第一章 特殊平行四边形 单元复习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元复习卷，全面覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|平行四边形判定（第1题）、矩形性质（第2题）、菱形计算（第3题）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|4题|矩形判定应用（第11题书架检验）、坐标系菱形（第12题）、动点最值（第13题）|联系实际，渗透空间观念| |解答题|8题|矩形证明（16题）、旋转探究（21题）、新定义“相依四边形”（20题）|分层设计，融合推理与创新，对接赵爽弦图等文化素材|

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形单元复习题 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 2．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 3．如图，菱形部件的对角线交于点O，点E为边的中点．小明想用刻度尺（单位：cm）测量菱形部件中的尺寸．他将边与刻度尺重合，使得点B，C对应的刻度为1，6，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为．若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点在数轴上所表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．四边形的对角线和相交于点．有下列条件：，；；；矩形；菱形；正方形．则下列推理正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，点为对角线上一点，且，若，则（　　） A． B． C． D． 7． 如图，四边形 ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，AD∥BC，则下列说法错误的是 （　　） A．若AC=BD，则四边形ABCD 是矩形 B．若 BD 平分∠ABC，则四边形 ABCD 是菱形 C．若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 D．若AB=BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8cm，则菱形ABCD的面积是（　　）cm2 A．16 B．32 C．64 D．32 9．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（　　） A．48 B．72 C．90 D．96 10．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 11．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为　 　． 13．如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为　 　． 14．在平面直角坐标系中，①以原点为圆心，适当长为半径作弧，交轴负半轴于点，交直线于点；②分别以点和点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，得到四边形；若点的横坐标为，则点的坐标为　 　． 三、解答题 15．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，求与的长． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与 BE交于点 E. （1）求证： 四边形 OBEC是矩形； （2）若AB=5， CE=3， 求菱形ABCD 的面积. 17．如图，矩形的顶点，，E为线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，直线交延长线于点G． （1）求点E的坐标． （2）点H为线段的中点，求点H的坐标． 18．如图，在正方形中，延长到点，使．连接，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 19．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 问题发现：如图，若直角三角形斜边的长为，直角边的长为，则的长为_____． 知识迁移：已知正方形，点是直线上一动点，连接，分别过点，，向直线作垂线，垂足分别为，，． （1）如图，若点在边上，则线段和线段的数量关系为_____． （2）如图，若点在的延长线上，（）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线与正方形一边的夹角为时，若，请直接写出正方形的面积． 20．阅读短文，解决问题． 若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图，在平行四边形中，与重合，点在上，则称平行四边形为的“相依四边形”． （1）如图，平行四边形为的“相依四边形”，平分，判断四边形的形状，并进行证明． （2）在（1）的条件下，如图． ①若，，求四边形的周长； ②如图，分别是的中点，连接，若，求的值． 21．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于点F，连接DF，G为DF 中点，连接 EG，CG. （1）求证：EG=CG. （2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG.请问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，请问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 22．【问题提出】 （1）如图①，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，则正方形的边长为 　 　； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接，试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有、、、、五个出口，其中出口在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．试求该运输通道的长度． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ，A符合题意； B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B不符合题意； C．两条对角线相等的平行四边形是矩形，C不符合题意； D．两条对角线互相平分且垂直且相等的平行四边形是正方形，D不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 【解析】【解答】解：在菱形中，， ， 在菱形中，为对角线，，则， 在中，，，则， 故选：B． 【分析】 由于菱形是平行四边形，则由邻角互补可得的值，又菱形的一条对角线平分一组对角，则可得的值，再由等边对等角结合三角形的内角和定理即可． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵AD//BC， ∴∠ADO=∠CBO. ∵OA=OC，∠AOD=∠BOC 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌△COB(AAS) ∴AD=BC， ∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 若AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意； 若BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD， 则四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意； 若AB⊥BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意； 若AB=BC且AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，故D选项符合题意； 故答案为：D. 【分析】先根据平行四边形的判定证明ABCD是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可. 8．【答案】B 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【分析】先根据勾股定理得到，从而结合图形得到，然后根据正方形性质得到，，求出，进而证出，于是得出，则，得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 【分析】 ① 根据同角的余角相等，可以得到，再结合题目给出的已知条件，通过边角边即可证明两个三角形全等； ③ 由①中得到的三角形全等，可得，再结合三角形外角的性质，即可推导得到，完成垂直的证明； ② 过点B作，交的延长线于点F，结合③已经证得的，利用勾股定理即可求出的长度；再结合是等腰直角三角形，可推导出也是等腰直角三角形，再次利用勾股定理即可求出和的长度； ④ 在中，根据勾股定理计算得到，其结果就是正方形ABCD的面积。 11．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 12．【答案】或 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】解：∵四边形是矩形，， ∴，． ∴在中，， ∴的长是8，的长是10． 【解析】【分析】本题根据矩形的对角线相等且互相平分，可求出=10，然后根据勾股定理求出=8，从而得出答案． 16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∠BOC=90°， ∵CE∥DB， BE∥AC， ∴四边形OBEC是平行四边形， 又∵∠BOC=90°， ∴四边形OBEC是矩形； （2）解：∵四边形OBEC是矩形， ∴OB=CE=3， 又∵ ∴BD=2OB=6， AC=2OA=8， 【解析】【分析】（1）本小题考查矩形的判定、平行四边形的判定与菱形的性质.由已知“CE∥DB， BE∥AC”，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形OBEC是平行四边形；再结合“菱形的对角线互相垂直”可得到∠BOC=90°；最后根据矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明； （2）本小题考查矩形的性质及菱形的面积求法，结合勾股定理进行计算.首先，由第（1）问可知四边形OBEC是矩形，根据已知条件可得到OB=3；在Rt△AOB中，利用勾股定理计算出OA=4；最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形的面积. 17．【答案】（1）点E的坐标是； （2）点H的坐标为． 18．【答案】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）首先根据正方形的性质可得出，进而根据等腰三角形的性质，及三角形内角和定理可得出，进而得出； （2）首先根据正方形的性质可得出，进而根据勾股定理可得出，进而，再根据勾股定理可得出． 19．【答案】问题发现：； （）； （） 若点在的延长线上，（）中结论成立，理由如下： 如图，过点作于， ∵，，，， ∴四边形是矩形，，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）正方形的面积为或． 【解析】【解答】解：问题发现：由题意得：， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）当直线与边的夹角为时，如图，分别过点向直线作垂线，垂足分别为，过点作于， ∵，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； 当直线与边的夹角为时，如图，分别过点向直线BP作垂线，垂足分别为，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 综上，正方形的面积为或． 【分析】问题发现：利用赵爽弦图中直角三角形全等的性质，结合勾股定理直接计算出 DE 的长度。 (1) 过点 D 作辅助线构造矩形和全等三角形，通过证明△AHD≌△CFB，推导出 BE 与 FG 的数量关系为相等。 (2) 类比 (1) 的方法，通过构造辅助线证明△CHD≌△AEB，验证结论 BE=FG 在点 P 位于 CD 延长线上时依然成立。 (3) 分两种情况讨论直线 BP 与正方形边的夹角为 60°，结合含 30° 角的直角三角形性质及 BE=FG，求出正方形边长，进而计算其面积。 20．【答案】（1）解：四边形是平行四边形， ， 平分 四边形为菱形． （2）解：①由（1）可知四边形为菱形， 设， ， ，， ． ． ， 解得 四边形的周长为； ②过作交于，如图： ，， 四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 【解析】【分析】(1)已知四边形AEFD是平行四边形，根据AF平分∠BAC，可得∠AFE=∠EAF，AE=EF，即可证明四边形AEFD为菱形； (2)①设AE=EF=DF=AD=x，由∠B=90°，EF//AB，得∠EFC=90°，即EF2+CF2=CE2，列方程求解，即可求出四边形AEFD的周长为10； ②过F作FG//MN交AC于G可得，MF=NG，根据M，N分别是DF，AC的中点，可得G为CE的中点，即可得CE=2FG=3，从而得到EF2+CF2=9，AD2+CF2=9. 21．【答案】（1）证明：在Rt三角形DEF中，∠DEF=90°，G是DF的中点， ∴ 在Rt三角形DCF中，∠DCF=90°，G是DF的中点， ∴ ∴CG=EG. （2）解：(1)中结论仍然成立， 如答图，连接AG，过G 点作MN⊥AD 于M点，与EF 的延长线交于N 点， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG=45°，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG， ∵∠DMG=∠FNG=90°，∠MGD=∠NGF，DG=FG， ∴△DMG≌△FNG， ∴MG=NG， 在矩形AENM 中，AM=EN， ∵AM=EN，∠AMG=∠FNG=90°，MG=NG， ∴△AMG≌△ENG ∴AG=EG， ∴EG=CG. （3）(1)中的结论仍成立，且 EG⊥CG. 【解析】【解答】（3）(1)中的结论仍成立，且 EG⊥CG.证明如下： 延长CG至点M，使MG=CG， ∵GF=GD，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴ △ MGF≌ △ CGD ∴MF=CD，∠FMG=∠DCG， ∴DC∥MF∥AB， 假设EF交AB于点N， ∴∠EFM=∠BNF=90°+∠ABE 又∠CBE=90°+∠ABE， ∴∠EFM=∠CBE， ∵BE=FE，∠EFM=∠CBE，MF=CD=CB， ∴ △ MEF≌ △ CEB， ∴∠MEF=∠CEB， ∴∠MEC=∠MEF+∠CEF=∠CEB+∠CEF=90°， ∴EG⊥CG， ∴EG= 【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得出 EG==CG ； （2）如答图，连接AG，过G 点作MN⊥AD 于M点，与EF 的延长线交于N 点，首先根据SAS证得△DAG≌△DCG，可得AG=CG，再根据AAS证得△DMG≌△FNG，可得MG=NG，再由SAS证得△AMG≌△ENG，得出AG=EG，进而等量代换即可得出结论； （3））(1)中的结论仍成立，且 EG⊥CG.延长CG至点M，使MG=CG，从而构成全等三角形 △ MGF≌ △ CGD，得出MF=CD，∠FMG=∠DCG，从而得出DC∥MF∥AB，从而得出∠EFM=∠BNF=∠CBE=90°+∠ABE，然后根据SAS证得 △ MEF≌ △ CEB，进而∠MEF=∠CEB，得出∠MEC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质，得出结论。 22．【答案】（1）6 ；（2）是等腰直角三角形；（3） 为米 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $