0，y≥0， ∴C点组成的图形为以（0，3），（3，0）为端点的线段， ∴长度为3， 故②正确； ③d（D，O）＝|x|+|y|＝|x|4， ∴（|x|）2﹣4|x|+1＝0， 解得|x|＝2或|x|＝2， ∴x＝2或x＝﹣2或x＝2或x＝﹣2， ∴点D有4个， 故③不正确； ④∵d（E，O）＝3， ∴|x|+|y|＝3， ∴y＝3﹣|x|或y＝|x|﹣3， ∴E点组成的图形如下： 当二次函数图象与y＝﹣x+3有唯一交点时，x2﹣2xm+3＝﹣x+3， Δ＝16﹣4m＝0， 解得m＝4； 当二次函数图象经过点（﹣3，0）时，6m+3＝0， 解得m＝﹣45； ∴﹣45≤m≤4时，二次函数与点E组成的图形有交点． 故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。 19．（4分）·【较易】求值：． 【解析】解：原式＝3×1+22﹣1 ＝3+22﹣1 ＝2． 20．（4分）·【较易】先化简，再求值：，其中x＝5． 【解析】解：原式• • ； 当x＝5时， 原式． 21．（5分）·【较易】近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为8km，若采用无人机配送，其行程只需6km，且配送时间比传统方式少10min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，求传统方式配送速度是多少km/min？ 【解析】解：设传统方式配送速度是xkm/min，则无人机配送速度是1.5xkm/min， 根据题意得：10， 解得：x＝0.4， 经检验，x＝0.4是所列方程的解，且符合题意． 答：传统方式配送速度是0.4km/min． 22．（6分）·【中档】为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，BC、DE可分别绕点B、C转动，经测量知C是DE的中点，且BC＝DE＝20cm．当BC、DE转动到∠ABC＝60°，∠BCD＝75°时，求点D到AB的距离．（结果精确到1cm；参考数据：1.41，1.73） 【解析】解：过C作CM⊥AB于M， ∴∠CMB＝90°， ∵BC＝20cm，∠ABC＝60°， ∴CM＝BC•sin60°＝10cm，∠BCM＝30°， ∵∠BCD＝75°， ∴∠DCM＝45°， ∵C是DE的中点，DE＝20cm， ∴CDDE＝10cm， 过D作DG⊥CM于G， ∴△CDG是等腰直角三角形， ∴CG＝DGCD， ∴CG＝5cm， 过D作DH⊥AB于H， 则四边形DGMH是矩形， ∴DH＝GM＝CM﹣CG＝1010（cm）， 故点D到AB的距离约为10cm． 23．（7分）·【中档】某中学为了提高学生们的消防意识，特邀某消防支队队员到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，竞赛成绩分别为6分、7分、8分、9分、10分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生竞赛成绩中随机抽取部分学生的竞赛成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为　100人　 ； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的中位数为　8　 分； （2）在扇形统计图中：m＝　40　 ，得分为“8分”这一项所对应的圆心角是　144　 度； （3）已知该校共有2000名学生参加本次知识竞赛，且规定成绩为9分及以上为优秀，请估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有多少名？ 【解析】解：（1）①总人数＝10÷10%＝100（人）． 故答案为：100人； ②8分的人数＝100×（1﹣20%﹣10%﹣10%﹣20%）＝40（人）． 条形统计图： ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的中位数是8； 故答案为：8； （2）m＝40，得分为“8分”这一项所对应的圆心角＝40%×360°＝144°． 故答案为：40，144； （3）估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生约为30%×2000＝600（人）． 24．（7分）·【易】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．过点C作CE∥OD，过点D作DE∥OC，CE与DE相交于点E，连接BE． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求BE的长． 【解析】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2，AC＝2OC，BD＝2OB，AC⊥BD， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2． ∴OCAC＝1， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴∠ODE＝90°，DE＝OC＝1， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE． 25．（7分）·【中档】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量y（箱）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并写出x的取值范围； （2）求平均每天的销售利润w（元）与每箱苹果的售价x（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【解析】解：（1）设y＝kx+b，则有， 解得， ∴y＝﹣3x+240（40≤x≤55）； （2）w＝（﹣3x+240）×（x﹣40）＝﹣3（x﹣60）2+1200， ∵对称轴是直线x＝60，40≤x≤55）， ∴x＝55时，y的值最大，最大值＝1125（元）． 26．（8分）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+6与反比例函数y（m＞0）的图象交于点D及点A（a，4），与x轴交于点B． （1）求m的值； （2）若直线AO与反比例函数y（m＞0）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及△ABC的面积； （3）在第三象限内的反比例函数y（m＞0）的图象上，是否存在点E，使得△ADE为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）把点A（a，4）代入y＝﹣x+6得4＝﹣a+6， ∴a＝2， ∴A（2，4）， 把A（2，4）代入y（m＞0）得4， ∴m＝8； （2）∵直线AO与反比例函数y（m＞0）的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点A关于原点对称， ∴C（﹣2，﹣4）， 在y＝﹣x+6中，令y＝0，则x＝6， ∴B（6，0）， ∴OB＝6， ∴△ABC的面积， （3）设D（n，）， 解得或， ∴D（4，2）， ∴AD2＝（2﹣4）2+（4﹣2）2＝8，AE2＝（2﹣n）2+（4）2，DE2＝（4﹣n）2+（2）2， 当∠ADE＝90°时，AD2+DE2＝AE2， ∴8+（4﹣n）2+（2）2＝（2﹣n）2+（4）2， 解得n＝﹣2，n＝4（不合题意舍去）， ∴E（﹣2，﹣4）； 当∠DAE＝90°时，AD2+AE2＝DE2， ∴（4﹣n）2+（2）2＝（2﹣n）2+（4）2+8， 解得n＝﹣4，n＝2（不合题意舍去）， ∴E（﹣4，﹣2）； ∵∠AOD＜90°，∠AED＜∠AOD， ∴∠AED＜90°， ∴当∠AED＝90°时，这种情况不存在， 综上所述，存在点E，使得△ADE为直角三角形，E（﹣2，﹣4）或（﹣4，﹣2）． 27．（9分）·【较难】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC，BC，在上取点E，使，分别连接AE和BE，BE交AC于点F．过点C作CD∥BE，交AB的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：CD2＝AD•BD； （3）若，BD＝2，求EF的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴2， ∴∠EAB＝∠COB， ∵BE∥DC， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB为直径， ∴∠E＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∴∠COD+∠D＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠DCB+∠OCB＝90°， ∴∠DCB＝∠CAB， ∵∠D＝∠D， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD； （3）解：由（2）知，CD2＝AD•BD ∵，BD＝2， ∴AD10， ∴AB＝8， ∵△ACD∽△CBD， ∴， ∴设ACk，BC＝k， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴64＝5k2+k2， ∴k， ∴AC，BC， ∵， ∴∠CBF＝∠CAB， ∵∠BCF＝∠ACB， ∴△ACB∽△BCF， ∴， ∴CF， ∴AF＝AC﹣CF， ∵∠BCF＝90°， ∴BF， ∵∠E＝∠ACB＝90°，∠AFE＝∠BFC， ∴△AEF∽△BCF， ∴， ∴， ∴EF． 28．（9分）·【较难】如图，已知二次函数ybx+c图象的对称轴为直线x＝0，且过点C（4，5）．直线l：y＝﹣x+1与y轴交于点F． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线l：y＝﹣x+1下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：y＝﹣x+1的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点F的直线y＝kx+1与二次函数ybx+c图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点H（0，m），使得∠AHF＝∠BHF，请直接写出m的值． 【解析】解：（1）∵对称轴为x＝0， ∴b＝0， ∴yc， 将点C（4，5）代入yc， ∴8+c＝5， 解得c＝﹣3， ∴y3； （2）存在点P，理由如下： 过点P作直线平行于l，与y轴的交点为G，过点F作FE⊥PG交于E， ∵EF，∠EFG＝45°， ∴FG＝2， ∴直线PG的解析式为y＝﹣x﹣1， 当﹣x﹣13时，解得x＝﹣1或x＝﹣1， ∴P（﹣1，）或（﹣1，）； （3）过点A作AM⊥y轴交于M点，过点B作BN⊥y轴交于N点， 设A（t，kt+1），B（s，ks+1）， ∵∠AHF＝∠BHF， ∴tan∠ANM＝tan∠BHN， ∴，即①， 当kx+13时，整理得x2﹣2kx﹣8＝0， ∴t+s＝2k，ks＝﹣8②， 由①②可得m＝﹣7． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $